第２５卷第２期 ２０１１年３月 甘肃联合大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇａｎｓｕ Ｌｉａｎｈｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｖｏ１．２５ Ｎｏ．２ Ｍａｒ．２０１１ 文章编号：１６７２－６９１Ｘ（２０１１）０２－００３６—０４ 柯布——道格拉斯生产函数的回归公式 贾青慧 （兰州资源环境职业技术学院，甘肃兰州７３００２１） 摘要：指出了全国高等教育自学考试经济管理类专业指定教材高等数学（一）微积分中关于柯布——道格拉 ’ 文献标识码：Ａ 斯生产函数线性回归计算公式的错误，并给出了正确的回归计算公式．最后以一实例阐明了这种回归公式的使 用方法． 关键词：柯布——道格拉斯生产函数；回归公式；应用 中围分类号：Ｏ１７２．１ 经济学中的柯布——道格拉斯生产函数是指Ｑ（Ｋ，Ｌ）＝ＡＫ。Ｌｐ的二元函数，其中Ｋ表示资金投 入，Ｌ表示劳动力投入，Ｑ表示产值，Ａ、ａ、卢为常数，Ａ＞０．它是应用比较广泛的生产函数，可用于企业效 益的预测．一般在生产实践中应用的柯布——道格拉斯生产函数是用统计回归的方法得到的． 在全国高等教育自学考试经济管理类专业指定教材：高等数学（一）微积分，２０００年９月第２版这 本书的第３９５页给出了指数ａ、 的回归计算公式为 一 一 毒 毒 Ｑ＝ＡＫ Ｌ ， ， ． 这一组计算公式存在错误． 本文的目的是给出指数ａ、口的正确的回归计算公式，并设计一种具体计算的表格． 设在生产实践中获得了，１个统计数据（Ｑｉ，Ｋ ，Ｌ ）（ ＝１，２，３，…，，１），而柯布——道格拉斯生产函数 的回归公式为 ｌｎＱ—ｌｎＡ＋ａｌｎＫ＋』９ｌｒ ． 设Ｙ —ｌｎＱ，Ｙ‘ —ｌｎＱｉ， １ ＝ＩｎＫ ，Ｘ２ｆ＝ｌｎＬ ，ｂｏ—ｌｎＡ，则 多ｉ—ｂ０＋ １ｉ＋ ２ｆ． 下标１，２分别对应Ｋ和Ｌ，于是Ｙ 与 之间的偏差平方和 Ｍ＝∑（ 一多 ）。一∑（ 一６ｏ一 － 一 。 ）。 应该最小，则回归公式Ｑ＝ＡＫ Ｌ 预测Ｑ的效果愈好． 在Ｍ表达式中，Ｙ ，ｚ∽Ｘ 都是由统计数据（Ｑｌ，Ｋ ，Ｌ ）（ｚ一１，２，３，…，，１）分别取对数后的已知值，而 ｂｏ，ａ，卢是要确定的未知参数．根据多元函数取极值的必要条件有 篙 ｆ弘Ｙｆ—一ｂｏ一 仰 ～一 ２ ｛ｆ）（一ｘ１）ｕ２１＝一０， ．收稿日期：２０１０－１２－１６． 作者简介：贾青慧（１９６２一），女，江苏无锡人，兰州资源环境职业技术学院副教授，从事高等数学与应用数学的研究． 第２期 贾青慧：柯布——道格拉斯生产函数的回归公式 ３７ 即 ＋ａ∑ ＋』９∑鼢＝＝＝∑ ¨ （１） ｌｆ—卜ａ ＋Ｊ９∑ ∑∑ ＝ ∑ ｚｌｉＹ¨ （２） ｚ２￡＋ａ －，●●●●●●●，、●●●●●【 ￣ｌｌＸ：；＋卢∑ｚ ＝＝＝∑ Ｘ２ｉ３，ｉ’ ．， 、 （３） 设 －一 １∑ 一 １ｆ’ｚｌ— 一 １ ｌｉ’ｚ２ ∑∑ ∑ ∑ 于是由（１）得 ∑∑ ｂｏ— 一 ｌ一 ２， （４） 把（４）代入（２）、（３） ∑∑ ．『‘ 一 一 ｚ ＋ａ ｚ 、，ｚ乞＋ １ ２ｉ＝ Ｊｅｌｌｙｉ’ 【（ 一 一 。） ＋口 ｚｌ ２ｆ＋ ＝ ｚ２ｆ ｆ’ ｛ ｚ －－７．。∑‰）ａ＋ ∑∑ ｉＸ２ｉ— ２ ｌｆ）卢一 瓢 一 ∑ｚ１ｉ， Ｘｌｉ，￣２ｉ—一 Ｘ—ｌ∑ｚ。ｚ２ ｆ 口十 厶ｚ 一 ）ａ＋（∑ｚ 一 ｚ∑∑ ２ ） — ，￣２ｉＹ 一 ∑如， 即 ｚ乞一忘ｉ）ａ＋（ ∑ ｚｌｉ ２ｉ一般１ｚ）Ｊ９＝ ３『ｉ一仳１ ＇ （５） “ｚ２ｉ一 ｌ ２）ｚ 一 １） 一 ２ ｉ一７ｌｚ ２ ． （６） ∑∑ ａ＋（∑∑ ∑ 由这个方程组可求出指数ａ、 ，再代入（４）求出ｂ。