2023-2024学年湖北省部分区域高一下册期中联考数学试题(含解析)

一、单选题1．已知tan5，则A．2sin3cos（3sin2cosB．1）C．171335D．713【正确答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果．【详解】2sin3cos2tan32531，3sin2cos3tan2352故选：B．2．设复数z满足z1i2，则z（A．）C．2D．222B．1【正确答案】C【分析】由复数相等及除法运算求复数，根据共轭复数概念及模的求法求结果即可.【详解】由题设z故选：C3．sin2023最接近（A．3222(1i)1i，则z1i，故z2.1i(1i)(1i)）B．22C．22D．32【正确答案】B【分析】先利用诱导公式得到sin2023sin137，从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案.【详解】sin2023sin2160137sin137，其中137为第三象限角，且当为第三象限角时，sin0，其中sin135sin45

23，又sin120sin60，22而135较120，离137更近，综上，sin2023最接近故选：B2.2

4．关于向量a，b，下列命题中，正确的是（

A．若ab，则ab

rr

C．若a//b，b//c，则a//c

）．B．若ab，则a//b

aD．若b，则ab

【正确答案】B【分析】利用相等向量、向量的模及平行向量等概念，判断选项的正误即可.【详解】向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同，故A错误；

若ab，得a,b方向相反，则a//b，故B正确；

当b0，a与c不一定平行，故C错误；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D错误；故选：B．5．已知一个足球场地呈南北走向．在一次进攻时，某运动员从A点处开始带球沿正北方向行进16米到达B处，再转向北偏东60°方向行进了24米到达C处，然后起脚射门，则A，C两点的距离为（A．87米【正确答案】D【分析】作出示意图，利用余弦定理计算即可.）B．810米C．32米D．819米【详解】如图，根据题意可知AB16,BC24,ABC120.212222根据余弦定理可得：ACABBC2ABBCcos120162421624()，2解得AC819(米)故选：D

a6．已知向量a，b满足bab，则ab在a方向上的投影向量为（）A．aB．bC．2a

D．2b

【正确答案】Aabab【分析】根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到ab0，再由投影向量的定义即可求解.22

【详解】由已知条件得：abab，即ab0，又ab在a方向上的投影向量为2

aaabaaaab

abcosab,aa，aaaaa

故选：A.π4π

7．已知sin，则cos2α（）653

7124

A．B．C．252525【正确答案】BD．7

25【分析】根据三角函数诱导公式以及二倍角的余弦公式化简、求值，即可得答案.π4【详解】由于sin，65πππ167π2故cos2cos2cos212sin12，36625253故选：B．8．已知锐角ABC，AB23，CA．0,3【正确答案】CB．0,3π

，则AB边上的高的取值范围为（3）C．2,3D．2,3πππ【分析】设AB边上的高为h，根据题意得A，再结合条件得h2sin2A1，626再分析求值域即可.【详解】因为ABC为锐角三角形，C

π

，设AB边上的高为h，3π0Aππ2所以，解得A6202πAπ32abc234

由正弦定理可得，sinAsinBsinC，3211π所以a4sinA，b4sinB，因为Schabsin，2233ab2π所以h24sinAsinA4sinA

233

31

cosAsinA22

π23sinAcosA2sin2A3sin2A1cos2A2sin2A16π6π2π6π6因为A，所以2A1π5π，所以sin2A1，626

π

所以22sin2A13，所以AB边上的高的取值范围为(2,3].6

故选：C.二、多选题9．若复数z1i2023（i为虚数单位），则下列结论正确的是（A．z2C．z2为纯虚数【正确答案】ABC【分析】由i的幂运算的周期性可求得z1i；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定义依次判断各个选项即可.【详解】z1i20231i4i31i，对于A，z1212，A正确；对于B，由虚部定义知：z的虚部为1，B正确；对于C，z21i2i为纯虚数，C正确；对于D，由共轭复数定义知：z1i，D错误.故选：ABC.2

