全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十六)
第十六单元 圆锥曲线方程
(120分钟 150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p的值为
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:圆的方程可化为(x-3)2+y2=16,由条件可得+3=4,所以p=2. 答案:B
2.若椭圆 +y2=1(a>1)的离心率为 ,则该椭圆的长轴长为
A.
B.
C. D. 或
=,解之得a=
,则椭圆的长轴长为.
解析:由题意可得答案:A
-
3.已知直线y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1+x2=4,则|AB|等于
A.4 B.6 C.8 D.10
解析:由条件易知直线过抛物线的焦点F(1,0),则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6. 答案:B 4.已知P是椭圆 + =1(a>b>0)上一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若△PF1F2的
周长为6,且椭圆的离心率为,则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为
A. B.1
C.
D.2
解析:设椭圆的焦距为2c,由条件可得 则则椭圆上的点到椭圆焦点的最小
距离为a-c=2-1=1.
答案:B
5.已知抛物线x2=ay(a≠0)在x=1处的切线的倾斜角为45°,则该抛物线的焦点坐标为
A.(0,1)
B.(0, ) C.(0,-1)D.(0,- )
解析:由x2=ay可得y=x2,求导可得y'=x,故切线斜率为=1,故a=2,抛物线方程为x2=2y,焦点坐标为(0,).
答案:B
6.已知点P
是双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线上一点,F
是双曲线的右焦点,若|PF|的
最小值为a,则该双曲线的离心率为
A. B. C.
D.
解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,|PF|的最小值即为焦点F(c,0)到渐近线的距离,故
=a,即a=2b,∴a2=4b2=4(c2-a2),e== .
答案:C
7.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线AB垂直于x轴,与抛物线交于点A、 · =- ,则△AOB的面积为 B,O是坐标原点,若
A.4
B.2
C.1
D.
· 解析:直线AB的方程为x=,代入抛物线方程可得y=±p,则A(,p),B(,-p),则 =-p2=-,
故p=1,则△AOB的面积为··2p==.
答案:D
8.已知双曲线 - =1(a>0,b>0)左支上一点P到左焦点的距离为4,到右焦点的距离为
8,且双曲线一条渐近线的倾斜角为60°,则该双曲线的方程为
2
2A. -y=1 B.x- =1
C. - =1
D. - =1
解析:由条件可得2a=8-4=4,故a=2,再由渐近线的倾斜角为60°可知一条渐近线的斜率为= ,故b=2 ,双曲线的方程为-=1.
答案:D
9.在直角坐标系中,把双曲线C1: -y2=1绕原点逆时针旋转90°得到双曲线C2,给出下列说法:
①C1与C2的离心率相同;②C1与C2的焦点坐标相同;③C1与C2的渐近线方程相同;④C1与C2的实轴长相等. 其中正确的说法有
A.①②
B.②③ C.①④ D.③④
2
解析:旋转后,双曲线C2的的实轴在y轴上,焦点也在y轴上,方程为-x=1,渐近线方程为
y=± x,与C1的渐近线方程不同,显然正确的选项只有①④.
答案:C
10.如图,已知椭圆 + =1内有一点B(2,2),F1、F2是其左、右焦点,M为椭圆上的
动点,则| |+| |的最小值为
A.4 C.4
B.6 D.6
解析:| |+| |=2a-(| |-| |)≥2a-| |=8 -2 =6 ,当且仅当M,F2,B共线时取得
最小值6 .
答案:B
11.已知F1,F2分别是双曲线 -y2=1(a>0)的两个焦点,点P是双曲线上的一点,且满足∠F1PF2=90°,则△PF1F2的面积为
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:由条件可得 - =2a,由题意可知△F1PF2为直角三角形,设双曲线的焦距为2c,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,b2=1,
故(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2,即4a2+2|PF1|·|PF2|=4c2, 故|PF1|·|PF2|=2c2-2a2=2b2=2,故△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=b2=1. 答案:D
12.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点P到焦点F的距离为p,到x轴的距离为1,过F作 等于 倾斜角为45°的直线l与抛物线的准线交于点A,则 ·
A.-
B.-
C.
