例1 不等式|8－3x|＞0的解集是
[ ]
A． B．RC．{x|x≠83} D．{8 3}分析 ∵|8－3x|＞0，∴8－3x≠0，即x≠83．
答 选C．
例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是
A．3 C．－2
分析 列出不等式．
解 根据题意得2＜|x|≤5．
从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5， 答 选D．
例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．
分析 利用所学知识对不等式实施同解变形．
解 原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7
≤3x－1＜－4解之得53＜x≤83或－2≤x＜－1，即所求不等式解集为{x|－2≤x＜－1或5＜x≤833}．例4 已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为
2＜|2x－6|＜5 －5＜2x－即6＜5，2x－6＞2或2x－6＜－2，
1＜2x＜11，即2x＞8或2x＜4，
解之得4＜x＜112或12＜x＜2．
因为x∈N，所以A＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件．
例5 实数a，b满足ab＜0，那么
A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a－b|
[ B．2 D．－5
[ ]
]
C．|a＋b|＜|a－b|
D．|a－b|＜||a|＋|b||
分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a、b异号， ∴ |a＋b|＜|a－b|．
答 选C．
例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b的值为
[ ]
A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3
D．a＝12，b＝32
分析 解不等式后比较区间的端点．
解 由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得．
a－b＝－113，解之得a＝，b＝． 22a＋b＝2答 选D．
说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 分析 分类讨论．
解 若2m－1≤0即m≤12，则|2x－1|＜2m－1恒不成立，此时原不等
式的解集为；
若2m－1＞0即m＞12，则－(2m－1)＜2x－1＜2m－1，所以1－m＜
x＜m．
综上所述得：当m≤当m＞1212时原不等式解集为；
时，原不等式的解集为{x|1－m＜x＜m}．
说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．
例8 解不等式3－|x||x|＋2≥12．
分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母． 解 注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得
|x|≤43，从而可以解得－43≤x≤43，解集为{x|－43≤x≤43}．
说明：分式不等式常常可以先判定一下
分子或者分母的符号，使过程简便．
例9 解不等式|6－|2x＋1||＞1．
分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c型的不等式来解． 解 事实上原不等式可化为
6－|2x＋1|＞1
①
或 6－|2x＋1|＜－1
②
由①得|2x＋1|＜5，解之得－3＜x＜2； 由②得|2x＋1|＞7，解之得x＞3或x＜－4．
从而得到原不等式的解集为{x|x＜－4或－3＜x＜2或x＞3}．
说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．
例10 已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是________．
分析 可以根据对|x＋2|＋|x－3|的意义的不同理解，获得多种方法．
解法一 当x≤－2时，不等式化为－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解，而－2x＋1≥5， ∴a＞5．
当－2＜x≤3时，不等式化为x＋2－x＋3＜a即a＞5．
当x＞3是，不等式化为x＋2＋x－3＜a即2x－1＜a有解，而2x－1＞5，∴a＞5． 综上所述：a＞5时不等式有解，从而解集非空．
解法二 |x＋2|＋|x－3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a的取值范围为a＞5．
解法三 利用|m|＋|n|＞|m±n|得 |x＋2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x－3)|＝5．
所以a＞5时不等式有解．
说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x＋1|＞2－x．
分析一 对2－x的取值分类讨论解之． 解法一 原不等式等价于： 2－x≥0①
x＋1＞2－x或x＋1＜x－22－x＜0或②
x∈Rx≤2由①得 1x＞或1＜－22x≤2即 11x＞，所以＜x≤2；22
由②得x＞2．
综合①②得x＞12．所以不等式的解集为{x|x＞12}．
分析二 利用绝对值的定义对|x＋1|进行分类讨论解之． 解法二 因为
x＋1，x≥－1 |x＋1|＝－x－1，x＜－1原不等式等价于：
x1≥0x1＜0 ①或②x1＞2xx1＞2xx≥11由①得 即x＞； 12x＞2x＜－1由②得 即x∈．
－1＞2所以不等式的解集为{x|x＞12}．
例12 解不等式|x－5|－|2x＋3|＜1．
分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分
区间讨论，事实上，由于x＝5时，|x－5|＝0，x＝－所以我们可以通过－3232时|2x＋3|＝0．
，5将x轴分成三段分别讨论．
解 当x≤－32时，x－5＜0，2x＋3≤0所以不等式转化为
－(x－5)＋(2x＋3)＜1，得x＜－7，所以x＜－7；
当－32＜x≤5时，同理不等式化为
－(x－5)－(2x＋3)＜1，
解之得x＞13，所以13＜x≤5；
当x＞5时，原不等式可化为 x－5－(2x＋3)＜1，
解之得x＞－9，所以x＞5．
13综上所述得原不等式的解集为{x|x＞或x＜－7}．
说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略． 例13 解不等式|2x－1|＞|2x－3|．
分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝
22对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据|a|＞|b|a＞b解
之，则更显得流畅，简捷．
解 原不等式同解于
(2x－1)2＞(2x－3)2，
即4x2－4x＋1＞4x2－12x＋9， 即8x＞8，得x＞1．
所以原不等式的解集为{x|x＞1}．
说明：本题中，如果把2x当作数轴上的动坐标，则|2x－1|＞|2x－3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离，则2x应当在2的右边，从而2x＞2即x＞1．
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