不等式的性质及解法

不等式的性质及解法

知识要点：

不等式与等式有许多不同，主要包括：

1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号，

acbc(c0)abacbc(c0)acbc(c0)即

2、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。

3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。

不等式的性质可分为：

abab01）、公理abab0这也是将不等式问题——比较两个实数a、b的大小，转化

为恒等变形问题的依据。

2）、基本性质：（1）对称性abba这个性质等式中也存在，即abba，对

.;

.

称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：ab2ab(a,bR)这个基本不等式本

2222身就有ab2ab及2abab两种形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许

多变式。

（2）传递性ab,bcac这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。

（3）移项法则abacbc如：x32x1，相当于在x32这个不等式两边同时加上－3得到的。

3、运算性质：

（1）加法运算：ab,cdacbd

（2）减法运算：统一成加法运算ab,cdab,dcadbc

（3）乘法运算：abo,cd0acbd0

11ab00dcdc

（4）除法运算：统一成乘法运算

ab0,cd0ab0,（由

y111cd00x在（0，+）上是减函数，dc）

nnab0ab(nN,n2) （5）乘方运算：

nab0（6）开方运算：

anb(nN,n2)

.;

.

4、函数的单调性：

333yx在(,)上是增函数） abab（1） （

xaby2在(,)上是增函数） ab22（2） （

诸如此类：

ab0log1alog1b(ylog1x在(0,)222上是减函数)已知幂函数、指数函

数、对数函数等函数的单调性可做为不等式的性质运用。

我们知道，求不等式的解集叫做解不等式，如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式。一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式那么这种变形叫做不等式的同解变形。解不等式的每一步都要求是同解变形。

一元一次不等式（组）和一元二次不等式的解法，是解其它各种不等式（组）的基础。高次不等式、分式不等、无理不等式、指数对数不等式的解法都是通过等价转化为一元一次不等式（组）和一元二次不等式后求解。

在解不等式的过程中，要注意保持字母的允许值范围不发生变化。为此，要注意不等式两边同乘以一个数或式对不等式所产生的影响，要注意不等式两边同次乘方、开方或取对数等运算的可行性。

在解不等式或不等式组的过程中，要熟练掌握集合的交、并运算；要充分运用数轴与图象的直观，找全辅助不等式，把每一个解不等式问题等价转化为解不等式组问题。

方程与函数的思想、分类与归纳的思想、等价转化的思想及数形结合的思想在解不等

.;

.

式问题中都有着广泛的应用。

解不等式的方法有：图象法——一元二次不等式、高次不等式、三角不等式等；转化法——分式不等式、无理不等式、指数对数不等式等。

1、一元二次不等式的解法

解一元二次不等式与一元二次方程及二次函数有密切联系——求根、画图象、写解集

2ax(a1)x10其中a0 例1：解关于x的不等式

解：由一元二次方程ax(a1)x10的根为

2x11,x21a知

112yax(a1)x1的草图为： a0a1（1）当，即时二次函数

1(1,)故原不等式的解为a

（2）

011,2yax(a1)x1的草图为：aa1即时二次函数

1,1a故原不等式的解为（）

112yax(a1)x1的草图为：a（3），即a=1时二次函数

.;

.

故原不等式的解为

1(1,)综上，当0a1时原不等式的解集为a；当a1时原不等

1(,1)式解集为a；当a1时原不等式解集为。

2例2：已知关于x的不等式axbxc0的解集是2式axbxc0的解集。

x|x11,或x32。求关于x的不等

解：此题是对一元二次不等式的解进行讲行讨论——知解集求原不等式中待定常数的值。

11,或x322∵axbxc0的解集是

x|x

2∴y=axbxc的草图应为：

a02b4ac011ba3211c故：32a

2∴不等式axbxc0可化为

x2bc51x0即x2x0aa66

.;

.

11x|x23 解得其解集为

2、高次不等式的解法

解高次不等式的方法是图象法，具体步骤是求根、画图象、写解集。

32例：解不等式x3xx10

解：方程

x33x2x10可化为

(x1)(x22x1)0知其根为

x11,x212,x312

32yx3xx1的草图为： 故函数

因此，原不等式的解集为

x|x12或1x123、分式不等式的解法

解分式不等式的方法是转化法，具体步骤是移项、通分、转化。

f(x)f(x)00g(x)g(x)首先将不等式经过同解变形，化成或（g(x)0）的形式，然后再利用

f(x)g(x)0f(x)f(x)00g(x)g(x)f(x)g(x)0g(x)0同种变形：或

.;

.

x29x1172例：解不等式x2x1

6x25x402解：移项，通分得x2x1

(2x1)(3x4)02(x1)∴

2(2x1)(3x4)(x1)0(x1)20转化为

(2x1)(3x4)0∴x10

1x|x1或1x解得，所求不等式的解集为243

说明：高次不等式中对重根的处理分奇次重根、偶次重根两种。如

(xx1)3(xx2)(xx3)0(xx1)(xx2)(xx3)0;(xx1)4(xx2)(xx3)0xx1(xx2)(xx3)0或xx1时不等式成立（若为大于零，则xx1时不等式不成立）。

4、无理不等式的解法

解无理不等式的方法是通过乘方讨论的方法将其转化。

g(x)0g(x)0f(x)g(x)或2f(x)[g(x)]f(x)0 .;

.

f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2

f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0

5、指数不等式和对数不等式的解法

解指对数不等式的方法是通过函数的单调性将其转化为代数不等式（组）求解。

f(x)a1时，aag(x)f(x)g(x)

g(x)0logaf(x)logag(x)f(x)g(x)

0a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)

f(x)0logaf(x)logag(x)f(x)g(x)

注意分类与归纳思想的正确运用。若解关于x的不等式，对x进行讨论，最终结果应求并集，如解无理不等式。若解关于x的不等式，对除x以外的字母进行讨论，最终结果不能求并集，只能分别表述，如解指数对数不等式。

.;