D.
解析:不妨设点P(x0,1),根据定义可知点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离,故x0+=p,故x0=,把点P坐标代入抛物线方程可得1=2p·,故p=1,焦点坐标(,0),故直线l的方程为y=x-,则直
· =(-,-1)·(,0)=-. 线l与抛物线的准线x=-的交点为A(-,-1),则
答案:A
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.若直线l的方程为kx-y+1-k=0(k∈R),则直线l与椭圆 + =1的交点个数为 .
解析:由题意得直线l的方程为k(x-1)=y-1,恒过定点(1,1),又+<1,∴点(1,1)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2个.
答案:2
14.2013年国家加大了对环境污染监测力度,为此某市环保部门在市里的一条污水河的桥孔处进行了隔离封闭改造,桥孔的横断面为抛物线形(如下图所示),已知水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,则水上升0.5米后,水面宽变为 米.
解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为x2=-2y,当y=-1.5时,x=± ,所以水面宽度为2 米.
答案:2
15.已知双曲线C的两个焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),且一个焦点到其中一条渐近线的距离为
,则双曲线 C的离心率为 .
解析:由条件可得双曲线的焦距2c=6,故c=3,设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),则渐近线方程为
y=±x,即ax±by=0,则
,故a2=b2,而a2+b2=c2=9,故c=3,a=,双曲线的离心率为 .
=答案:
16.已知直线x=2与椭圆C: + =1交于两点E1,E2,任取椭圆C上的点P,若 =a +b (a,b∈R),则ab的最大值是 .
解析:联立x=2与+=1,解得E1(2, ),E2(2,- ),
=a ∴ +b =(2a+2b, a- b),
- ∴P(2a+2b, a- b),∵点P在椭圆C上,∴+=1,
∴a2+b2-ab=1,∴a2+b2=ab+1≥2ab,∴ab≤1,即ab的最大值是1. 答案:1
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)
椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,以椭圆的短轴的一个端点B与两个焦点F1、F2为顶点的三角形的周长是8+4 ,且∠BF1F2= .
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线y=x+1与椭圆交于点M、N,求线段|MN|的长.
解析:(1)设椭圆 + =1(a>b>0),焦距为2c, 由条件可得2a+2c=8+4 ,所以a+c=4+2 . 又∠BF1F2=,所以=
,故 所以b=2,
所以椭圆方程为+=1.5分
(2)由
可得5x2+8x-12=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,
|MN|= |x1-x2|= · - =.10分
18.(本小题满分12分)
为了研究探照灯的结构特征,在坐标轴中画出了探照灯的轴截面,如图.已知探照灯的轴截面图是抛物线y2=2px(p>0)的一部分,若该抛物线的焦点恰好在直线x+y-1=0上. (1)求该抛物线的方程;
(2)若一束平行于x轴的直线入射到抛物线的P点,经过抛物线焦点F后,由点Q反射出平行光线,试确定点P的位置使得从入射点P到反射点Q的路程最短. 解析:(1)直线x+y-1=0与x轴的交点为(1,0), 故抛物线焦点F(1,0),抛物线方程为y2=4x.5分
(2)设点P坐标为(,a)(a≠0),又PQ过焦点可得PQ的方程为y= (x-1). -
由
- - 解得y=a或y=-,
故点Q( ,-),则|PQ|=|PF|+|QF|=+ +2≥2+2=4,
当且仅当a=±2时,取等号,
故当点P的坐标为(1,2)或(1,-2)时,从入射点P到反射点Q的路程最短为4.12分
19.(本小题满分12分)
已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆上的点到焦点的最近距离为 ,其左、
右焦点分别为F1、F2,抛物线y2=2px(p>0)的焦点与F2重合. (1)求椭圆及抛物线的方程;
(2)过F1作抛物线的两条切线,求切线方程.