，而Ａ＝ｅ６ｏ，于是回归公式０＝ａＫ。Ｌ 完全确定． 方程组（５）、（６）的系数行列式 一 ｛ ∑ ￣￣ｌｉｘ２ｉ一，ｌＺｌＺ２ Ｄ＝＝ ∑ ∑ ｌｉＺ２ｉ一，ｌ １Ｚ２ 一 ； 囊 ∑ ｚ乞一 ｉ）（ ∑ ｚ乞一 ；）一 ２ｉ一 １三２）。一 ∑ｚ乞∑ 一（∑ ｚ１ ２ｉ）。一 ｛ ∑ 一 ； ∑ ｚ ＋２忘ｌ ２ｉ— ∑ｚ ∑ 一（∑‰ ２ｉ） 一 ［∑ （至１ｚ２ｉ）。一 ∑ ２ ｌ ２ ｌｆｚ２ｉ＋ ｌｉ）。］＝ ∑ ∑ ｚ 一 ∑ ｌｌ ２ｆ）。一，ｚ ∑ （ ｌ ２ｉ一 ２ “）。， Ｄ１＝ ∑ｚ １ｆ ｌ一，ｚ ｌ ∑ ｌｉＺ２ 一，ｌ １Ｚ２ ∑ ： 一 。 ∑ｚ 一 ； ∑ ｌｉ ｉ一 ｌ ）（ ∑ 一 ；）一（ ∑ ｚ“ｚ２ｉ一 １ ２）（ ∑恐 一 ｚ歹） ∑ ３， ∑ ２ｉ ‘一∑轧％ Ｊ “ ２ ∑ ｚ２ｉ ｉ一船ｌ ∑ ∑ ＋ 。 。∑ ＋ ｚ ∑ 砌＝ ∑ ｌｉ ２ｉ ２ ｉ＋，ｚｚ 一 ２ ）孙＋ ２ ∑ （ ２ｉ一 ）ｚｌｉ＝ ｌｆ ｚ 一 ｚ。ｆｚ。 ∑ ＋ ∑（ ｌ ｚ 一＿２ｚ・ ）（ 。 一 ｚ ）， ｚ 一 ；ｘｕｙｉ一，２Ｚ１ ３， Ｄ２＝ ∑ ∑ Ｚｌｉ ２ｉ一，Ｚ ｌＺ２ ｚ２ｉ ｉ一，ｌｚ２ ＝（∑ 一 ；）（ ∑ ２ ｌ一 ２ ）一（ ∑ １ｉ ｉ一 １ ）（ ∑ ２ｆ一 ｌ ）一 ∑勘 ∑ｚ 一∑ ∑ ｘｕｙ 一 ｉ∑ 一 ∑ ＋ ， ∑ ％＋ － ｚ∑ ＝ ∑鼢 ∑ 乞一 一艋ｌ ∑ （ｚｌ ｆ— ｌ ｌｆ） ２ｆ一魃２ ∑ （菇１ｆ一 １ ｉ） ｌｉ＝ ∑ｚ２ｉ ∑ ｌ 一，ｌ∑（ 劫 一 ｚ ）（ － 一 ） ３８ 甘肃联合大学学报（自然科学版） 第２５卷 当 时， ｌ０ ｌ： ！＿－ ｌ ｌＤ ∑ Ｙ ∑ｚ 一∑ ∑ Ｙ ＋ ∑（ ・ｚ２ｉ一 ｚ ）＿（ ｚ ∑ ∑ 乞一（∑ ｚ２１）。～，ｚ∑（ － 一 ） ∑ ｙ ∑ 一∑ ∑ Ｙ 一 ∑（ 鼢一 ｚ ）（；。Ｙ 一 ） ∑ ∑ 一（∑ｚ１ｉｚ２Ｉ）。一 ∑（ …Ｘ－ｘｚ ） （７） Ｄ２一 Ｄ （８） 由于计算 口的公式（７）、（８）过于复杂，在实际计算中不多采用，而直接由方程组（５）、（６）计算ａ、卢，一般 采用表格方法．现以一实例说明ａ、卢的计算过程． 例——某地区１９５８－－１９７２年农业部门产值、资金、劳动力（工作日）统计资料如表１所示，试建立柯布 道格拉斯生产函数的回归公式（此例选自全国自考教材高等数学（一）微积分，原回归公式推导错 解根据方程组（５）、（６），由表１设计出表２，将表２的结果代入方程组（５）、（６）得 １５３４．４３４６２４—１５×１Ｏ．１１０６８０。）口＋（８５８．４９１４５７一ｌ５×１Ｏ．１１０６８０ Ｘ ５．６５９７ ５） ＝ ５３１．９６２２８１—１５×１Ｏ．１１０６８０×１０．０９６５３５， 误）． ８５８．４９１４５７—１５ Ｘ １０．１１０６８０ Ｘ ５．６５９７１５）口＋（４８０．５２３２９８—１５×５．６５９７１５。 』９＝ ８５７．２７７０４９～１５×５．６５９７１５ Ｘ １０．０９６５３５， ｆ １．０４６８７４ａ＋０．１３７９４８＃一０７１９７６４， ｛１０．１３７９４８ａ＋０。０３７６９０＃＝０．１２４３９０， 。’ Ｄｌ０．７１９７６４ ０．１３７９４８ ｌ ｌ＝Ｊ‘ １ ０Ｊ＝０．００９９６９， １２４３９０ ０．０３７６９０ ｌ ‘．ｆ １．０４６８７４ ０．１３７９４８ Ｉ Ｄ ＝Ｉ１ ０．１３７９４８ ０．０３７６９０１ｌ＝ ０ ０２０４２７． ， ＤＩ １．０４６８７４ ０．７１９７６４ ｌ ２一Ｉ１ ０Ｉ一０．０３０９３１， １３７９４８ ０．１２４３９０Ｉ ‘．所以 ａ一告 ４８８０３１， 告一１．５１４２２１， 代入式（４）得 ｂｏ一１０．０９６５３５—０．