数值分析答案

2-1己知y=f(x)的数值如下：

(1) _________________________________________________________

x 0 1 2 3 y

2

3

12

147

x -2 -1 0 1 y

15

4

5

24

求Lagrange插值多项式并写 解：

⑴心占签签1）+寿君塔心

（X - X。）（兀一 “）（兀一兀3 ） /（ 丫）十（X_Xo）（X_Xi）（X_D）/（t）

（七-Xo ）（X2 一 Xj（x2 一勺） \" （“3 一 人0）（勺一勺）（兀3 一 兀2）

(X_1)(X_2)(X_5)¥2十 xt¥_2)(x_5) *3十 x(x_l)(x_5) 乂】？十 x(x_l)(x_2) (-1)(-2)(-5) (1-2)(!-5) 2(2-1)(2-5) 5(5 -1)(5 —2)

=X3 + X2 -x+2

R\\ (x)=丄 A(x- l)(x 一 2)(x -5)/⑴(g), 0 v § v 5

⑵厶⑴=(「屮-专-⑹ ©)+ ‘弩一晋“ (X。一 勺)(・％ - X2)(XO 一 兀3 )

U1 一 Xo )(\" 一 X2)(X1 一 勺)

十(X-Xo)(X-“)(X-X3)几丫)| (X_Xo)(X_\")(X_X2)几丫)

(也一勺)(^2 一 X1)(X2 一勺) \" (“3 一 人0)(勺一习)(兀3 一七)

= (x+l)x(x-l) X15 + (x + 2)x(xT) x4 + (x + 2)(x + l)(x-1) x5+ (x+2)(x + l)x %24 ~ (-2 +1)(-2)(-2 -1) (-1+ 2)(-1)(-1-1) 2)(1 + 1)

2(-1)

=x3 + 9.V2 +9.V+5

& (x)誌(x + 2)(+ - DV ⑴(§), - 2 < § < 1 2- 2己知函数lnx的如下数据

X 8 10 12 14

y 2.07944 2.30259 2.48491 2.63906 试分别用Lagrange线性插值和二次插值计算ln（ll・85）的近似值，并估计它的截断误差。

解：线性插值公式:

…、 X- X. 一 、 _

厶(X)= /(^0)+ /(V1)

兀0 一 M

\"一

当 x=11.85 时, 區(x)| =亠(11.85 一 10)(11.85 一 12) < 1.3875X10\"3

厶(11.85)=

x-12 x-10

10-12

x 2.30259+

12-10

x 2.48491= 2.47124

二次插值：

5苯迸為5+铝舲心 需禺心

=ggpx2.30259+ 1・8*一2・1» x 2.48491+ '吩。® x2.63906= 2.47221

2x4

2 x (-2) 4x2

2^1) (1 + 误差估计：|/?.(x)|< —x(11.85-10)(11.85-12)(11.85-14) <1.98875XW4O

1

\"

1

3x3

2- 3设兀,…，七为任意给定的n+1个互不相同的节点，证明：

(1) 若f(x)为不高于n次的多项式，则f(x)关于这组节点的n次插值多项式就是它自己。 ⑵若A(x) (/ = 0,1,…,n)是关

于这组节点的Lagrange基函数，则有恒等式

£#/©)三£ = 0丄…屮

i.l n 工43(兀一』三o,

/-1

« = o丄…屮

证明：

⑴ R{x) = /(x) 一 Pn (x) = J―叫出(力

S + 1)!

因为f(x)是n次多项式，所以它的11+1阶导数为零。故f(x)关于这组节点的n次插值多项 式就是它自己。 ⑵取/(x) = xk, R = 0丄…在xQ,xi,-^xlt处进行n次拉格朗口插值，则有

J =P„(x) + R“⑴=工(x) X £ + 1__VP,+1 (x)

盘 S +1)!

