2009年山东高考理科数学试题及解析答案12

理 科 数 学

第Ⅰ卷（共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 （1）集合

A0,2,a，B1,a2,若AB0,1,2,4,16,则a的值为

(A）0 （B）1 （C)2 （D)4 (2）复数

3i1i等于

（A）12i B）12i C）2i D）2i （3）将函数

ysin2x的图象向左平移

个单位, 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 4（A)(C）

ycos2x （B）y2cos2x

y1sin(2x4) （D）y2sin2x

（4） 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）223 （B） 423

2 2 (C) 2233 （D） 4233

2

2

2 侧(左)视图

正(主)视图

（5） 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“（A）充分不必要条件 (B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

”是“m”的

exex（6） 函数yxeex

的图像大致为

y y y y 1 O 1 x 1 O1 x 1 O 1 x O 1 1 x

(7）设P是△ABC所在平面内的一点，BCBA2BP,则

（A）PAPB(C)PBPCB

0 (B)PCPA0

0 （D）PAPBPC0

C P 第题图频率/组距 7 A 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 （８)某工厂对一批产品进行了抽样检测。有图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是［96，106］,样本数据分组为［96，98），［98，100）, [100，102),［102，104）,[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是

(A）90 （B）75 （C) 60 （D）45

x2y22（9） 设双曲线221的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个

ab公共点,则双曲线的离心率为

96 98 100 102 104 106 克

第8题图

（A)

55 (B) 5 （C）

24 （D）

5

(10） 定义在R上的函数f(x)满足f（x)= log2(1x),x0，则f（2009）的值为

f(x1)f(x2),x0（A)—1 (B） 0 (C）1 (D) 2 （11）在区间［-1,1］上随机取一个数x，cosx21122(A) （B） (C） （D）

323的值介于0到

1之间的概率为( )。 23xy60（12） 设x，y满足约束条件xy20 ，

x0,y0若目标函数z=ax+by(a>0,b>0）的是最大值为12，则

y x-y+2=0

23的最小值为( ）. ab82511（A） （B） (C) （D） 4

363

第Ⅱ卷（共90分)

二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分. (13）不等式

z=ax+by

2 -2 O 2 x 3x-y-6=0 2x1x20的解集为 .

x（14)若函数f(x）=a—x—a(a〉0且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .

（15)执行右边的程序框图，输入的T= . （16)已知定义在R上的奇函数

开始 S=0,T=0,n=0 f(x)，满足

f(x4)f(x),且在区间[0,2］上是增函数，若方程f

（x）=m（m〉0）在区间

T>S 否 S=S+5 是 8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,

则x1x2x3x4_________.

三、解答题:本大题共6分，共74分。 （17)（本小题满分12分)设函数f（x）=cos(2x+

输出T n=n+2 结束 2）+sinx。 31C,f（33T=T+n (1) 求函数f(x）的最大值和最小正周期。 (2) 设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=(18）（本小题满分12分)

）=－

1，且C为锐角,求sinA. 4 如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形,AB//CD，AB=4， BC=CD=2, AA1=2， E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。 （1） 证明：直线EE1//平面FCC1； （2） 求二面角B—FC1—C的余弦值。

D1

A1 C1

B1

E1

E

A D

C

F B

（19）（本小题满分12分）

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

3 4 5  0 2 p 0.03 P1 P2 （1） 求q2的值;

（2） 求随机变量的数学期望E；

（3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。 （20)(本小题满分12分）

等比数列{an｝的前n项和为Sn，已知对任意的nN,点(n,Sn)，均在函数

P3 P4 ybxr(b0且

b1,b,r均为常数）的图像上.

