奈氏判据方法研究及应用

《自动控制理论》 课程设计报告书

设计题目：奈氏判据方法研究及应用 专 业： 自动化 班 级： 3 学生姓名: 学 号: 指导教师：

2013年3月 24日

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物理系课程设计任务书

专业： 自动化 班级： 3

学生姓名 课程名称 自动控制理论 学号 设计题目 奈式判据方法研究及应用 奈式判据方法研究及应用 通过幅角原理得到奈式判据方法 设计目的、之后研究奈式判据在伯德图中的应用和应用举例 主要内容 （参数、方 法）及要求 工作量 2周 3周至4周 进度安排 3月11至3月13日收集资料，3月14至3月22编写，3月23至3月24日制图 主要参考资料 [1] 谢红卫. 现代控制系统. 高等教育出版社，2007 [2] 胡寿松. 自动控制原理. 科学出版社，2007 [3] 黄忠霖. 自动控制原理的MATLAB实现. 国防工业出版社，,2007 指导教师签字 系主任签字 年 月 日

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摘 要

奈奎斯特（Nyquist）稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点有：

1. 根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根； 2. 能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。

3. 可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4. 基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。

关键词：幅角定理 柯西幅角原理 伯德图 稳定判据

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目录

1 辐角原理 .......................................... １ 1.2 幅角定理 ..................................... １ 1.3柯西幅角原理 ................................. ３ 2奈奎斯特稳定判据 .................................. ４ 3奈奎斯特稳定判据应用举例 .......................... ６ 4奈奎斯特稳定判据在伯德图中的应用 ................ １０ 5总结 ............................................ １１ 参 考 文 献 ....................................... １１

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1 辐角原理 1.1 映射原理

设辅助函数

K(sz1)(sz2)(szm)

F(s)

(s的零点，p1)( s–p2)(…s,n)p)的极点。函数nF(s)式中–zi(i=1,2,…,m)为F(s)pj(j=1,2,为

F(s)是复变量s的单值函数，s可以在整个s平面上变化，对于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一个值与之对应。 s平面上的点与 F(s)平面上的点有对应关系

s平面 F(s)的零点 F(s)的极点 s平面上的其他点 K(sz1)(sz2)(szm)F(s) (sp1)(sp2)(spn)s平面 原点 无限远点 原点外的有限点 注意，虽然函数F(s)从s平面到F(s)平面的 映射是一一对应的，然而逆过程往往并非如此。

1.2 幅角定理

现考虑s平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一个向量来表示，即当

F(s1)K(s1zi)i1m

(sj1mi1n1pj)j(s1zi)nj(sp) spe1js1pjj1向量的幅值为 向量的相角为 j1

1jF(s1)F(s1)ejF(s1)Ks1zienKs1zii1menmj(s1zi)(s1pj)i1j1

F(s1)Ks1zii1mj1ns1pjF(s1)(s1zi)(s1pj)i1j1mn１

 Im S平面 Im F(s)平面 Re

••当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CF ，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有

21 mnnm (s2zi)(s2pj)(s1zi)(s1j1j1i1i1 mmnn (s2zi)(s1zi)(s2pj)(s1F(s)F(s)F(s)pj)pj)i1j1i1j1现考虑s平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线CS 。当变点s沿

CS顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上也映射出一条封闭曲线CF 。在s平面上，用阴影线表示的区域，称为CS的内域。由于我们规定沿顺时针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于CS映射而得到的封闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于CS

s平面Cs顺时针

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在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线CS的确切形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目，就可以预知围线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线CF是否包围原点和包围原点的次数，也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数的信息 1. 围线CS既不包围零点也不包围极点

映射到F(s)平面上，当变点F(s)沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于0°。这表明，围线CF此时不包围原点 2. 围线CS只包围零点不包围极点