由于广+\"@) = 0,故有

7=0

三比 £ = 0丄…，”。

⑶ 将(形一』按二项式展开，得(厂一羽—士日产'^」*\

J=o

”

” (k

、 土(—i)c疔y

(-1)'6‘1>九3

R “

则

y=o

y=o y=o / r=o y=o

由上题的结论得：

=±(一1)%宀旳-1心0。

1=0 1=0

2-4已知函数表 ___________________________________________________________ X y 0.1 0.9950 0.2 0.9801 0.4 0.9211 0.6 0.8253 0.9 0.6216 试构造四次Ne^lon插值多项式，计算cosO.47的近似值并估计截断误差。

解:

自变量 0.1 0.2 0.4 0.6 函数值 0.9950 0.9801 0.9211 0.8253 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 -0.149 -0.295 -0.479 -0.4867 -0.46 0.0534 0.9 0.6216 -0.679 -0.4 0.0857 0.040375 P4(X)=0.9950-0. 149(X-0. 1)-0.4867(X-0. 1)(X-0.2)+0.0534(X-0. 1)(X-0.2)(X-0.4) +0.040375(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4) (x-0.6)

当 x=0.47 时,P4(x)= 0.16

|/?2(x)|< Sm^ x (0.47- 0.1)(0.47- 0.2)(0.47- 0.4)(0.47- 0.6)(0.47- 0.9) < 2.5517x 10'6。

\\R2(X)\\< -><(0・47-0・1)(0・47-0・2)(0・47-0・4)(0・47-0・6)(0・47-0・9) S3・2576xl()Y

2- 5在区间[44]上给出f(x)=e-在等距节点下的函数表，若用二次插值求i的近似值，要使 截断误差不超过10®问

所用函数表的步长应怎样选取？ 解：在区间[x1.bx1]±,记x = x x +-S

2

误差

陶(X)|=寻< ^-x^-[s(5-l)(5+l)] <-^-e4A3 <10-6

=>/z<1.317xl0\"2

则用二次插值的步长应：=>//<0.6585xl0-2

2- 6对区间仏b]作步长为h的剖分，且|/(x)|8

证明：区间上的误差限：\\RU(x)|<|x-||x-x/+1 \\<—h2, xe[xi9xi+l]

误差限:\\Rk(x)| < max|心(x)| = —A2, i = 0丄…昇？

8

2 8

2・7 设 /(x) = /—125^ + 237/- 999 •计算差商 f[2\\2l]J[2\\2\\-^]及/仔学,…/].

1

解：

自变量 1

函数值 -886 -2975 一阶差商 -20 2 /[2°,21] =-20,

/(2°,21,22,-,27 ) = -^-^. = 1,

/(2%2\\2,-,2) =

S

2

心=0

8!

2-8 设/(x)在有三阶导数,xQ, xY e [a, b],证明：当 x e [a, b]

+ 匸(X 一 忑)'(X — XJ广\"(g), g G (d, b) o

证明：根据己知条件町得到如卞表所示的插值条件:

X V

Xo f(Xo) f'(xo) Xi f(Xl) y 建立差商表:

自变量 Xo Xo Xi

函数值 一阶差商 二阶差商 f(xo) f(Xo) f'(xo) /Ui)-ZUo) •V1 一 *0 伽) “一\" 勺一勺 则由newton插值公式可得：

/(x) = /So) + 广do)(x - “0) + —A1 A°--------------------------------- (x-x0)2 + R(x)

“ 一勺

整理得：

/(沪』一恥一2芒+小心)+(「\")(「心八心+ 口4心)+尺⑴

(“ 一 X。厂 \"一勺 (勺一心厂

其中R(x)由以下计算得到：

构造辅助函数： (p{t) = f(t) - N、(0- doU)(y(x) - Nr (x))

(x-X0)・(x-“)

於)有X0,X,Xx三个零点，0(x)有心,$，臭三个零点,则(pn\\x)至少有一个零点，记作歹。

0 ” (勺=广 ” 一 -------- T

3!

