上海市第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题1．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°得角a，写出所有终边与a相同的角的集合A= ．21x2．“m<”是“一元二次方程+x+m=0有实数解”的________条件.（填充分不4必要、必要不充分、充要、既不充分亦不必要之一）3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂成两个），经过3小时，这种细菌由一个可繁殖成 个.3ö，则其解析式为f(x)= ．4．若指数函数的图像经过点æ,27ç÷è2øa5．若aÎR，函数 f(x)=(x-1)+3的图象恒过定点P，则点P的坐标为．216．设函数f(x)=ì1-x,x£1则f()的值为 ．í2f(2)îx+x-2,x>17．设偶函数f(x)的定义域为R，当xÎ[0,+¥)时，f(x)是严格增函数，则f(-2)，f(-π)，f(-3)的大小关系是 ．（用“＜”连接）8．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA=20cm，ÐAOB=120°，M为OA的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 cm2．试卷第11页，共33页

9．设aÎ(0,1)，则函数y=loga(x-1)的定义域是 ．二、双空题10．不等式2x2-2x-3＜æ1öç÷è2ø．3x-32a=b= ，的与不等式x+ax+b＜0是同解不等式，则三、填空题11．下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x¹x)，12f(x1)-f(x2)(x-1)lg50在区间[1,+¥)有解，则实数a的取值范围为 ．四、单选题

13．如果a>1，那么a0.7，0.7a，log0.7a的大小顺序为（ ）．

A．0.7a14．函数f(x)=logx与f(x)=4x的图象（ ）4A．关于x轴对称C．关于原点对称B．关于y轴对称D．关于直线y=x对称15．已知集合E=qcosq(1)求a的值；(2)若函数g(x)=x+1，求f(x)与g(x)两个函数图像的交点坐标．20．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：c1,1£x£c,6-xP={（其中 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如2,x>c3P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品），已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？21．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]ÍD，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数y=g(x)=3-5不存在“和谐区间”．x2（3）已知：函数y=hx=a+ax-1（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a()a2x()变化时，求出n﹣m的最大值．试卷第41页，共33页

参考答案：üπ1．ìkkÎZýíbb=+2π,3îþ【分析】先求出a，再由终边相同的角求解即可．【详解】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为90°+(-30°)=60°．则a=aπüπ，故终边与相同的角的集合A=ìkkÎZý.íbb=+2π,33îþüπ故答案为：ìkkÎZý.íbb=+2π,3îþ2．充分不必要【分析】满足D=b2-4ac³0,得到有关m的不等式,解不等式即可求出m的取值范围,再根据充要条件的定义找出符合要求的选项即可.【详解】Q关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根,\\D=b2-4ac=1-4m³0,解得m£1,4故“m<11Þ”“m£”,反之不能.44故“m<1x2+x+m=0”是“一元二次方程”有实数解的充分不必要条件.4故答案为充分不必要.【点睛】此题主要考查了充分条件与必要条件的定义以及一元二次方程根的情况与判别式D的关系:(1)D>0Û方程有两个不相等的实数根；(2)D=0Û方程有两个相等的实数根；答案第11页，共22页

(3)D<0Û方程没有实数根.3．512【分析】先算出经过3小时细胞分裂的次数，利用有理数指数幂，求解即可．【详解】∵3小时＝180分钟，180=9（次），20∴经过3小时细胞分裂的次数为∴经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成29＝512个．故答案为512．【点睛】本题考查的是有理数指数幂的应用，根据题意求出经过3小时细胞分裂的次数是解答此题的关键，属于基础题．4．9xxa>0a¹13f(x)=aö)，代入æ【分析】设指数函数的解析式为，(且ç,27÷计算即可得解.è2ø【详解】设指数函数的解析式为f(x)=ax，(a>0且a¹1)，3ö，因指数函数fx的图像经过点æ,27ç÷è2ø3a=9f(x)=9x.3ö2则fæ，即，则其解析式为ç÷=a=27è2ø故答案为：9x.5．(2,4)【分析】先由幂函数过定点(1,1)，再由平移知识得到f(x)=(x-1)a+3过定点(2,4).【详解】因为f(x)=xa过定点(1,1)，将图象向右平移一个单位，向上平移3个单位得：f(x)=(x-1)a+3，答案第21页，共22页