2）B．z的虚部为-1D．z1i

505

π

10．已知函数fxsin3x2，则下列说法正确的是（4

A．函数fx的一个周期为πB．直线x

π

是yfx的一条对称轴1223）π

C．点,0是yfx的一个对称中心12

ππ

D．fx在区间,上单调递减124

【正确答案】ABD【分析】根据三角函数的性质逐项分析.【详解】对于A，3，所以最小正周期T对于B，将x所以x

2π

，A正确；3πππππ

代入函数解析式得：fsin32sin2，21212124

π

是一条对称轴，B正确；12π

对于C，因为fx可以看作是函数ysin3x向上平移2个单位后的函数，4

所以对称中心的纵坐标不可能是0，C错误；πππππ

对于D，当x,时，则3x,π，而正弦函数ysinx在,π上单调递减，422124

ππ

所以fx在区间,上单调递减，D正确.124

故选：ABD.11．已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinAsinBcsinCbsinB，则下列说法正确的是（A．C

）π65π33，则ABC的面积为128B．若ABC的面积为3，则c的最小值为2C．若a1，B

D．若b3，c7，则满足条件的ABC有且仅有一个【正确答案】BC【分析】由正、余弦定理及已知得C公式求解．【详解】∵asinAsinBcsinCbsinB，∴由正弦定理可得a(ab)c2b2，即a2b2c2ab，π

，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积3a2b2c21

对于A选项，由余弦定理可得cosC，2ab2∵0Cπ，∴C

π

，故A错误；313对于B选项，由题可知absinCab3，∴ab4，24由余弦定理可得c2a2b22abcosCa2b2ab2ababab4，∴c2，当且仅当ab2时等号成立，故c的最小值为2，故B正确；3asinC6acπ2对于C选项，由题可知A，由正弦定理得，∴c

4sinA2sinAsinC221165π6ππ66233∴ABC的面积为acsinB1，故Csinsin()

222124448正确；对于D选项，由余弦定理可得c2a2b22abcosC，即7a293a，a2-3a+2=0，解得a1或a2，故D错误．故选：BC．12．在ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（A．ABACAD0

B．DAEBFC0

ABACkADk0，则BD是AB在BC方向上的投影向量C．若ABACAD1

D．若点P是线段AD上的动点，目BPBABC，则的最大值为8）【正确答案】BD【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确；对选项C，首先根据已知得到AD为BAC的平分线，即ADBC，再利用平面向量的投影概念即可判断C

错误；对选项D，首先根据A,P,D三点共线，设BP=tBA+(1-t)BD，0t1，再根据已t

1-t111

)=-(t-)2+，即可判断选项D正确.知得到1t，从而得到y=lm=t(

22282

【详解】如图所示：

对选项A，ABACAD2ADADAD0，故A错误；111

对选项B，DAEBFC(ABAC)(BABC)(CACB)

222111111

ABACBABCCACB

222222111111

ABACABBCACBC0，故B正确；222222

ABACAD，，分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量，对选项C，|AB||AC||AD|ABAC

为BAC的角平分线表示的向量.由平面向量加法可知：|AB||AC|ABACkAD，所以AD为BAC的平分线，因为|AB||AC||AD|又因为AD为BC的中线，所以ADBC，如图所示：

所以BD是BA在BC的投影向量，故选项C错误；对选项D，如图所示：因为P在AD上，即A,P,D三点共线，

设BP=tBA+(1-t)BD，0t1.(1-t)1

BC.又因为BDBC，所以BP=tBA+22t

因为BPBABC，则1t，0t1.2

令y=lm=t´当t1-t111

=-(t-)2+，222811时，取得最大值为.故选项D正确.28故选：BD.三、填空题13．已知向量a1,3，ab1,2，则ab_________．【正确答案】5

【分析】求出向量b的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得ab的值.ab1,2a1,3b【详解】因为，则2,1，因此，ab235.，故答案为.514．若复数z的虚部小于0，且z21，则z1______．4

【正确答案】-4【分析】设zabi(a,bR且b0)，根据z21，求出a,b，再根据复数的乘方运算即可得解.【详解】设zabi(a,bR且b0)，则z2abia2b22abi1，2

a2b21a2b21a2b21

所以，则或（舍去），2ab0a0b0b1b1所以（舍去）或，a0a0

所以zi，z1故4

4

1i2i4

42

π

15．将函数fxsin2x的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标保持不6

π

变），再向左平移个单位长度后得到函数gx的图象，则函数gx在x0,π上的单调递3减区间为______．π

【正确答案】,π

3

ππ【分析】根据图象变换可得gxsinx，再以x为整体结合正弦函数的单调减区66间即可求解.【详解】将函数fx的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标保持不变），π