- (/(A)- N三(x)) =0=> Rd) =

U-Ao ) \"x - “)。

2- 9用下列函数值表构造不超过3次的插值多项式，并建立误差估计式。

X f(x) f'(x) 1 0 1 2 2 3 9

解： 建立差商表:

自变量 0 1 1

函数值 一阶差商 二阶差商 三阶差商 1 2 2 9 1 3 7 2 4 1 2 则由newton插值公式可得：

P(x) = l + x+2xx(x-l) + x(x—I)2 = 1 + x3 o

误差估计式：R(x) = ------ --- X(X-1)2(X-2) O

4!

2- 10求满足下列条件的Hemiite插值多项式

X】 V1

1 2 1 2 3 -1 y'i 解：//2=i[2(l+2^)(x-2)2+3(l-2^)(x-l)2+(x-l)(x-2)2-(A-l)2U-2)]

=—2.1’ + 8.v\" + 3x+5

2-11求一个不高于4次的插值多项式P」(x),使得

P(0) = p'(0) = 0, p(l) = p\\l) = 1, p(2) = 1 o

解：根据已知条件可得到如下表所示的插值条件：

X P

0 0 0 1 1 2 1 P， 1 建立差商表: 自变量 0 0 1 1 函数值 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 -1 -1 -0.5 0.25 2 1 则由newton插值公式可得:

P(x) = ]x(x_0)2 _lx(x_0)2(X_l)+ 0.25x(x_0)2(x_ 1)2 =0・25J_l・5p +2.25/ o 2-12根据卜•表建立三次样条插值函数

X f(x) fl(x)

1 2 1 -1 2 4 3 2 解：Z7! = 2 » gl = %'』[兀0, H】 + “』[“，兀2】)=°

列方程: -i/H0 + 2叫 + — /??2 = 0 => 叫=0 则三次样条插值函数为:

s!(X)= [1 + 2(x 一 x0 )](x-x1)2y0 + [l-2(x 一 xj](x -x0 ) ? ” + (x - x0 )(x - =8-16X+13X2-3X3,

' mQ +(x-x0)2(x- x1>z1

-ve[L2]o

s 2 (Aj = [1 + 2(x 一也)b 7)2 Ji + [1 - 2(X-X2 )](X 一羽)2 y2 + (x — 七)(兀一七)'+ (x -xx)2(x-x2 )m 2

=-40+56x-23x2+3x3, x e [2,3]。 2-13已知y=f(x)的如下数值 X 0 -8 1 2 3 19 4 56 -7 0 求三次样条插值函数S(x),满足边界条件 y (1) SXO)=O, S5(4)=48

(2) Sn(0)=0, S”(4>=24

解：用三转角算法计算：

(1)人=- ——=—,“I = T，g] = 3(几』[勺，“]+

% + 几 2 2

y x2]) = 12

兄2 = 了 ~~ = — > “2 =厅，= %几三/I\" , X2]+ “2于[“2，“3〕)= 39 h2 + % 2 2

心,務=3阳匹宀］+ “丿［心百］)=84

=3

列方程组: =12 =27

则三次样条插值函数为:

5i(x) = [14-2(x-xo)](x-x1)2yo+[l-2(x-x1)](x-xo)2yi+(x-xo)(x-x1)2/no+(x-xo)2(x-xi)w1 =x3-8,

x e [0,1] o

S2(x) = [14-2(x-)](x-x2)2 y! +[1-2(X-X2)](X-X1)2>,2 4-(X-X1)(X-X2)2/??1 + (X-)2(X-X2)m2 =x3-8, x e [1,2] o

S3(x) = [1 + 2(x一 x2)](x-七)2 y2 + [1 一 2(x -屯)b一 X2)2 >3 + (兀 一 x2)(x 一 和‘IU2 + (牙一 (兀一 xz)nh =x3-8, x e [2,3] o S4(x) = [1 + 2(X _ =x3-8, xe[l 4]o