当围线CS的内域包含Z个零点时(但不包含极点)，CF 应顺时针包围原点Z次。

3. 围线CS只包围极点不包围零点

当围线CS的内域只包含P个极点时， CF应逆时针包围原点P次，或者说， CF顺时针包围原点－P次。

4. 围线CS包围Z个零点和P个极点

由上述讨论显然可知，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，CF应顺时针包围原点Z－P次。亦即CF顺时针包围原点次数N=Z－P。 这就是所谓幅角原理。

1.3柯西幅角原理

设CS为s平面上不含F(s)任何奇点的封闭曲线，该曲线内包含了F(s)的P个极点和Z个零点，当动点s沿CS顺时针运动一周，映射到F(s)平面上的曲线CF包围原点的方向和周数为：

NZP CF顺时针包围原点N周；

N0,

CF不包围原点； N0, CF逆时针包围原点N周；

N0,顺时针包围原一周；

Z1,P0,

NZP1３

Z0,逆时针包围原一周；

P1,N1Z2,不包围原点；

P2,N02奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特当年就是巧妙地应用了幅角原理得到了奈奎斯特稳定判据。设系统结构图如图所示

Gk(s)G(s)H(s)G(s)(s)1G(s)H(s)R(s)G(s)H(s)C(s)４

则开环传递函数为：

M1(s)M2(s)G(s)N1(s)N2(s) k…………… (a)

闭环传递函数为：

M1N2(s)M1M2N1N2…………… (b)

将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得： M1M2N1N2M1M2……………..(c) F(s)11GH1G kNNNN1212

显然，令复变函数等于零即是闭环特征方程。复变函数的阶数为n阶，且分子分母同阶。则复变函数可写成以下形式： n(szi)

i1F(s)nzi,pj

(spj) j1

由 (a)、(b)及(c)式可以看出：

F(s)的极点为开环传递函数的极点； F(s)的零点为闭环传递函数的极点；

对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的复变函数 F(s)＝1＋Gk(s)，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。

奈奎斯特为了应用柯西幅角原理研究闭环系统的稳定性，因此设想： 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为： N = F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数

= 闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数 当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。

[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率特性曲线对(－1，j0)点包围的次数为N，（N > 0顺时针，N < 0 逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：Z = N + P。若Z = 0 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。

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[奈奎斯特稳定判据的另一种描述]：设开环系统传递函数Gk(s)在右半s平面上的极点数为P，则闭环系统稳定的充分必要条件为：在 Gk(s)平面上的开环频率特性曲线及其镜象当w从－∞变化到+∞时，将以逆时针的方向围绕(－1，j0)点P圈。

对于开环系统稳定的情况，P=0，则闭环系统稳定的充分必要条件是开环频率特性曲线及其镜象不包围(－1，j0)点。

不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：Z = N + P。 3系统含有积分环节时奈奎斯特稳定判据的应用 具有开环为0的极点系统，其开环传递函数为：

m

K(is1)

i1Gk(s) n s(Tjs1)j1

可见，在原点有v重0极点。也就是在s=0点，Gk(s)不解析，若取奈氏路径同上时(通过虚轴的包围整个s右半平面的半圆)，不满足柯西幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径由以下四部分组成： ① 正虚轴：

② 右半平面上半径为无穷大的半圆：

 j sRe，R，从Ⅰ jRe22

③ 负虚轴： 0Ⅳ ④ 半径为无穷小的右半圆， ' 'j'0Re Ⅱ jⅢ sRe,R0,~22



3奈奎斯特稳定判据应用举例

奈奎斯特稳定判据的应用步骤

K(s1)G(s) ⒈确定开环右极点数P； k(s2)(s4) ⒉画出开环系统奈奎斯特图（包括正负频率及s平面中特定路径在Gk(s)平面的映射）； ⒊确定N；

⒋计算Z=N+P，当Z=0时闭环系统稳定，当Z>0时闭环系统不稳定，当Z<0时计算有误。

[例]已知非最小相位系统开环传递函数为

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确定闭环系统稳定的K值范围。不稳定时求出闭环右极点数。 [解]：