４８８０３１×１０．１１０６８０—１．５１４２２１×５．６５９７１５＝一３．４０７８５０， Ａ—ｅ～ ・‘。 。。。一０．０３３１１２． 于是柯布——道格拉斯生产函数的回归公式为 Ｑ＝：＝０．０３３１１２Ｋ ０‘４８Ｂ０。 ＬＬ乩ｔ２２１． 袭１ 第２期 贾青慧：柯布——道格拉斯生产函数的回归公式 ３９ １９５８ １６６０７．７ １７８０３．７ ２７５．５ ９．７１７６２２ ９．７８７１６２ ５．５１８５８８ ９５．７８８５４０ ３１．５６８５３１ ５４．９９００３１ ９５．１０７９４１ ５４．５９９３１４ ｌ９５９ １７５１１．３ １８０９６．８ ２７４．４ ９．７７０６０２ ９．８０３４９０ ５．６１４５８７ ９６．１０８４１６ ３１．５２３５８７ ５５．０４２５４８ ９５．７８５９９９ ５４．８５７８９５ １９６０ ２０１７１．２ １８２７１．８ ２６９．７ ９．９１２０１１ ９．８１３１１４ ５．５９７３１０ ９６．２９７２０６ ３１．３２９８７９ ５４．９２７０４１ ９７．２６７６９４ ５５．４８０５９８ １９６１ ２０９３２．９ １９１６７．３ ２６７．０ ９．９４９０７７ ９．８６０９６１ ５．５８７２４９ ９７．２３８５５２ ３１．２ｌ７３５１ ５５．０９５６４４ ９８．１０７４６０ ５５．５８７９７１ １９６２ ２０４０６。０ １９６４７．６ ２６７．０ ９．９２３５８４ ９．８８５７１０ ５．５８７２４９ ９７．７２７２６２ ３１．２１７３５１ ５５．２３３９２３ ９８．１０１６７４ ５５．４４５５３５ １９６３ ２０８３１．６ ２０８０３．５ ２７５．０ ９．９４４２２６ ９．９４２８７７ ５．６１６７７１ ９８．８６０８０３ ３１．５４８１１６ ５５．８４６８６３ ９８．８７４２１６ ５５．８５４４４０ １９６４ ２４８０６．３ ２２０７６．６ ２８５．０ １０．１１８８５３ １０．００２２７４ ５．６５２４８９ １００．０４５４８５ ３１．９５０６３２ ５６．５３７７４４ １Ｏ１．２１１５４０ ５７．１９６７０５ １９６５ ２６４６５．８ ２３４４５．２ ３００．７ １０．１８３６０９ １０．０６２４２１ ５．７０６１１３ １Ｏ１．２５２３１６ ３２．５５９７２６ ５７．４ｌ７３ｌ１ ｌＯ２．４７１７６１ ５８．１０８８２４ １９６６ ２７４０３．０ ２４９３９．０ ３０７．５ １０．２１８４０８ １０．１２４１８８ ５．７２８４７５ １０２．４９９１８３ ３２．８１５４２６ ５７．９９６１５８ １０３．４５３０８４ ５８．５３５８９５ １９６７ ２８６２８．７ ２６７１３．７ ３０３．７ １０．２６２１６５ １０．１９２９３２ ５．７１６０４０ １０３．８９５８６３ ３２．６７３１１３ ５８．２６３２０７ １０４．６０１５６０ ５８．６５８９４６ １９６８ ２９９０４．５ ２９９５７．８ ３０４．７ １０．３０５７６４ １０．３０７５４５ ５．７１９３２８ １０６．２４５４８４ ３２．７１０７１３ ５８．９５２２３１ １０６．２２７１２６ ５８．９４２０４５ １９６９ ２７５０８．２ ３ｌ５８５．９ ２９８．６ ｉ０．２２２２３９ １０．３６０４６６ ５．６９９１０５ １０７．３３９２５６ ３２．４７９７９８ ５９．０４５３８４ １０５．９０７１６Ｏ ５８．２５７６１３ １９７０ ２９０３５．３ ３３４７４．５ ２９５．５ １０．２７６２７５ １０．４１８５３９ ５．６８８６６９ １０８．５４５９５５ ３２．３６０９５５ ５９．２６７６２０ １０７．０６３７７２ ５８．４５８３２７ １９７１ ２９２８１．５ ３４８２１．８ ２９９．０ １０．２８４７１１ １０．４５７９９９ ５．７００４４４ １０９．３６９７４３ ３２．