得到ysinx，6π

再向左平移个单位长度后得到函数gx的图象，3πππ

得到gxsinxsinx，366

ππ7π

∵x0,π，则x,，666

ππ7ππ令x,，解得x,π，6263

π函数gx在x0,π上的单调递减区间为,π.3

π

故答案为.,π

3

π

16．已知点Ax1,fx1，Bx2,fx2是函数fx2sin(x)0,0图象上2

π

的任意两点，角的终边经过点P1,3，且当fx1fx24时，x1x2的最小值为.3π若x0,，不等式mfx2mfx恒成立，则实数m的取值范围是_____________.61

【正确答案】m

32π

，即可求出，可得fx解322π析式；根据x0,可得fx的范围，不等式化为m1，求出1的最2fx2fx6【分析】由的终边上的点可求出的值，再由题可得T

大值即可.【详解】（1）角的终边经过点P1,3，所以tan3，又

ππ0，所以，32π

，3因为当fx1fx24时，x1x2的最小值为所以T

2π2π2π

，即，所以3，33π

可得fx2sin3x，3

ππππ31π

,，当x0,时，3x,，sin3x6336322

所以3fx1，所以2fx0，于是mfx2mfx即为m

fx2fx1

2

，2fx由3fx1，232fx3，所以3231得1

222423，32fx2321

，2fx321

的最大值为，2fx31所以实数m的取值范围是m.3故答案为.m

13四、解答题17．已知复数z12i，z223i.(1)计算z1z2.(2)若z5，且复数z的实部为复数z1z2的虚部，求复数z.【正确答案】(1)74i(2)z43i或z43i.【分析】（1）由复数的乘法运算法则，即可求解；（2）设zabi，由z5和z1z24i，根据题意求得a,b的值，即可求得复数z.【详解】（1）由题意，复数z12i,z223i，2可得z1z2(2i)(23i)46i2i3i74i

（2）设zabi(a,bR)，因为z5，所以a2b225，由复数z1z2(2i)(23i)4i，所以复数z1z2的虚部为4，又因为复数z的实部为复数z1z2的虚部，所以a4，又由a2b225，解得b3，所以z43i或z43i.

18．已知向量ak,1，b(k3,k1)．

(1)若a//b，求k的值；

(2)若a(ab)，求a与ab的夹角的余弦值．



【正确答案】(1)k3或k1(2)21313【分析】（1）根据向量平行列方程，即可求得k的值；

（2）根据平面向量垂直列方程，求出k的值，再结合坐标运算求a与ab的夹角的余



弦值即可．ak,1，b(k3,k1)，a【详解】（1）因为//b，所以k(k1)(k3)0，即k22k30，所以k3或k1．（2）因为a(ab)，所以a(ab)0，即aab0所以k21[k(k3)(k1)]0，1

，2

1711所以a,1,b,，则ab4,，2222

2



所以4k20，即k



aab

所以cos

aab

11()21242()22252213.1322b，319．在ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且asinBcosCcsinBcosA

cb.(1)求cosB；(2)若c3，AC边上中线BD3，求ABC的面积.【正确答案】(1)(2)213【分析】（1）由正弦定理和已知可得sinB

22，利用三角函数的平方关系可得答案；31

（2）法一：在ABC和△ABD中，由余弦定理可得b22a26，cosB，求出a代入三31

角形面积公式可得答案；法二：由cosADBcosCDB0得b22a26，cosB，求3出a由S△ABC

1ac3

acsinB可得答案；法三：作DE//BC交AB于E，则BE，DE，2222由余弦定理可得a1，代入三角形面积公式计算可得答案.【详解】（1）由正弦定理有sinAsinBcosCsinCsinBcosA因为sinB0，有sinAcosCsinCcosAsinACsinB

