正弦函数余弦函数性质2教案

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

——单调性与最值

【学习目标】

1. 通过图象理解正弦函数、余弦函数的单调性、最大值与最小值，体会数形结合方法；

2. 会求简单正弦函数、余弦函数的单调性、最大值与最小值。

【重点难点】

重点 : 通过图象理解正弦函数、余弦函数的单调性、最值

难点 : 正、余弦函数单调性的理解与应用

【教学过程】

一、复习旧知

1. 复习正弦、余弦函数的图象和性质 练习题：

（定义域、值域、周期、奇偶性）

② 函数 y=2sin2x 的定义域是

，值域是

② 函数 y＝sin(2x+

π

3 ) 的最小正周期是

③ 函数 y＝sin2x 是 (

)

π π

C．周期为 2 的偶函数 D ．周期为 2 的奇函数

2. 复习函数的单调性定义

函数的单调性反映了函数在区间上的一个走向。

增函数：

减函数：

3. 观察正余弦函数的图象，探究其单调性

二、讲授新课

1、正弦函数的单调性

在正弦函数的一个周期的区间 [ － ，

] 讨论它的单调性

x

－ ⋯ 0 ⋯ ⋯ π ⋯

sinx

【结论】

2、余弦函数的单调性

类似的，在余弦函数的一个周期上 [ －π， π] 讨论它的单调性

x

－π ⋯ － ⋯ 0 ⋯ ⋯ π

cosx

【结论】

3、正弦函数、余弦函数的最值：

①观察正弦函数图象，可以容易发现正弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，

可

以得出结论：

当 x=

时， ymax=1, 当 x=

时， ymin=－ 1

②观察余弦函数图象，可以容易发现余弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，

可

以得出结论：

当 x=

时， ymax=1, 当 x=

三、例题讲解

例 1：求使下列函数取得最大值、最小值时自变量

时， ymin=－ 1

x 的集合，并说出最大值、最小值分别

是多少？

（ 1） y=cosx+1,x ∈R （ 2） y=-3sin2x,x ∈R

变式训练 1：函数 y=2+sin （ x+

）取得最大值时 x 的集合为 ，最

大值为

【总结】

例 2：求函数 y

sin(

x

) 的单调递增区间。

分析：采用代换法，利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间。

2 3

变式训练 2：

1. 求函数 y 3sin( 2x

π

) 的单调减区间。 4

2. 求函数 y=2cos(3x+ 3 ) 的单调递增区间。 【总结】

四、巩固提高

π π

1．函数 f(x)＝sin(2x－4)在区间 [0，2]上的最小值为

( )

A．－1

2

B．－ 2

2

C． 2

D． 0

π

2.函数＝ 2cos(2x－ 3)的单调增区间是

π π

3．下列函数中，周期为 π，且在 [4，2] 上为减函数的是

.

( )

π

A ． y＝sin(2x＋2)

π

B．y＝cos(2x＋2)

π

C．y＝sin(x＋2) π

D．y＝cos(x＋ 2)

4.求函数 y＝2cos(-x+ 的单调递增区间 .

π

5.求函数 y=－sin(2x－ 3)的单调递减区间。

五、小结反思

六、作业布置：

完成下表、课后练习题

函数

y=sinx y=cosx

图象

定义域

值域

周期

奇偶性

单调性

最值

对称中心

对称轴方程