-
解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则由椭圆的离心率可得==,
故a=2c,b2=a2.
又由条件可知a-c= ,故a=2 ,c= ,b2=×12=9,故椭圆的方程为+=1. 则F1(- ,0),F2( ,0),由条件可知抛物线的焦点坐标为F2( ,0),即= , 故抛物线的方程为y2=4 x.6分 (2)设过F1的切线方程为y=k(x+ ), 由
可得k2x2+(2 k2-4 )x+3k2=0,
则Δ=(2 k2-4 )2-12k4=0,解得k=1或-1,
故抛物线的两条切线的方程分别为y=x+ 与y=-x- .12分
20.(本小题满分12分)
=α +β ,其平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C满足 中α、β∈R,且α-2β=1. (1)求点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹与双曲线 - =1(a>0,b>0)交于两点M,N,且以MN为直径的圆过原
点,求 - 的值.
=α ,则(x,y)=α(1,0)+β(0,-2), 解析:(1)设C(x,y),因为 +β
∵α-2β=1,∴x+y=1,即点C的轨迹方程是x+y=1.6分 ∴
-
(2)由
-
(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由题意得b2-a2≠0, 得
-
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-
-
,x1x2=-
.
· =0,即x1x2+y1y2=0. ∵以MN为直径的圆过原点,∴
∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1+∴b2-a2-2a2b2=0,∴ - =2.12分
-
- -
=0,
21.(本小题满分12分)
已知椭圆C: + =1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上任意一
点,|PF1|·|PF2|的最大值为4,且椭圆C的离心率是双曲线-=1的离心率的倒数. (1)求椭圆C的标准方程;
(2)若O为坐标原点,B为椭圆C的右顶点,A,M为椭圆C上任意两点,且四边形OABM为菱形,求此菱形面积.
解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则|PF1|·|PF2|≤(
2 22
)=()=a,
当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|·|PF2|取得最大值a2,故a2=4,则a=2. 而双曲线-=1的离心率为即=
,故c= ,所以b=1,
,故椭圆的离心率为, = 2
所以椭圆的标准方程为+y=1.6分
(2)椭圆C的右顶点B的坐标为(2,0).
因为四边形OABM为菱形,所以AM与OB相互垂直且平分, 所以可设A(1,m),代入椭圆方程得+m2=1,即m=±
,
所以菱形OABM面积为|OB||AM|=×2× = .12分
22.(本小题满分12分)
已知椭圆C: + =1(a>b>0)短轴端点和两个焦点的连线构成正方形,且该正方形的内
切圆方程为x2+y2=2. (1)求椭圆C的方程;
(2)若抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆C的一个焦点F重合,直线l:y=x+m与抛物线E交于两点A,B,且0≤m≤1,求△FAB的面积的最大值.
解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则由条件可得b=c.
连接一个短轴端点与一个焦点的直线方程可以是+=1,即x+y-b=0. 由直线与圆相切可得 = ,故b=2,
则c=2,a2=b2+c2=8,故椭圆C的方程为+=1.6分 (2)抛物线E的焦点在x轴的正半轴上,故F(2,0), 故p=4,抛物线E的方程为y2=8x. 由
可得x2+(2m-8)x+m2=0,
由直线l与抛物线E有两个不同交点可得Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0在0≤m≤1时恒成立. 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8-2m,x1x2=m2.
则|AB|= - = - - =8 - . 又点F(2,0)到直线l:y=x+m的距离为d=
, 故△FAB的面积为S=d·|AB|=2 - - . 令f(m)=-m3-2m2+4m+8,则f'(m)=-3m2-4m+4.
令f'(m)=0可得m=-2或,故f(m)在[0,]上单调递增,在[,1]上单调递减, 故m=时,f(m)取最大值
,
.12分
则△FAB的面积的最大值为
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