2因为cb，故cosB0，cosB1sinB

22sinB，322，31；32bc2BD2222bca2（2）法一：在ABC和△ABD中，cosA，2bcb2c2因为c3，BD3，则b22a26，222a292a26acb1因为cosB，所以a1，2ac6a3所以SABC

1122acsinB132；2232

2

bb

393a2

22法二：因为cosADBcosCDB0，所以0，bb2323

22有b22a26，222a292a26acb1因为cosB，所以a1，2ac6a3所以SABC

1122acsinB132；223法三：如图，作DE//BC交AB于E，则E是AB的中点，所以BE

21ac3

，DE，cosBEDcosABC，232223a22即3a222所以SABC

321，解得a1，31122acsinB132.223已知OAB中，点D在线段OB上，且OD3DB，延长BA到C，使BAAC．设OAa，20．

OBb．

(1)用a,b表示向量OC,DC；

(2)若向量OC与OAkDC共线，求k的值．7

【正确答案】(1)OC2ab，DC2ab；4(2)．23【分析】（1）利用向量线性运算法则即可表示；（2）利用向量共线定理即可计算．【详解】（1）∵A为BC的中点，1∴OA(OBOC)，237

可得OC2OAOB2ab，DCOCODOCOB2ab；447

（2）由（1）得OAkDC(2k1)akb，4

∵OC与OAkDC共线，则OC(OAkDC)，7即2ab(2k1)akb，4

∵a,b不共线，22k12

k∴，解得．7

31k

4

π

21．已知函数f(x)2sin(2x)(0).6(1)若点(域；π2π

(2)若函数f(x)在,上单调递增，求实数的取值范围.33

5π3π

,0)是函数f(x)图像的一个对称中心，且(0,1)，求函数f(x)在0,上的值84

【正确答案】(1)[1,2]1

(2)0,4

412

k，从而得到，进而利用正弦函数的性质，563【分析】（1）利用整体代入法求结合x的取值范围即可得解；（2）利用整体代入法求得f(x)的单调性，从而利用数轴法得到关于k0,的不等式，结合正弦函数的周期性先确定k0的值，再得到的取值范围，由此得解.【详解】（1）由题意得:

(0,1)5ππ41

kπ,kZ,k,kZ,4656

2,3ππ4

f(x)2sin2x2sinx,

663ππ7π3π4

x0,,x,，66643π14

sinx,1，6233π

故函数f(x)在0,上的值域为[1,2].4

kππkπππππ

x2kπ2x2kπ,kZ，解得，36262π2π函数f(x)在,上单调递增，33π2πkππk0ππ,0,,k0Z，3336

（2）令

πk0ππ

3k0133,,即

6k14kππ2π00

36又0，2ππ112π3

T,0,332222151k0,k00,0，61

所以的取值范围为0,.4

3x3xxxacos,sin,bcos,sinfxabmab1，22．已知向量，函数2222

x,，mR．34



(1)当m=0时，求f的值；6

(2)若fx的最小值为1，求实数m的值．【正确答案】(1)(2)m232【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及两角和的余弦定理得到函数fx的解析式，代入计算即可.6（2）利用向量的运算的坐标表示及两角和的余弦定理化简函数解析式，再利用换元法根据函数最大值求出参数m的值.【详解】（1）3x3xxx3xx3xx3xxabcos，sincos，sin=coscossinsincos()cos2x

2222222222

当m0时，fxab1cos2x113

fcos21cos11，63226

3xx3xx1

sinsin（2）x,，cosx,1，又a+bcos+cos，

2222234

223xx3xx3xx3xxabcos+cos+sinsin=22coscossinsin22222222=22cos(3xx)=22cos2x4cos2x2cosx22

fxabmab1cos2x2mcosx12cos2x2mcosx

m1mm22

tcosx令，则t1，f(t)2t2mt=2t，对称轴为t，2222

2

当113m11

，即m1时，f(t)在,1上单调递增，f(x)minf()m1解得m（舍2222221m1mm1，即1m2时，f(t)在,上单调递减，在,1上单调递增，22222

去），当mm2f(x)minf()1，解得m2，22m1

当1，即m>2时，f(t)在,1上单调递减，f(x)minf(1)22m122

3

解得m（舍去），2综上，若fx的最小值为−1，则m2，