初中数学解题技巧：因式分解的变形策略及换元技巧

因式分解的换元技巧

1．整体换元

例1 分解因式：

x(x+1)(x+2)(x+3)+1=______．

解 原式适当组合化为

(x2+3x)(x2+3x+2)+1

设 x2+3x=y，则

原式=y(y+2)+1

=y2+2y+1

=(y+1)2

=(x2+3x+1)2

2．常值换元

例2 分解因式：

x4+1987x2+1986x+1987=______．

解 设m=1987，则

原式=x4+mx2+(m-1)x+m

=x4+mx2+mx-x+m

=(x4-x)+(mx2+mx+m)

=x(x-1)(x2+x+1)+m(x2+x+1)

=(x2+x+1)(x2-x+m)

=(x2+x+1)(x2-x+1987)

计算①632+372+63×74； ②982-15×98-34．

解：①令a=63，b=37．

原式=a2+b2+2ab=(a+b)2=(63+37)2=104．

②令a=98，

原式=a2-15a-34=(a+2)(a-17)=8100．

3．均值换元

例3 在实数范围分解因式：

(a2+a+1)(a2-6a+1)+12a2

4．双重换元

例4 分解因式：

(a+b)(a+b-2ab)+(ab-1)(ab+1)．

解 设a+b=x，ab=y，则

原式=x(x-2y)+(y-1)(y+1)

=x2-2xy+y2-1

=(x-y)2-1

=(x-y+1)(x-y-1)

=(a+b-ab+1)(a+b-ab-1)

=(a-1)(1-b)(a+b-ab+1)

分解因式的变形策略

因式分解中的10种变换

一、指数变换

例1 因式分解xn+1-3xn+2xn-1．

解 xn+1-3xn+2xn-1

=x2·xn-1-3x·xn-1+2xn-1(指数变换)

=xn-1(x+1)(x-2)．

二、符号变换

例2 因式分解(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)．

解 (a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)

=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)(符号变换)

=(a-b)(x-y+x+y)

=2x(a-b)．

三、换元变换

例3 因式分解(x2+5x+3)(x2+5x-2)-6．

解 设x2+5x-2=y，则

(x2+5x+3)(x2+5x-2)-6

=(y+5)y-6(换元)

=y2+5y-6

=(y+6)(y-1)

=(x2+5x+4)(x2+5x-3)

=(x+1)(x+4)(x2+5x-3)．

四、整体变换

例4 因式分解(x+y)2-4(x+y-1)．

解 (x+y)2-4(x+y-1)

=(x+y)2-4(x+y)+4(将x+y看作一整体)

=(x+y-2)2．

五、拆项变换

例5 因式分解x2-11x+24．

解 x2-11x+24

=x2-3x-8x+24(将-11x拆为-3x-8x)

=x(x-3)-8(x-3)

=(x-3)(x-8)

六、添项变换

例6 因式分解 4x4+1．

解 4x4+1=(4x4+4x2+1)-4x2 (添4x2项)

=(2x2+1)2-(2x)2

=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)

七、主元变换

例7 因式分解 18x2-21xy-5y2．

解 18x2-21xy+5y2

=5y2-21xy+18x2

(将原式看作关于y的二次三项式)

=(5y-6x)(y-3x)．

八、分组变换

例8 因式分解 x4-x3+x-1

解 x4-x3+x-1

=(x4-x3)+(x-1) (分解)

=x3(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x+1)(x2-x+1) ．

九、数域变换

例9 因式分解 4a4-1．

解 4a4-1

=(2a2+1)(2a2-1) (有理数范围)

注意：2a2+1到高中后还可以继续分解．

十、综合变换

例10 因式分解a6-b6

解 a6-b6

=(a2)3-(b2)3 (指数变换)

=(a2-b2)(a4+a2b2+b4) (公式变换)

=(a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2) (添项变换)

=(a2-b2)[(a4+2a2b2+b4)-(ab)2] (分组变换)

=(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2) (公式变换)

一、符号变形

例1 分解因式：x2(x-z)+z2(z-x)

解 原式=x2(x-z)-z2(x-z)

=(x-z)(x2-z2)

=(x+z)(x-z)2．

二、指数变形

例2 分解因式：x6-z6．

解 原式=(x3)2-(z3)2

=(x3+z3)(x3-z3)

=(x+z)(x2-xz+z2)(x-z)(x2+xz+z2)．

三、分组变形

例3 分解因式：a(a+b+c)+bc．

解 原式=a[(a+b)+c]+bc

=a(a+b)+(ac+bc)

=a(a+b)+c(a+b)

=(a+b)(a+c)．

例4 分解因式：(x2+x+1)(x2-6x+1)+12x2．

解 原式=[(x2+1)+x][(x2+1)-6x]+12x2

=(x2+1)2-5x(x2+1)+6x2

=(x2+1-2x)(x2+1-3x)

=(x-1)2(x2-3x+1)．

四、拆项变形

例5 分解因式：x3-9x+8.

