高一数学任意角的三角函数知识点

任意角的三角函数

1．三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r(r|x|2|y|2x2y20)，那么

y； rxx𝛼

（2）比值叫做α的余弦，记作cos，即cos；

rryy（3）比值叫做α的正切，记作tan，即tan；

xx（1）比值叫做α的正弦，记作sin，即sin（4）比值

xx叫做α的余切，记作cot，即cot；

yy说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点P(x,y)在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当2k(kZ)时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所

以tanxy无意义；同理当k(kZ)时，cot无意义；

yxxyxy、、、分别是一个确定的实数。

yrrx④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

22xy1时，有三角函数正弦、余弦、正切值的P(x,y)当角的终边上一点的坐标满足几何表示——三角函数线。 有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义：

1

设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T.

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OMx,MPy，于是有

（Ⅲ）

（Ⅳ）

（Ⅱ） （Ⅰ） sinyyxxyMPATyMP， cosxOM，tanAT r1r1xOMOA我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。 说明：

（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线 在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆 内，一条在单位圆外。

（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。

（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值。

（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

2

题型一：求解三角函数值 一般角：利用三角函数的定义 特殊角：先化为0至360度之间的角

sin(2k)sin(kZ)cos(2k)cos(kZ) tan(2k)tan(kZ)例1．求下列各角的四个三角函数值： （1）0； （2）； （3）32．

例2．已知角α的终边经过点P(2,3)，求α的四个函数值。

变式训练1：已知角α的终边过点(a,2a)(a0)，求α的四个三角函数值。

变式训练2：角的终边上有一点P（a，a），a∈R，a≠0，则sin的值是( A.22 B.－

22 C.

22或－22 D.1

例3．求下列三角函数的值： （1）cos94 （2）tan(116)，

3

)

otan600的值是____________. D 变式训练1：

A.

33 B. C.3 D.333

题型二：判断三角函数值在不同象限内的正负性 例4．确定下列三角函数值的符号： （1）cos250； （2）sin(

变式训练1：若sinθcosθ0,则θ在________. B

4)； （3）tan(672)； （4）tan11． 3A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第一、四象限 D.第二、四象限

若cosθ0，且sin20则θ的终边在____变式训练2：

C

A.第一象限 B.第三象限 C.第四象限 D.第二象限

变式训练3： 若θ是第二象限角，则( ) A.sin

＞0  B.cos

＜0  C.tan

＞0  D.cot

＜0 变式训练4： 若角、β的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是( ) A.sin=sinβ B.cos=cosβ

C.tan=tanβ

D.cot=cotβ

变式训练5： sin2·cos3·tan4的值( ) A.小于0

B.大于0

C.等于0

D.不存在

例5．求函数y

cosxcosxtanx的值域 tanx4

变式训练1： 若A.第四象限角 C.第二象限角

|sinx|cosx|tanx|++=－1，则角x一定不是( ) sinx|cosx|tanx

B.第三象限角 D.第一象限角

例6．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 （1）

课上练习： 1.有下列命题：

①终边相同的角的三角函数值相同； ②同名三角函数的值相同的角也相同；

③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同； ④不相等的角，同名三角函数值也不相同. 其中正确的个数是( ) A.0

B.1

C.2

D.3

5213； （2）； （3）； （4）．

63362.若角的终边经过P（－3，b），且cos=－

3，则b=_________，sin=_________. 53.在（0，2π）内满足cos2x=－cosx的x的取值范围是_________. 4.已知角的终边在直线y=－3x上，则10sin+3cos=_________.

5

5.已知点P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在第_________象限. 6.计算

sin25133 ，sin ，  ，cos ，sin433，求sin，tan的值 57.解答题：

(1）若点P(6,t)是角终边上的一点，且满足t0，cos

（2）已知角的终边上有一点P(3t,4t)(t0)，求sin,cos,tan的值；

6