４９５０６２ ５９．６１５２３８ １０７．５５７４９７ ５８．６２７４１９ １９７２ ３１５３５．８ ４１７９４．３ ２８８．１ １０．３５８８７９ １０．６４０５１５ ５．６６３３０８ １１３．２２０５６０ ３２．０７３０５８ ６０．２６０５１４ １１０．２２３８０７ ５８．６６５５２２ ∑ ｌ５Ｌ４１ｎ０９６５３５ ＝１０．Ｉ１０６８０磊＝５．６５９７ｌ５４８Ｏ２５ １５Ｌ６６０１９３ ８４．８９５７２５ １ ５３４．４ ４３４６２ ４８ｏ・５２３２９８ ８５８・４９１４５７ １５３１．１ ９６２２８ ８５７・２７７０４９ 参考文献： Ｅ１３高汝熹．高等数学（一）微积分［Ｍ－Ｉ．第２版．武汉：武汉大学出版社，２０００：３７８—３９８． Ｔｈｅ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ Ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ Ｃｏｐｐ－Ｄｏｕｇｌｕｓ ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｊ ｌＡ Ｑｉｎｇ—ｈｕｉ （Ｌａｎｚｈｏｕ Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ＆Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ Ｖｏｃ－Ｔｅｃｈ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００２１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｃｏｐｐ—ｄｏｕｇｌｕｓ ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗａｓ ｐｏｉｎｔｅｄ ｏｕｔ，ｗｈｉｃｈ ｗａｓ ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ ｏｎ Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ（Ｉ）ｏｆ ｓｅｌｆ－ｓｔｕｄｙ ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎａ— ｔｉｏｎａｌ ｈｉｇｈｅｒ ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍａｊｏｒｓ ｏｆ ｅｃｏｎｏｍｙ ａｎｄ ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ．Ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｗａｓ ｇｉｖｅｎ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ａｒｔｉｃｌｅ ｓｅｔ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｔｏ ｅｘｐｌａｉｎ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｆｏｒ— ｍｕｌａ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃｏｐｐ—Ｄｏｕｇｌｕｓ ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉ０ｎ；ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