解 原式=(x3-x)-(8x-8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

五、添项变形

例6 分解因式：4a4+1．

解 原式=(4a4+4a2+1)-4a2

=(2a2+1)2-4a2

=(2a2+2a+1)(2a2-2a+1)．

六、展开变形

例7 分解因式：ab(c2+d2)+cd(a2+b2)

解 原式=abc2+abd2+a2cd+b2cd

=(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd)

=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)

=(ad+bc)(ac+bd)．

七、换元变形

例8 分解因式：(x-z)2+4(x-y)(z-y)．

解 设x-y=a，z-y=b，则x-z=a-b．

∴ 原式=(a-b)2+4ab

=(a+b)2

=(x+z-2y)2．

例9 分解因式：(a2+b2)(a2-ab+b2)-2a2b2．

解 设a2+b2=x，ab=y．

原式=x(x-y)-2y2

=x2-xy-2y2

=(x-2y)(x+y)

=(a2+b2-2ab)(a2+b2+ab)

=(a-b)2(a2+ab+b2)．

八、主元变形

例10 分解因式：6a2+11ab+3b2+4a-b-2．

解 以a为主元，则

原式=6a2+(11b+4)a+(3b2-b-2)

=6a2+(11b+4)a+(3b+2)(b-1)

=6a2+[2(b-1)+3(3b+2)]a+(3b+2)(b-1)

=[2a+(3b+2)][3a+(b-1)]

=(2a+3b+2)(3a+b-1)．

1．添项(拆项)变换

例1 分解因式 4x3-31x+15

解 原式=4x3-10x2-2x2+5x+12x2-30x-6x+15

=x(4x2-10x-2x+5)+3(4x2-10x-2x+5)

=[(4x2-10x)-(2x-5)](x+3)

=[2x(2x-5)-(2x-5)](x+3)

=(2x-1)(2x-5)(x+3)

2．组合变换

若多项式的项数较多，需考虑组合变换，对多项式进行组合时，须每组项数一样多，且每组各项有公因式，提出公因式后，所得到的另一因式又是各组的公因式，也有时先拆项，再组合．

例2 分解因式

a2+2b2+3d2+3ab+4ac+5bc

解 先拆项后组合

原式=(a2+ab+ac)+(2ab+2b2+2bc)+(3ac+3bc+3c2)

=a(a+b+c)+2b(a+b+c)+3c(a+b+c)

=(a+b+c)(a+2b+3c)

例3 分解因式

x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz

解 原式=(z2x+z2y)+(x2y+y2x)-(y2z+xyz)-(x2z+xyz)

=z2(x+y)+xy(x+y)-yz(x+y)-xz(x+y)

=(x+y)(z2+xy-yz-xz)

=(x+y)(y(x-z)-z(x-z))

=(x+y)(x-z)(y-z)

3．展合变换

有些多项式，须先展开再集项组合才能分解．

例4 分解因式

(a+b-2ab)(a+b-2)+(1-ab)2

解 原式=a2+2ab+b2-2a-2b-2a2b-2ab2+4ab+1-2ab+a2b2

=a2(b2-2b+1)-2a(b2-2b+1)+(b2-2b+1)

=(b2-2b+1)(a2-2a+1)

=(a-1)2(b-1)2

4．对称变换

上面例4用对称变换分解如下：

令m=a+b，n=ab，则

原式=(n-1)2-(m-2n)(2-m)

=n2-2n+1-2m+m2+4n-2mn

=(m2-2mn+n2)-2(m-n)+1

=(m-n)2-2(m-n)+1

=(m-n-1)2=(a+b-ab-1)2=(a-1)2(b-1)2

例4用对称变换分解，思路容易接通，运算也较简捷．

5．配方变换

配方变换在因式分解中经常使用，如把x4+x2y2+y4分解因式，式中有x4+y4，若中间出现2x2y2，就能配出(x2+y2)2．

例5 分解因式x6-y6．

解 原式=(x2)3-(y2)3

=(x2-y2)(x4+x2y2+y4)

=(x+y)(x-y)[(x2+y2)2-(xy)2]

=(x+y)(x-y)(x2+xy+y2)(x2-xy+y2)

6．换元变换

例6 分解因式(1+a+a2+a3)2-a3．

解 令1+a+a2=m，则

原式=(m+a3)2-a3

=m2+2ma3+a6-a3

=m2+2ma3+a3(a3-1)

=m2+2ma3+a3(a-1)(a2+a+1)

=m2+2ma3+a3(a-1)m

=m(m+2a3+a4-a3)

=m(m+a4+a3)

=(1+a+a2)(1+a+a2+a3+a4)

7．主元变换

例7 分解因式

a2b2-5a2b-3ab2+15ab-14a2+5b2+42a-25b-70

本题从表面上看很复杂，只要视a为主元，问题迎刃而解．

解 原式=(b2-5b-14)a2-3(b2-5b-14)a+5(b2-5b-14)

=(b2-5b-14)(a2-3a+5)

=(b+2)(b-7)(a2-3a+5)