（1）求r的值; （11）当b=2时，记 bn2(log2an1)(nN)

b1b11b21·······nn1成立 b1b2bn证明：对任意的nN ，不等式

（21）（本小题满分12分）

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对

城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到

城B的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在0.065。

（I）将y表示成x的函数；

的中点时,对城A和城B的总影响度为

（Ⅱ)讨论（I）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B

的总影响度最小?若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由。 (22）(本小题满分14分）

x2y2设椭圆E： 221（a,b〉0）过M（2，2) ，N(6,1)两点，O为坐标原点,

ab（I）求椭圆E的方程；

(II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OAOB？若存在,写出该圆的方程,并求|AB ｜的取值范围，若不存在说明理由。

2009年高考数学山东理科解析

一、选择题 1．【答案】D 【解题关键点】因为2．【答案】C 【解题关键点】因为3．【答案】B

【解题关键点】由题意知：平移后的函数解析式为

AB0,1,2,4,16。所以a4，选D.

3i(3i)(1i)42i2i,故选C. 1i(1i)(1i)2y12sin2(x4)12sin(2x2)，

12cos2x2cos2x，选B。

4．【答案】C

【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的,所以改几何体的体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和,其中圆柱的底面园直径为2，高为2，所以圆柱的体积为2，正四棱锥的测棱长为2,底面正方形的对角线为2,所以此正四棱锥的体积5．【答案】B

【解题关键点】由m为平面内的一条直线且m面内的一条直线，则不一定有mB。

12223221323 ，为故选C。

得出;但是,反过来,若且m 为平

相交但不垂直、m//、m,还可能有m与平面.故选

6．【答案】A

exex【解题关键点】排除法：因为当x0时,函数yexex7．【答案】B

【解题关键点】因为BC8．【答案】A

无意义，故排除B,C,D，故选A。

BA2BP，所以点P为AC的中点，。即有PCPA0,故选B。

【解题关键点】因为样品中产品净重小于100克的个数为36，所以样本容量为

36120，所以样本中产品净重大于或等于

2（0.050.1）120（0..120.1520.1252）90,故选A。

9．【答案】D

98克并且小于104克的个数为

byxbx2y2【解题关键点】由题意知：双曲线21的一条渐近线为yx,由方程组a消去y，x2aabyx1得x2bbx10有唯一解，所以()240，所以

aabca2b2b2,e1()25，故选D。 aaaa10．【答案】C

【解题关键点】由已知得

f(1)log221,f(0)0,f(1)f(0)f(1)1

f(2)f(1)f(0)1,f(3)f(2)f(1)1(1)0,

f(4)f(3)f(2)0(1)1, f(5)f(4)f(3)1,f(6)f(5)f(4)0,

所以函数

f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2009)f(5)1，故选C

11．【答案】A 【解题关键点】当01x时，在区间1,1上，只有22223122x(1,)(,1),根据几何概型的计算方法，这个概率值是。

333cosx或

3x22，即

12．【答案】A

【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分，由题意知:

当直线zaxby(a0,b0)过直线xy20与直线

3xy60的交点4,6时，目标函数zaxby(a0,b0)

取最大值12,即4a6b12，即2a3b6，

23232a3b13ba1325而()，当且仅 ()2abab66ab66当ab时取等号，故选A 。

二、填空题

13．【答案】 （1，1）【解题关键点】原不等式等价于14．【答案】 （1，）2x1x2，两边平方并整理得：3x23,解得1x1。

函数【解题关键点】

f(x)=axxa (a0且a1)有两个零点,方程axxa0有两个

不相等的实数根，即两个函数

yax与yxa的图像有两个不同的交点，当0a1时，两个函

数的图像有且仅有一个交点,不合题意；当a

15．【答案】30

【解题关键点】由框图知，S=5,n=2，T=2； S=10,n=4，T=2+4=6;S=15，n=6，T=6+6=12；

1时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.