所以f(x)=(x-1)a+3过定点(2,4).故答案为(2,4).【点睛】本题考查幂函数过定点及图象的平移变换，注意平移的原则是“左加右减，上加下减”.6．15 161ö的值.【分析】直接利用分段函数解析式，先求出f(2)的值，从而可得fæççf(2)÷÷èø2ì1-x,x£1【详解】因为函数f(x)=í,2>1，2îx+x-2,x>1所以f(2)=22+2-2=4， 21öæ1öæ1ö15，故答案为15.则fæç÷=1-ç÷=16çf(2)÷÷=fç4èøè4ø16èø【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.7．f(-2)∴f(p)>f(3)>f(2)，即f(-p)>f(-3)>f(-2).故答案为：f(-2)0由于aÎ(0,1)，所以1<故定义域为(1,2]，故答案为：(1,2]10． -61x£2，答案第41页，共22页

【分析】根据指数函数单调性解不等式，结合二元一次不等式解法进而得到答案.【详解】因为y=2x在R上单调递增，3x-32x，即-2x-3＜3-3x，则2x2-2x-3æ1ö＜ç÷è2ø=23-3x即x2+x-6＜0，解得-3＜＜x2，因为-3＜＜x2也是x2+ax+b＜0的解，-3+2=-aìa=1，所以ì，解得ííî-3´2=bîb=-6此时x2+ax+b＜0，即x2+x-6＜0，解得-3＜＜x2，满足题意.故答案为：1；-611．（1）【分析】分析题目要求，可以把4个选项中的函数分别代入不等式|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|分别验证是否成立即可得到答案．【详解】解：在区间(1,2)上的任意实数x1,x2(x¹x)，分别验证下列4个函数．12(1,2)x,x1，f(x)-f(x)=1-1=x2-x12-1．不成立．21对于（4），f(x)=x2，f(x)-f(x)=x2-x2=(x+x)x-x>x-x，不成立．2121212121答案第51页，共22页

故答案为：（1）47212．a>-【分析】根据题意，将原不等式等价变形为：(1-a)50x<1x+2x+3x+¼+49x，再变量分离得到1-a<(1x2349[1+¥)1-a)+()x+()x+¼+()x，原不等式在区间，上有解，即小于右边50505050的最大值．根据指数函数的单调性得到右边的最大值即可得到实数a的取值范围．f(x)>(x-1)lg50xxxx1+2+3+L+49+50ax-1，即lg>(x-1)lg50=lg50()，50【详解】不等式\\原不等式可化为1+2x+3x+L+49x+50xa>50x，移项得(1-a)50x<1x+2x+3x+¼+49x，两边都除以50x，得1-a<(1x2349(*))+()x+()x+¼+()x50505050不等式f(x)>(x-1)lg50在区间[1,+¥)有解，即(*)式的右边的最大值大于1-a1x2349[1+¥))+()x+()x+¼+()x在,上是一个减函数50505050Qg(x)=(\\当x=1时，g(x)的最大值为12349150´4949+++¼+=´=505050505022因此1-a-， 22故答案为：a>-472答案第61页，共22页

