幂函数知识点总结及练习题

幂函数

〔1〕幂函数的定义： 一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．

〔2〕幂函数的图象

〔3〕幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

③单调性：如果0，那么幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，那么幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限，图象无限接近x轴与y轴． ④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qpq〔其p中p,q互质，p和qZ〕，假设p为奇数q为奇数时，那么yx是奇函数，假设p为奇数q为偶数时，那么yx是偶函数，假设p为偶数q为奇数时，那么yx是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时，假设0x1，其图象在直线yxqpqp下方，假设x1，其图象在直线yx上方，当1时，假设0x1，其图象在直线yx. . word.zl-

.. -

上方，假设x1，其图象在直线yx下方．

幂函数练习题

一、选择题：

1．以下函数中既是偶函数又是(,0)上是增函数的是 A．yx B．yx C．yx D．yx24332 〔 〕

14

〔 〕

2．函数yxA．

2在区间[,2]上的最大值是

12

1 B．1 C．4 43 D．4

〔 〕

333．以下所给出的函数中，是幂函数的是 A．yx

43B．yx

3 C．y2x D．yx1

〔 〕

4．函数yx的图象是

A． B． C． D． 5．以下命题中正确的选项是 〔 〕 A．当0时函数yx的图象是一条直线

B．幂函数的图象都经过〔0，0〕和〔1，1〕点

C．假设幂函数yx是奇函数，那么yx是定义域上的增函数 D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数yx和yx图象满足

313 〔 〕

A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线yx对称 7． 函数yx|x|,xR，满足

〔 〕

A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数 C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数

8．如图1—9所示，幂函数yx在第一象限的图象，比拟0,1,2,3,4,1的大小〔 〕

1

A．130421

B．012341

4

2

. . word.zl-

3

.. -

C．240311 D．320411

二、填空题：. 1．函数yx3．yxa232的定义域是.

12．幂函数f(x)的图象过点（3,427)，则f(x)的解析式是.

4a9是偶函数，且在(0,)是减函数，那么整数a的值是.

4．函数yx22x24的单调递减区间是.

三、解答题：解容许写出文字说明．证明过程或演算步骤 1．比拟以下各组中两个值大小 〔1〕0.6与0.7

611611；（2）(0.88)与(0.89).

53532．求证：幂函数yx在R上为奇函数且为增函数.

3．下面六个幂函数的图象如下图，试建立函数与图象之间的对应关系.

3（1）yx；（2）yx；（3）yx；（4）yx2；（5）yx3；（6）yx.

12321323

〕 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 〔E〕 〔F

. . word.zl-

.. -

稳固训练 一、选择题

1,2,N2，那么MN等于〔 〕 1．集合M1,2 B．1 C．2 D．2 A．2．以下函数中，值域是0,的函数是〔 〕 A．yx B．yx C．yx3．函数y342 D．yx13

1的定义域是〔 〕 x11, B．1, C．,1 D．A． ,11,

4．二次函数yx1的单调递减区间是〔 〕

2A．,0 B．1, C．,1 D．0, 5．函数f(x)x的图象〔 〕

A．关于直线yx对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于y轴对称 6．幂函数yx(nQ)的图象一定经过点〔 〕

n3A．0,0 B．1,1 C．1,1 D．0,1 7．IR,Ax2x15，那么A=〔 〕

A．xx3 B．xx2 C．2x3 D．x2x3 8．假设一元二次不等式xpx120的解集是x2xq，那么p的值是

2〔 〕

A．不能确定 B．4 C．－4 D．８ 10．函数yx1(x1)的反函数是〔 〕 A．yx1(xR) B．yx1(x0)

22C．yx1(x0) D．yx1(x0)

2211．f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,上单调递减，那么〔 〕 A．f(3)f()f(10) B．f(10)f()f(3)