 ()(180tg1)(180tg1)(180tg1) 24 111

180tgtg2tg4A()K2124216K(852)K(22)P()2Q()22(4)(16)(4)(216)KK当0时，A()，()180，P()，Q()088当时，A()0，()90，P()0，Q()0令Q()0，解得0和2，对应P(0)KK和P(2)86开环系统有2个右极点，P=2。 当K<6时，奈氏曲线不包围(－1，

j0),N=0，Z=N+P=2，系统不稳定 当66 当K>8时，奈氏曲线逆0 时针包围(－1，j0)点1圈，N= －1，Z=N+P=1,系统不稳定。 K 8 只有当开环增益保持在

一定范围内才稳定的系统称

为条件稳定系统。

条件稳定系统例题 设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。

[解]：显然这是Ⅰ型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。

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jGk(s)平面从图上看出：N=0，而P=0，故Z=N+P=0，闭环系统是稳定的

10能否只画出正频率部分的极坐标图来判断闭环系统的稳定性

通常，只画出w从0→+∞的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：Z = 2N '+ P 。式中，N '为w从0→+∞变化时，开环奈氏图顺时针包围(－1，j0)点的圈数。

1 11

不包围(－1，j0) 包围(－1，j0)点， N '=1 点， N '=0 Ⅰ型系统和Ⅱ型系统 0型系统

对应的奈奎斯特路径分别为：

 00

频率特性曲线对(－1，j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示。当w 增加时，频率特性从上半 s 平面穿过负实轴的(－∞，－1)段到下半 s

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平面，称为频率特性对负实轴的(－∞，－1)段的正穿越（这时随着w 的增加，频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围(－1，j0)点。反之称为负穿越。

正穿越 负穿越

1

这时奈奎斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数Gk(s)在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当w 从－∞→+∞时，频率特性曲线在实轴(－∞，－1)段的正负穿越次数差为P。若只画正频率特性曲线，则正负穿越次数差为P/2。

图例

NNNN2N2(NN)当ω由0变化到∞时，Nyquist曲线在(-1, j0 )点左边实轴上的正负穿越次数之差等于p/2时( p 为系统开环右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。

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开环稳定 闭环稳定

开环不稳定 闭环稳定

4奈奎斯特稳定判据在伯德图中的应用

开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系： 1、 奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； A(w)=1，20lg A(w)=0 。

2、 奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的－180度相位线。

奈氏图频率特性曲线在(－∞，－1)上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上L(w) > 0( A(w) > 1)的范围内，当w 增加时，相频特性曲线从下向上穿过－180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。 对照图如下：

L()

c

正穿越 负穿越 相角方向为 正 1()w增加时， 相角增大 负穿越

正穿越

对数坐标图上奈氏稳定判据如下：

设开环频率特性Gk(s)在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性L(w)>0的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对－180度线的正负穿越次数差为P/2。闭环系统右半s极点数为：Z=2×DN+P，式中DN为负、正穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若Z>0，闭环系统不稳定。

对数频率特性稳定判据

若系统开环传递函数P个位于右半s平面的特征根，则当在L(ω)>0 的所

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有频率范围内，对数相频特性曲(ω)( 含辅助线 )与-180°线的正负穿越次数之差等于P/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。

5总结

通过这次课题的制作，我了解了奈奎斯特稳定判据的推导过程，能够熟悉的在一系列的稳定性判断中运用到这个方法，会对我今后的学习有很大的帮助。

而且经过差不多两周的工作，我查阅了大量的资料，丰富了我的知识面，而且锻炼了我的独立思考和工作能力，能够完成这个课题，也给了我自信。相信在今后得学习工作中我会做的更好。

参 考 文 献

[1] 谢红卫. 现代控制系统. 高等教育出版社，2007 [2] 胡寿松. 自动控制原理. 科学出版社，2007

[3] 黄忠霖. 自动控制原理的MATLAB实现. 国防工业出版社，,2007

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