+ [1 _ 2(x _ x4)\\x 一 耳)2 儿 +(A-.¥3)(X _ 心尸竹 +(X _

(X _ 些)心

(2) go =3/1心，勺]-牛W =3

g4=3/[n] +织：=123

2 1

2

1 0 0 0

宀1

2 - 0 0

2

叫=o 加i = 3 m2 = 12 列方程组：0*2*0

0 0丄2丄

2 0 0 0 1

12 m2 = 39 84 叫=27 2 “4 2

123 ni4 = 48 则三次样条插值函数为:

•Si(-v) = |i+2(A：-x0)](x-x1)2y0 + [l-2(x-x1)](x-x0)2y1+(x-x0)(x-x1)2m0+(x-x0)2(x-x1)w1 =x3-8, x e [0,1] o

S2(x) = [14- 2(x-)](x-x2)2 y! +|1-2(X-X2)](x-x1)2y2 4-(x-x1)(x-x2)2/??1 4-(x-)2(x-x2)m2 =x3-8,

xe[l, 2]o

S3(x) = [1 + 2(x一x2)](x-.v3)2y2 + [1 -2(x- v3)](x一x2)2y3 + (x一x2){x-.v3)2叫 + (x一x2)2(x一x3)w3 =x3-8,

x e [2,3] o

SO = [1 + 2(X-X3)](X-X4)2 ” + [1 - 2(x - £)](x -羽尸 y4 + (入•一 [3,4] o

-心)讪3 + (兀一 x3)2 (x 一 x4)m4 =x3-8, x e

用三弯矩算法计算：

(1)几]=

/?1 +h2

——=—,“1 = T，gi = 6/[“，勺‘勺]=18

2

2

^2 = ■ ~~r~ =斤，“三=牙，S2 = 6/1“、^2，“ 】=36 /?2 +/?3 2 2

] 1 1

^3= T~~r = 0 9 皿g3 =6/[七川3，心]=

/?3 + 力4 2 2 So =6 -----------: --------- = 6,

丿心心]-必

第三章最佳逼近

f

h

■■- - 0 12 3 4 M M M M M o o o 1 - 22 o O 1-2 2 1 O1 -2 2 1 - 20 1 2 1-2 o O 21 -2 o o O h

4

X 0 12 3 4 M M M M M 6 8 6 4 6 6 13 5 6 列方程组:

一■一=> V - A/】

(2)列方程组:

18 =36 =>

M] = 6

=12

2

严」

42」[M3 =18

3」求下列函数在指定区间上得一次最佳平方逼近多项式并估计平方误差 （1） /（A） = Jx , xe[0,1]

解：设 PiU） = c0+qx

法方程组为:

•(Po4o)(^i^o)po' \\f^得到：（％,%） = J：dx = l , （%，©）=

= #，（5®） =

,

（/，%） = J；仮厶=彳，（/,^I）= |^A-2JX=| o

'1 2 c

o+yq = T

于是法方程组为：.2

\\4

4

解之得：CO = — ,

所以，最佳平方逼近一次多项式为： 响）=善+决 误差估计：

由误差估计式:62 = ||/-门（疏=|『||； -（/,P1）= “'（x）dx-工订y（x）0i（Jdx r=0

2.22x107。

(2) f{x) = -9 xe[l,3]

X

解：设 Pl (x) = Co + c\\x 法方程组为:

Wo\"o)

(Po®)

基函数为：00=1，（p\\ = X、 f =—

X

得到：@j,%) = J：dx=2,

ICQ+AC^ = ln3

于是法方程组为：

26 c 4c0+ —q =2

解之得：

c0 = -^In3 — 6 , C]=3-31n3。 ＜

所以，最佳平方逼近一次多项式为：（X）= （— In3 - 6） + （3- 3In3）x。 误差估计：

3

1

3

由误差估计式：J2 -（人= ［厂（羽心-工订 f{x）（p\\x）dx

= ^^rJx-f0ln3-2c1=121n3-y(ln3)2 -y = 4.847xl0_3o

⑶ f{x） = e^x , X e ［0,1］

解：设 01 （ v） = CQ + ckx

法方程组为：［（%'%）05）卜］ = ［（〃』

■（%®） @5）丄5」L（M）・ 基函数为：00=1，（p\\=x、 f = e^x 得到：（00，%）= J：dx=l

i 1 r i 亍 (/,%)=

一丄，(/\\®) = [x\"\"dx=l-? o

Jo

e J°

e

1 t 1 r t-：

于是法方程组为:

11,2 丁・o+ = 6=l_ —

解之得：c1 = 6 - — o

e

e

所以，最佳平方逼近一次多项式为：P1（A） = （--2） + （6--）XO e e 误差估计：

由误差估计式:尸=||/-几(別；-(/,”]) = (f'(x)dx-工Cijy(x)®(x)dx z=o

i -上)=o

(1--)-6 (1 4.945 x 1 ()T

e e

(4) J\\x) = cos;zx , x e [0.1] 解：设 Oi CO = 5 + cix

法方程组为:

•（%、％）

•(兀

Wo®)(5®)]

00 51.

)

基函数为：0o=l，q\\ = x、 f = cos7a 得到：（00，0o）= Jodx=l ,

1

COS^：vJ.¥=0 ,

(M)叮

2 XCOSQZAT = — r

7T

于是法方程组为:

扫

=°

Co+

12

解之得：q=二，q=-供。

7T

24

7T

JT 7T

所以，最佳平方逼近一次多项式为：“2）=三-孚x。 误差估计：

由误差估计式：S2 =”-刃（魂=刖；-（人几）=［厂（x）dx-工订/（g（x）dx z=o

=£(cos^x)2dx + — Cj = 7.2328x1()-'。

3- 2求/(x) = smx, xe [0,0.1]在①=和初｛1, x,疋｝上的最佳平方逼近多项式，并给出平 方误差。

解：设 p2 (x) = co +C1X+6X’

®o\"o）（%%）（厲 Wo®） @1心）馄伦）.

法方程组为： (%5) (04) (d®)

=

(“)

2

基函数为：00=1，（P严 x、 （p = x 9 f = sin x 2

■

■—

・（/，

02.

& “ 1 _

x^dx = — xlO Jo 3

4

得至lj： (%,%) =

>oi 1

xdx= — xlO - , @o，0)= o 2

Qp(p)= f x2dx= ixl0~3 » (®、0)= 卫厶=丄xl0~4 ,

Jo 3 \"Jo

@一0)= (° 川厶=丄xl0~5

Jo

pO.l

5

pO.l

(/、％) = J sinAz/x=l-cos0.1» (人0)= J xsinxdx= sin 0.1-O.lcosO.l,

fO.l ・

f(p2)= J f sin xdx = -0.0 lcos 0.1 + 0.2 sin 0.1+ 2cos0.1- 2

0.1co+ * x 10-2 Cj + i x 10-3 c2 = 1- cos 0.1

于是法方程组为:

2 0 3 1

* 丄Xi。-。+丄X107Q + 丄xl(F4c = sinO.l-O.lcosO.l

4 ■

ixl0-3co+ 丄 xlO-。] + 丄 xloYp =l・99cos0・l + 0・2sin0・l-2

■

解之得：c0 =-0.8324407x10'5, q =1.0009991,门=-0.0249851。

所以，最佳平方逼近一次多项式为：p2(A) = -0.8324407x 1 O'5 +1.000999lv-0.024985k2。 误差估计：

由误差估计式：沪=1=||彳|； -(/,必)=『/'(兀皿-£cf/(x)®(x)dx

\"

\"

r=0

*

dx- c0 (1 - cos0.1) — 6 (sin 0.1-0.1 cos0.1) —c2(l.99cos0.1+ 0.2sin 0.1 — 2) =2.8814X10 山