S=20。n=8，T=12+8=20;S=25，n=10,T=20+10=30>S,输出T=30。 16．【答案】8

【解题关键点】因为定义在R上的奇函数，满足由

f(x4)f(x),所以f(x4)f(x),所以，

知

f(x)为奇函数，所以函数图像关于直线x2对称且f(0)0，由f(x4)f(x)8为周期的周期函数，又因为

f(x8)f(x),所以函数是以

f(x)在区间0，2上是增函数，所以

f(x)在区间2，0上也是增函数,如下图所示,那么方程f(x)m(m0)在区间8，8上有四个不

同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1x2x3x4，由对称性知，

x1x24(4)(4)12三、解答题 17

，x3x44,所以x1x2x3x48。

【答案】（I）

1312f(x)cos(2x)sinxcos2xsin2x(1cos2x)

322231sin2x, 22。

当sin2x1时，函数f(x)的最大值为13，最小正周期为2（II）

1C133f()=sinC=－，得到sinC42222122sinB33

，又C为锐角，故C3，

cosB故sin18．

Asin(231122223B)323236。

【答案】解法一：(I)在在直四棱柱中，取

ABCDA1B1C1D1

A1B1的中点F1，连结FF1，C1F1由于

FF1//BB1//CC1,所以F1平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1，连结A1D，CF1,

由于CDA所以四边形以EE111FD1C1CD，

////A1F1CD为平行四边形,因此CF1//A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点,所

所以CF1//EE1,又因为EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，所以直线EE1////A1D，

平面FCC1。 （II）因为

AB4,BCCD2,F是棱AB的中点，所以BFBCCF,BDF为正三角形，

取CF的中点O，则OBCF，又因为直四棱柱以CC1ABCDA1B1C1D1中，CC1平面ABCD，所

BO,所以OB平面CC1F,过O在平面FCC1内作OPC1F,垂足为P,连接BP，

则为

OPB二面角BFC1C的一个平面角,在

BCF为正三角形中，

OB3，在

RtCC1F中，OPF～CC1F,∵

12222OPOFCC1C1F

∴

OP222，在

RtOPF中,

BPOP2OB2114322，

2OP7cosOPB2BP7142，所以二面角B-FC1C的余弦值为

77。

解法二:（I）因为所以BFAB4,BCCD2,F是棱AB的中点

BCCF,BDF，为正三角形，因为ABCD为

等腰梯形，所以BACABC60，取AF的中点M,

连接DM,则DM以DM为x轴，

AB，所以DMCD,

DC为y轴, DD1为z轴建立空间直

角坐标系如图所示， 则D(0，0,0），

,F（3，, ，C（0，2，0）A1，0）（3，1，0）,EC1（0，2，2）（31,

，所以 ，，0）E1（3，1，1）22EE1(31,,1)，CF(3,1,0),CC1(0,0,2)FC1(3,1,2)设平面CC1F22的法

向量为

n(x,y,z)则

nCF0nCC10所以

3xy0z0取

n(1,3,0)，则

nEE13113100，所以nEE1，所以直线EE1//平面FCC1. 22（II）

FB(0,2,0),设平面

BFC1的法向量为

n1(x1,y1,z1),则

n1FB0n1FC10所以

y10，取n1(2,0,3),则 3x1y12z10nn12130032，

|n|1(3)22,|n1|220(3)27，

所以cosn,n1nn1277|n||n1|2777。

,由图可知二面角B-FC1C为锐角,所以二面角

B-FC1C的余弦值为

19．

【答案】(I）设该同学在

A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A,B相互,且

P(A)0.25，P(A)0.75, P(B)q2，P(B)1q2.

根据分布列知:

=0时

P(ABB)P(A)P(B)P(B)0.75(1q2)2=0.03，所以

1q20.2,q20.8。

（II）当

=2时,

P1=

P(ABBABB)P(ABB)P(ABB)

P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)P(B)0.75，q2（ 1q2）21.5,

q2( 1q2）0.24

当=3时，

P2=P(ABB)P(A)P(B)P(B)0.25(1q2)20.01;

当=4时,

P3=P(ABB)P(A)P(B)P(B)0.75q220.48；

当=5时，

P4=P(ABBAB)P(ABB)P(AB)

P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)0.25q2(1q2)0.25q20.24

所以随机变量的分布列为

随机变量的数学期望

E00.0320.2430.0140.4850.243.63.