13．C【分析】借助指数函数和对数函数的性质确定范围，即可解决.【详解】设y=ax,(a>1)，由指数函数图像性质可知，当x=0.7时，函数值大于1，所以a0.7>1，设y=0.7x,，由指数函数图像性质可知，当0<0.7<1时，x>0时函数值小于1，所以0<0.7a<1，设y=log0.7x,，由对数函数图像性质可知，当0<0.7<1时，x>1时函数值小于0，所以log0.7a<0，所以log0.7a<0.7a0，然后利用正弦函数性质可得答案.4øèsinθcosθ0->πö，2sinæçq-÷>0，4øè【详解】由cosqπ所以2π2ππ,k故选：A【点睛】本题考查复合方程的解的个数的讨论，解题关键点是根据复合方程的性质将其转化为简单方程的解，本题属于较难题.512,tana=-121317．(1)cosa=-(2)当a2为第一象限的角时，cosa=1-m, tana=m1-m2m1-m2，当a2为第二象限的角时，cosa=-1-m，tana=-.【分析】（1）由同角基本关系式及a的象限求解；（2）由同角基本关系式，并分a的象限求解.【详解】（1）由于cosa<0π(2)f(x)的最小值为8，此时x=2时，f(x)无最大值.【分析】（1）利用单调性的定义证明函数y=f(x)在定义域上是减函数：先设x10，故f(x1)>f(x2)，所以f(x)是减函数；（2）由（1）知：当a=8时，y=f(x)=2x+8(0,2]在单调递减，x所以当x=2时，f(x)取最小值f(2，f(x)无最大值.+4=8)=419．(1)a=-1(2)(-3,-2)【分析】（1）由奇偶性的定义，再解方程得出a的值；（2）由f(x)=g(x)，再解对数方程得出交点坐标.答案第101页，共22页

【详解】（1）因为f(x)=log1f(-x)+f(x)=01-ax对定义域内的任+x为奇函数，所以2x-1意x都成立，1+ax1-ax1+ax1-ax×=1， -x+log1+x=0，即-x-1x-1-x-1x-122所以log1整理得(1-a2)x2=0，求解并验证得a=-1或a=1（舍）.f(x)=g(x)（2）由得log1x=-31+x1+x1，则交点纵坐标y = -2，=1，整理得=，解得x-1x-122即f(x)与g(x)两个函数图像的交点坐标为(-3,-2)..9x-2x2,1£x£c20．（1）T＝{6-x；0,x>c（2）当时，日产量为c万件时，可获得最大利润，当时，日产量为3万件时，可获得最大利润【详解】试题分析：（Ⅰ）每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1-P）×2-日产量（x）×次品率（P）×1，根据分段函数分段研究，整理即可；（Ⅱ）利用函数的导数得出单调性，再求函数的最大值．试题解析：（Ⅰ）当x>c时，P=122，\\T=x×2-x×1=0333当1£x£c时，P=1，6-x119x-2x2\\T=(1-)×x×2-()×x×1=6-x6-x6-x综上，日盈利额T（万元）与日产量x（万件）的函数关系为：答案第111页，共22页

9x-2x2,1£x£cT={6-x0,x>c（Ⅱ）由（1）知，当x>c时，每天的盈利额为0Q1£x£c，(i)当3£c<6时，9x-2x2=15-2[(6-x)+9]£15-12=3T=6-x6-x当且仅当x=3时取等号Tmax=3，此时x=3(ii)当1£c<3时，29]知由T=9x-2x=15-2[(6-x)+6-x6-x函数T=9x-2x在6-x2[1,3]\\x=c2上递增，当时\\Tmax=9c-2c，6-c综上，若3£c<6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润;若1£c<3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润．考点：分段函数的应用．21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【详解】试题分析：（1）根据二次函数的性质,在区间0,1上单调递增,且值域也为0,1满[][]足“和谐区间”的定义,即可得到结论；（2）该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明；（3）设[m,n]是已知函数定义域的子集,我们可以用a答案第121页，共22页

表示出n-m的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.试题解析：（1）

y=x2在区间[0，1]上单调递增．

又f（0）=0，f（1）=1，

值域为[0，1]，

区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”． （2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．

故函数在[m，n]上单调

递增．

若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

故m、n是方程的同号的相异实数根．

x2﹣3x+5=0无实数根，

函数不存在“和谐区间”．

（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．

x≠0，

故函数在[m，n]上单调递增．

若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

故m、n是方程，即

ax-(a+a)x+1=0222的同号的相异实数根．

，

答案第131页，共22页

m，n同号，只须

已知函数有“和谐区间”[m，n]，

，即a＞1或a＜﹣3时，

当a=3时，n﹣m取最大值

考点：1.函数的单调性的性质；2.集合的关系；3.二次函数的图象和性质.【方法点晴】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出

区间

上单调递增，且值域也为满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题

是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区

间为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，

原命题成立．（3）设

是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出

的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．

答案第141页，共22页