3- 3求参数a,卩，使(s\\n. x - a - /3x)2dx达到极小。

解：本题也就是求f(x尸smx的最佳平方逼近一次多项式/71(x) = a + ^xo

法方程组为:

•(%®) a Wo®)(加0). 基函数为：卩0=1, (p、= I / = sin .r

.0. 得至lj：(00，%)=『dx~~2

sin xdx = 1 ,

(人牙 sin xdx =]

于是法方程组为:

f a + —/? = 1 2 8 〃 ——a + 8

—p=l 24戶

解之得：Q = Z —6(4-兀)，0=24(4-刃。 兀 兀

34已知一组数据如下： XI VI 2 2 4 11 6 28 8 40 用最小二乘法求拟合这组数据的一条直线，并估计平方误差。

解：线性拟合：/?1(x) = c0 +cYx 根据基函数给出法方程组

1111

=

2 4 6 8

YT =\\2 11 28 40]

20

求得

\"心

'4

4

Ay = '81' 536

7

81 536

法方程组为:

20 120

20\"

.20 120_ 51.

解得：co=-12.5, 0=6.55 求得拟合线性多项式函数 pi(x)=-12.5+6.55x误差为：J2 =

/=0

-儿

F

1 26.80 1 39.90 先计算出拟合函数值: _______________________________________________

XI 1 0.600 1 13.70 P1 得到：J2 = 10.7

3- 5己知函数值表 XI Yx -2 0 6

-1 1 0 2 1 1 2 0 试用二次多项式拟合这组数据并给出平方误差。

解：二次拟合：/?2(x) = c0 +c{x+c2x2 根据基函数给出法方程组

1 1

A7 =

1 1 1 0 1 2

-2 -1 4

,YT =

[0 1 2 1

1 0 1 4.

_

5 0

10'

求得

0 10

10 0

0

34

9

K = 0

2

_

5 0 0 10

10_ 0 34

5 5 c->

'4 = 0

法方程组为：

10 0 2

解得：co=58/35=1.6571, 6=0, c2=-3/7=-0.4286 求得拟合线性多项式函数

p：(x)=1.6571-0.4286X2

6

误差为：沪-儿

F

2=0

XI -2 P2

-0.0573

-1 1.2285

0 1.6571

1 1.2285

2 -0.0573

先计算出拟合函塑岂 _____________________________________________________

得到：尸=0.2286

3- ___________________________________________________________________ 6给出下列数

XI -3 yi 14.3

-2 8.3

4.7

2 8.3

4 22.7

用最小二乘法求

解：根据基函数给出法方程组

求得

Ar = 1 1 1 1 1 , y7 =[14.3 8.3 4.7 8.3 22.7]

L

9 4 1 4 16

5 T

34 5 34

」

583

=563

AY

法方程组为:

解得：a=3.5» b=1.2o

3-7确定经验公式尸一 中的参数，使之与下列数据拟合: l + ax+bx^ xi 0.1 0.172 0.2 0.323 0.3 0.484 0.4 0.690 0.5 1.000 0.6 1.579 VI 解：将经验公式转化为：L=[+ax+hA\" =Lx+l+LL

y

ex

c c c x

令乙=丄，6ZO = - ,

y

c

c \" c

= - 9 则上式转化为：z = aQx+at +a^ 丄。

\" x

上表的的数据变为：

xi

0.1 5.814 0.2 3.096 0.3 2.066 0.4 1.449 0.5 1.000 0.6 0.633 zi 取 ■ 1 10 0.1 1 5 0.2

1 03

1

这时D1 =

10/3 2.5

1 1

2 5/3

6

DTD= 24.5

24.5 149 —

36

2.1 6 0.91

0.4 0.5 0.6

149— L 36

6

zT =[5.814 3.096 2.066 1.449 1.000 0.633],

14.058

DTZ= 87.1842

3.2798

解得：a0=-1.9674,山=0・9761,心=0.5034。 则 a=l・939, b= -3.908, c=1.987o

3-

8在某化学

反应里，生成物的质量浓度讯10屯/皿3)与时间t(nun)的关系式为

y = a + pt

现测得一组数据如下:

XI yi 1 4.00 2 6.41 3 8.01 4 8.79 6 9.53 8 9.86 10 10.33 12 10.42 14 10.53 16 10.61 试确定出参数Q、Po

解：将经验公式转化为：\"卜畔

上表的的数据变为:

XI zi 0.25

1

2 0.156

3 0.125

4 0.114

6 0.105

8 0.101

10 0.0968

12 0.096

14 0.095

16 0.094

取 °o(x) = l,

'ill 1 0.5 0.333

g 10

1 \"9226

2.69226 1.492967

zT =[0.25 0.156 0.125 0.114 0.105 0.101 0.0968 0.096 0.095 0.094], 7. r 1.23281 D1 z =

0.45863

1

1 0.125 0.1

1

1 0.08333

1 0.07143

1 0.0625

这时 DT =

0.25 0.16667

解得：a = 0.1650, B = 0.07。

3- 9用最小二乘法求卞列方程组的解 2x + 4y = ll 3x-5y = 3 A + 2y = 6 4x+2y = 14

Xj + 2X2 = 5 (1) • 2^+AS =6

X] +x2 = 4

⑵ <

解：

“ + 2X2 = 5 \"1

⑴＜ 2xj +x2 = 6 =>

2

2 1

'5'

T =

6 _4

“ +x2 = 4

1 1_ x2

简化为：Ax=Y

两边同乘以系数矩阵的转置矩阵，就得到所需要的法方程组： 具体计算如下:

6 5'

'21' _20_

5 6_ ■ ■ ■

解得最小二乘解：Xi=26/lb X2=15/11

2A + 4y = ll 3x-5y = 3

'2

4 '

'1 f 3 6 14

3 -5 —s

x+2y = 6 1 2 4x+2y = 14 4 2 . 简化为：Ax=Y

L

門-

两边同乘以系数矩阵的转置矩阵，就得到所需要的法方程组：

11

3

14

-5

3 -5

14 1 41 3

具体计算如下:

2

4-522

解得最小二乘解：x=1450/487=2.9774, y=597/487=1.2259

第四章 数值积分与数值微分

4- 1用四节点复化梯形公式计算积分

(1)

+ x2 dx , (2) [ sin(cos x2 )dx

解：(1)

―点WW⑴+ 2x孰护护后爭+

[/(!> + / ⑵+ 2x §/(l + f)] =—0.3517

1.13

(2) 7-3

4- 2用四节点复化Simpson公式计算积分

(1) A/2-SHI2 xdx ,

(2) e 2 dx

解：⑴—炸皿皿勒氐⑵-l)) + 2xt/(^)] = 0.7241

(2) 53=^[/(1) + /(2) + 4X£/(1+ 辛)+ 2x£/(l + i)] = 0.3407 f=l f=l 4- 3分别用复化梯形和复化Smipson公式计算积分