（III）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBBBBBBB)

22P(BBB)P(BBB)P(BB)2(1q2)q2q20.6；

该同学选择（I)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0。72。 因此该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在超过3分的概率。

20．【答案】（I）由题意知：SnA处投以后都在B处投得分

bnr。当n2时，

anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1,由于b0且b1，所以当n2时,{an｝是以b为公比的等比数列,又a1解得rS1bra2b(b1)a2b(b1)b，，即b，a1br1.

Sn2n1当n2时，anSnSn1(2n1)(2n11)2n1，

当

（II）又

n1时，

a1S12111，适合上

式,an2n1,bn2(log2an1)2(log22n11)2n

2n1, 2nbn1357b11b21·······b1b2bn246下面有数学归纳法来证明不等式:

b1357b11b21·······nb1b2bn2462n1n1 2n证明：(1)当n1时，左边392右边，不等式成立. 24(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即

b1357b11b21·······kb1b2bk2462k1k12k，当

nk1时，左边

b1bk11357b11b21·······kb1b2bkbk12462k12k32k2k2，

2k3(2k3)24(k1)24(k1)11k1(k1)1(k1)12k24(k1)4(k1)4(k1)所以当nk1时，不等式也成立. 由（1）、（2)可得当nN时，不等式

357（2n1）n1恒成立,所以对任意的nN,n2123n不等式

b1b11b21·······nn1成立. b1b2bn21．【答案】(I）如右图，由题意知

ACBC，BC2当垃圾处理厂建在弧

400x2,

y4k(0x20) 22x400xA、B的距离都相等，且为102km，所以有

的中点时,垃圾处理厂到

0.0654(102)2k(102)2，

9，

49y2(0x20)

x400x249（II） y2x400x2令

解得k(2x)18x48(400x2)2，y'322x(400x)x3(400x2)249x2400x2

y'0,得x40x21280000,解得x2160，即x410,

又因为0x20，所以函数y在x（0，4上是减函数，在x10）（410，20）上是增函数，

当x410时，y取得最小值，

所以在弧上存在一点,且此点到城市

A的距离为410km，使建在此处的垃圾

处理厂对城市【结束】 22．

A、B的总影响度最小。

【解题关键点】

【答案】（I）椭圆E：

x2y221(a,b0)过M（2,2)，N2ab (6，1）两点,

42122a2b2xy22,解得a8,b4，所以椭圆E的方程为1。

61841a2b2（II）假设存在该圆,满足条件,则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点， 只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为x2y2r2(r4),则当直线AB的斜率存在时，设该圆的切线

ykxm方程为ykxm，解方程组x2得 y2148x22(kxm)28，即(12k2)x24kmx2m280,

则22222216km4(12k)(2m8)8(8km4)0，即8k2m240

4kmxx1212k222m8xx1212k222，

k2(2m28)4k2m2m28k22y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2km(x1x2)mm2212k12k12k22m28m28k2要使OAOB，需使x1x2y1y20，即0，所以3m28k280， 2212k12k3m28所以k0又8k2m24082m2282,所以，所以m233m8，即

m263或

26m3，因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为rm1k2，m2r1k22m28263m283，r13826或m3，所求的圆为x2y28，此时圆的切线ykxm326都满足m3的两个交点为(26，而当切线的斜率不存在时切线为x3x2y2与椭圆18426262626,)满足OAOB, ,)或(333322|AB|(x1x2)y1y28(8k2m24) (1k)(x1x2)(1k)22(12k)222324k45k2132k24[14], 2234k4k134k4k1当k0时，|AB|463，

当k0时

|AB|321[1], 134k224k91223 8111046,故AB因为4k248所以1824k24k3k2当AB的斜率不存在时，

m2146AB4141833x2y2。

综上，存在圆心在原点的圆

8，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B且346,23. AB的取值范围是3