2.2.1.2分析法

第二章 推理与证明

2.2 直接证明与间接证明

2.2.1 综合法和分析法

第2课时 分析法

1命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”,其过程应用了( ). A.分析法 B.综合法

C.综合法、分析法综合使用 D.间接证法

解析:从证明过程来看,是从已知条件入手,经过推导得出结论,符合综合法的证明思路. 答案:B

2设P= 2,Q= 7- 3,R= 6- 2,那么P,Q,R的大小关系是( ). A.P>Q>R B.P>R>Q C.Q>P>R D.Q>R>P

解析:先比较R,Q的大小,可对R,Q作差,即Q-R= 7- 3-( 6- 2)=( 7+ 2)-( 3+ 6). 又( 7+ 2)2-( 3+ 6)2=2 14-2 18<0, ∴Q3如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么( ). A.ab≤c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一 B.ab≥c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一 C.ab≤c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一 D.ab≥c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一

解析:因为a+b=cd=4,由基本不等式,得a+b≥2 ab,故ab≤4.

(c+d)2

,故4

又cd≤c+d≥4,

所以ab≤c+d,

当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立.故选A. 答案:A

3

4要证3 a- b< a-b成立,a,b应满足的条件是( ).

3

A.ab<0且a>b B.ab>0且a>b C.ab<0且aD.ab>0且a>b或ab<0且a3

解析:要证3 a- b< a-b,

3

3

只需证(3 a- b)3<( a-b)3,

3

即证a-b-33 a2b+33 ab20且b-a<0或ab<0,且b-a>0. 故选D. 答案:D

5“a=1”是“对任意正数x,2x+x≥1”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

解析:当a=1时,2x+x=2x+x≥2 2x·x=2 2≥1成立.

当且仅当2x=x,即x=2时,等号成立. 若对任意正数x,2x+≥1,即

ax

2x2-x+a

≥0x

1

2a

1

1a

恒成立,

18

则有2x2-x+a≥0在x>0时恒成立,得a≥. 说明a≥8时,命题成立,不一定有a=1,

∴“a=1”是“对任意正数x,2x+x≥1”的充分不必要条件. 答案:A

6已知+=2(x>0,y>0),则xy的最小值是 . 解析:方法一:由x>0,y>0,得2=+≥2 ·.

∴xy≥6,当且仅当==1,即x=2,y=3时,xy取得最小值6. 方法二:令x=2cos2θ,y=2sin2θ,θ∈(0,2), ∴x=

2

2

3

𝜋

23xy

23xy

23xy

23xy

a

1

2𝑐𝑜𝑠2θ

,y=

6

32𝑠𝑖𝑛2θ

. 6

∴x·y=

4𝑠𝑖𝑛2θ𝑐𝑜𝑠2θ𝑠𝑖𝑛22θ

=. 𝜋

∵sin22θ≤1,当且仅当θ=4时等号成立,这时x=2,y=3.

∴xy的最小值为6. 方法三:由x+y=2,得y=∴xy=

3x2

23

3x2x-2

, 2(x-1)

(x>1). 令x-1=t,t>0,则x=t+1, ∴

3(t+1)23131

=(t++2)≥(2 t·+2)=6,当且仅当2t2t2t2(x-1)3x2

=t=1时等号成立,即x-1=1,

∴x=2,此时xy有最小值6. 答案:6

7如果a a+b b>a b+b a,则实数a,b应满足的条件是 . 解析:a a+b b>a b+b a ⇔a a-a b>b a-b b⇔a( a- b)>b( a- b)⇔(a-b)( a- b)>0 ⇔( a+ b)( a- b)2>0,

只需a≠b且a,b都不小于零即可. 答案:a≠b且a≥0,b≥0

8正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为的长度为 .

解析:这条曲线在面ADD1A1上的一段是以点A为圆心,

3𝜋

2 3𝜋

为半径,6为圆心角的一段圆弧,在面3

2 3

的点形成一条曲线,这条曲线3

A1B1C1D1上

的一段是以A1为圆心,3为半径,2为圆心角的一段圆弧,由正方体的对称性知,这条曲线的长度为3(·

𝜋2 3𝜋 35 3+·)=π. 63236

5 3π 6

ab答案:

9已知a,b是正实数,求证:+a≥ a+ b.

b 分析:直接应用综合法证明的思路不明显,可先考虑运用分析法证明. 证明:证法一(分析法):

要证+a≥ a+ b, b ab只要证a a+b b≥ ab( a+ b), 即证(a+b- ab)( a+ b)≥ ab( a+ b), 即证a+b- ab≥ ab, 也就是要证a+b≥2 ab,

显然a+b≥2 ab成立, 故+≥ a+ b. a b ab证法二(综合法):

abab∵+ b+a+ a≥2 · b+2 a· a b b =2 a+2 b,当且仅当a=b时取等号, ∴+a≥ a+ b. b 证法三(综合法): ∵(+a)( a+ b)=a+b+ b aab b≥a+b+2 ·a b aba ab b+ b aab=a+b+2 ab=( a+ b)2,

当且仅当a=b时取等号,又a,b是正实数, ∴+a≥ a+ b. b 10已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列.试分别用分析法和综合法证明∠B为锐角. 分析:在△ABC中,要证∠B为锐角,只要证cos B>0,结合余弦定理可解决问题. 证明:证法一(分析法):

要证明∠B为锐角,只需证cos B>0.

因为

a2+c2-b

cos B=2ac

2

ab,

所以只需证明a2+c2-b2>0,即a2+c2>b2. 又因为a2+c2≥2ac,所以只需证明2ac>b2. 由已知b=a+c, 即2ac=b(a+c).

所以只需证明b(a+c)>b2, 即只需证明a+c>b.

而a+c>b成立,所以∠B为锐角. 证法二(综合法): 由题意:b=a+c=ac, 则b=a+c,∴b(a+c)=2ac. ∵a+c>b,∴b(a+c)=2ac>b2. ∴cos B=

a2+c2-b2ac

2

211

211a+c

2ac

≥2ac-b2ac

2

>0. 又∵0<∠B<π,

∴0<∠B<2,即∠B为锐角.

𝜋