并使绝对误差限|xl0-6不超过，问需要将区间[0, 1]多少等分? 解：复化梯形：

所以区间应该409等分。 复化Smipson公式：

_(i)：所以区间应该6等分。 2885严」 — ------- 7 f ⑴(\") < 一!一 <1x10^ =>//>5.1 2880//4 2

2880f 44利用枳分fg/x=21n2计算ln2时，若采用复化Simpson公式，问应取多少个节点才能

使其误差的绝对值不超过轨宀

65 V 24 2880//4 ;;5 所以应26等分，节点数为：2X26+1 = 53个。 4- 5直接验证Sunpson求积公式

53X24 中。—.2 < 2880/ “ ⑴厶〜乎［他）+ 4/（乎）+ /（b）］

具有3次代数精确度。 证明： 当 f(x)=l 时t ff(x)dx =b-a

M[/⑷+钉(甞)+ /(\")]\"一宀等式成立。

6 2

当 f(x)=x 时，\\bf(x)dx=h ~a

•o

2

字[/⑷+ 4/(字) + /(〃)]=字S + 2(a + b) + b] = Xy ,等式成立。

6 2 6 2

当 f(x)=x2 时,fhf (x)dx=-———

Ja

3

6

2

(，字[/⑷+ 4/(早)+ /9)]= 字[/+(0 +用+沪]：=二^ ,等式成立。

6

3

当 f(X)=x3 时，jbf(A)dx=h ~

J

a 4

6

2 5

• 5庆—a/?\"+2a_/?3

7

+b4]= --------------------------------- - ------------------------- 4 24

6

2

4

¥[他)+仃(学) + 〃)] = ¥[宀畔^沪匸牛，等式成立。

当 f(x)=x4 时,Shf (A)JA =-———

%

b — a * 人亍 a + b r . - b — a 亍 A (a + bf

—-[/(n) + 4/(——) + /(/7)] = ^[674 + V

6 2 6

等式不成立，所以Smipson求积公式具有3次代数精度。

4- 6设函数由下表给出，分别用复化梯形和复化Smipson公式计算积分『：/0炖

X1

0.6 5.7 0.8 4.6 1.0 3.5 1.2 3.7 1.4 4.9 1.6 5.2 1.8 5.5 f(Xi) 解：

复化梯形公式：

5

0 2

T6 = —[f(Q.6)+ /•(l・8) + 2x》/'(0・6+02)]=0・l[5・7+5・5+2(4・6+3・5+3・7 + 4・9 + 5・2)] = 5・5 2 i=i

复化Smipson公式：

0.4 S3=— [/(0.6) + /(1.8) + 4/(0.8) + 4/(1.2) + 4/(1.6) + 2/(1.0) + /(1.4)] = 5.4667 6

4- 7用两点Guass型求积公式计算积分

2 e~xx2dx

(3) 匚厂'Tl+dr

解：

l-|cos2 xdx= /(0577350262) +7(-0577350262) = 1.6112 (2)0.853553390牙(0.58578370 +0.1446609纱(3・414213562今= 2.0000

仁厂“ Jl + x2dx = 0.8886226925l[/(0.707106781) + /(—0.707106781)]=2.1767 用两点Guass-chebgshev公式计算积分

1 1-A-2I ____ dx

L1

VTv

解:

1

^=^ = >cosj) + /(cos^]4

•I

4-9 如何用两点Guass型求积公式计算下列积分:

jxj，+ldx, (2) £ — Jx,⑶

o e “、

6.v

(4)

上肩话

解:

(1)

xyll + x2dx = 1 £ (1 +1 t)Jl +(1 +1 /)2 J/ = 1 [/(05 77350262) + /(-0577350262)] = 0.6102 (2)

sinx

竺丄_1_厶=0.853553390才(0.5857837© + 0.1446609岁(3.4142135629 = 1.0961

^^dx = - I 亠心丄[0・853553390号(0・58578370 + 0・1446609爭(3・414213562今]=0・4118 1 + f 2\" l + r/4 2 (4)

亍 6' dx =丄((1 + /)/ /(I+ !/)(£-lr)dt =丄[/(0577350262) + /(-0577350262)] = 1.4142 61 / V 6 6 2 2 0

Jg-3x)

4-10确定X], x“ Ai，Am使下式成为Guass型求积公式

卜(x)dx^ AJ{xl) + A2f(x2)

解:

因为

呱 )

6

上面的求枳公式显然是两点Giiass型求枳公式，其中A=A2=|, A1=±(1 +

4-11己知尸f(x)的如下数据

Xi 0.6 0.7360 0.8 0.8365 0.9 0.9095 1 1 1.1 1.1105 1.2 1.2446 1.4 1.6017 分别利用三点数值微分公式计算fQ)和r(i)o

解: 广⑴二

厂⑴ J.9095-23.2 = 2