. . word.zl-

.. -

C．f()f(3)f(10) D．f(10)f(3)f() 12．点2ab,b1与2,a2b关于直线yx对称，那么这两点之间的距离是〔 〕

A．不能确定 B．314 C．132 D．172

13．假设不等式kxkx10的解集是R，那么k的取值围是〔 〕

2 A．4k0 B．4k0 C．k4或k0 D．k4或

k0

14．f(x)是奇函数，当x0 时，其解析式f(x)xx1 ，那么当x0时，f(x)的

3解析式是〔 〕

A．xx1 B．xx1 C．xx1 D．xx1

3333二、填空题

15．设函数f(x)的定义域是x0x1，那么f(2x1)的定义域是___________ 18．幂函数f(x)的图象经过2,2 ，那么f(9)=___________

19．函数f(x)xm的图象经过点1,3 ，又其反函数图象经过点10,2，那么f(x)的

a解析式为___________

20．奇函数f(x)在区间2,5上是减函数，且最小值为5，那么f(x)在区间5,2上的最大值是___________ 21

．

满

足

条

件

1,2M1,2,3的集合

M的个数是

___________个.

22．函数y11x的反函数的值域是___________ 三、解答题

23．Axx22x80,Bxxmm，假设AB，求m的取值围。 2

24．函数f(x)1x。 ⑴求函数f(x)的定义域； x. . word.zl-

.. -

⑵利用定义证明函数f(x)在定义域上是减函数。

26．偶函数f(x)在0,上是增函数，求不等式f(2x5)f(x2)的解集。

2

幂函数练习题

一、选择题

1．以下函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A．yx B． yx C．yx

a131253D. yx

232．以下关于函数yx当a＝0时的图象的说确的是( )

A．一条直线 B．一条射线 C．除点(0,1)以外的一条直线 D．以上皆错 3．幂函数f(x)的图象经过点(2，

2)，那么f(4)的值为( ) 2

D．2

11

A．16 B. C.

1624．以下结论中，正确的选项是( )

①幂函数的图象不可能在第四象限

②a＝0时，幂函数y＝x的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y＝x，当a≥0时是增函数

aa④幂函数y＝，x当a<0时，在第一象限，随x的增大而减小 A．①② B．③④ C．②③ D．①④

5．在函数y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，幂函数有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．幂函数f(x)＝x满足x＞1时f(x)＞1，那么α满足条件( )

A．α＞1 B．0＜α＜1 C．α＞0 D．α＞0且α≠1 7．幂函数y＝(m＋m－5)x2

aam－m－

2

2

313

的图象分布在第一、二象限，那么实数m的值为 ( )

A．2或－3 B．2 C．－3 D．0

18．函数y＝x在第一象限的图象如以下图所示，：n取±2，±四个值，那么相应于曲2

n. . word.zl-

.. -

线C1、C2、C3、C4的n依次为( )

11

A．－2，－，，2

2211C．－，－2,2，

22

11

B．2，，－，－2

2211

D．2，，－2，－

22

D．5a<5－a<0.5a

9．假设a<0，那么0.5a、5a、5－a的大小关系是( )

A．5－a<5a<0.5a B．5a<0.5a<5－a C．0.5a<5－a<5a

1

10．在同一坐标系，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( )

a二．填空题

12

1．函数f(x)＝(1－x)0＋(1x)的定义域为________．

2．幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，2)，那么这个幂函数的解析式为________． 3．假设(a1)(2a2)，那么实数a的取值围是________． 三、解答题

1．函数f(x)＝(m2＋2m)·x(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．

m2m11313，m为何值时，f(x)是

. . word.zl-

.. -

2.函数f(x)＝(m2－m－5) x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．

幂函数练习题答案

一． 选择题DCCDB ABBBC

二．填空题 1. (－∞，1) 2. yx3. (3，＋∞) 三．解答题1. [解析] (1)假设f(x)为正比例函数，那么

12m1m＋m－1＝1，

⇒m＝1. 2

m＋2m≠0

2

(2)假设f(x)为反比例函数，那么

m＋m－1＝－1，

⇒m＝－1. 2

m＋2m≠0

2

(3)假设f(x)为二次函数，那么

2

－1＋13m＋m－1＝2，

⇒m＝. 2

2m＋2m≠0

(4)假设f(x)为幂函数，那么m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.

2.解：根据幂函数的定义得：m2－m－5＝1， 解得m＝3或m＝－2，

当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；

当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.

. . word.zl-