一、选择题
13：导数
1 ．（天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学（理）试题） 函数 的图
象与 x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
）
（
A ．
2 ．（天津市耀华中学
B．1 C．2 D．
已知函数
2
2013 届高三第一次月考理科数学试题）
f (x)=x
cosx，则
f (0.6),f (0), f (-0.5) 的大小关系是
A ． f (0)< f (0.6)< f (-0.5) C． f (0.6)< f (-0.5)< f (0)
3 ．（天津市天津一中
（ ）
B． f (0)< f (-0.5)< f (0.6) D． f (-0.5)< f (0)< f (0.6)
. 定义在 R上的可导函数 f(x), 且 f(x) 图像
1
2013 届高三上学期一月考理科数学）
连 续 , 当 x≠0 时 ,
1
f '( x) x f (x) 0 , 则 函 数 g( x) f (x) x 的 零 点 的 个 数 为
（
） A ．1
4 ．（天津市新华中学
B．2 C．0 D．0 或 2 已知函数 f (x)( x
2012 届高三上学期第二次月考理科数学）
R) 满足 f (1) 1，
的
解
集 （
为
且
f (x)
的 导 函 数
1
，
则
f '(x)
2
f (x)
x 1
2 2
） A ． x
1 x 1 B． x x
D．
1
C ．
x x 1或x 1
x x 1
+2f ’(2)+3,
2
二、填空题
5 ．（天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题 （WORD版 ））若 f(x) 在 R上可
导 ,f(x)=x
第 1 页 共 32 页
则
3 f （ x ）
dx .
0
3
x
6 ．（天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷）
若不等式 |ax
ln | 1对任意 x (0 ,1] 都成
立, 则实数 a 取值范围是 ________.
7 ．（天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题） 1 计算
x
-1
(2x+e )dx =
；
8 ．（天津市天津一中
2013 届高三上学期一月考理科数学）
曲线 xy 1与直线 y=x 和 y=3 所围成的平面
图形的面积为 _________.
9 ．（天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题）
设
1
m
exdx,
e
n
x 1dx, 则0
1
的大小关系为 ______.
3
2
10．（天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）
已知函数 f (x) x bx cx d 在
区间 [ 1, 2] 上是减函数，那么 b c 的最大值为 ________________；
三、解答题
11．（天津市蓟县二中
2013 届高三第六次月考数学（理）试题）
已知函数 （ 为自然对
数的底数）．
（1）求
的最小值；
（2）设不等式 的解集为 ，若 ，且 ，求实数
的取值范围
第 2 页 共 32 页
与 n
m（3）已知 的等比 数列
，使得
，且 ，是否存在等差数列 和首项为 公比大于 0
？若存在，请求出数列 的通项公式．若不存在，请
说明理由．
12．（天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学（理）试题） 已知函数
（ ）. （1）若 （2）若函数
，试确定函数
的单调区间；
处切线的斜率都小于
，求实数
的
在其图象上任意一点
取值范围 .
（3）若
，求 的取值范围 .
13 ．（ 天津 市十二 区 县 重点中 学 2013 届 高 三毕业 班联 考 （ 一）数 学（理 ） 试 题） 已知函数
3
x
2
a R
x
2ax
的值;
的取值范围 ;
f x
ln 2ax 1 2f 为
3
( Ⅰ) 若 x ( Ⅱ) 若 y
x 的极值点 , 求实数 a
f x 在 3,
1
上为增函数 , 求实数 a
3
1
x
b
( Ⅲ) 当
f 1 x
a
2
3
x
时 方程
,
有实根 , 求实数 b 的最大值 .
第 3 页 共 32 页
2013 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考
14．（天津市六校
2013 届高三第二次联考数学理试题（
( 一
WORD版））已知函数 f( x)=2ln x+ax
2
-1( a∈R)
(1) 求函数 f(x) 的单调区间; (2) 若 a=1, 分别解答下面两题, (i) 若不等式 f(1+x)+f(1-x) 15．（天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷） 已知函数 f (x) x ln( x a) 的最小值为0, 其中 a 0 . ) , 有 2 (1) 求 a 的值 (2) 若对任意的 x [0, n f (x) kx 成立 , 求实数 k 的最小值 2(n N * ) （理））已知函数 (3) 证明 i 1 2 2i 1 ln( 2n 1) 16．（2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷 2 f x ln x a x x 在 x 0处取得极值 . 的值； (1) 求实数 a f x 5 x b 在区间0,2 上恰有两个不同的实数根, 求实数 b 的取值范 2 (2) 若关于 x 的方程 围； (3) 证明: 对任意的正整数 n, 不等式 3 4 4 9 n 1 ln n 1 2 2 n 都成立 . 17 ．（ 天 津 市 耀华中 学 2013 届 高 三 第 一 次 月 考 理 科 数 学 试题） ( 本 小题 分满 2 14 分 )设函 数 f ( x)= x +b ln( x+ 1，) 其中 b≠ 0。 第 4页共 32 页 1 (1) 当 b> 时，判断函数 f (x) 在定义域上的单调性； 2 (2) 求函数 f (x) 的极值点； (3) 证明对任意的正整数 n，不等式 都成立。 1 1 1 ln ( +1)> - 2 3 n n n 14 分 ) 设 函 数 18 ．（ 天 津 市 耀华中 学 2013 届 高 三 第 一 次 月 考 理 科 数 学试题） ( 本 小题 分满 1 f ( x)= a(x - )-l n x x (1) 当 a=1 时，求曲线 y=f (x)在点 (1,f (1))处的切线方程； (2) 若函数 f (x) 在其定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围； e (3) 设函数 ( )= ，若在 [l ，e] 上至少存在一点 x 使 f (x0 ) g( x0 )成立，求实数 a 的取值范 0 g x x 围。 19．（天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学） 2 已知函数 ∈R,且 g(x) 在 x=1 处取得极值 . f(x)=aln(e +1)-(a+1)x,g(x)=x x -(a-1)x-f(lnx), a (1) 求 a 的值 ; (2) 若对 0≤ x≤ 3, 不等式 g(x) ≤ |m-1| 成立 , 求 m的取值范围 ; (3) 已知 ? ABC的三个顶点 A,B,C 都在函数 f(x) 的图像上 , 且横坐标依次成等差数列, 讨 ? ABC是否为钝角三角形论, 是否为等腰三角形. 并证明你的结论. 20．（天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学） 2+ax-2a 2+3a)e x(x ∈ R), 其 已知函数 f(x)=(x 中 A∈R. (1) 当 a=0 时, 求曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) (2) 当 a≠2/3 时, 求函数 f(x) 的单调区间与极值 处的切线的斜率; . 第 5页共 32 页 21．（ 天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学） 1 2 - x+2lnx(a 已知函数 f（ x）= ax （2a+1） 2 ∈Ｒ ). （1）若曲线 y=f （ x）在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行，求 （2）求 f （x）的单调区间； （3）设g（x）=x 2 -2x ，若对任意 a 的值； x ， 1 ∈（ 0， 2] ，均存在 x2 ∈（ 0，2] ，使得 f （x 1 ） 22 ．（ 天 津 市滨海 新 区 五 所 重 点 学 校 2013 届 高 三联考试题数 学 （ 理 ）试题）函设 数 a 3 2 f ( x) x ln x , g(x) x x 3. x ( Ⅰ) 讨论函数 h(x) f (x) x 的单调性; ( Ⅱ) 如果存在 x1,x2 [0,2] , 使得 g (x1) g( x2) M 成立 , 求满足上述条件的最大整数 ( Ⅲ) 如果对任意的 , [ 1,2] s t , 都有 f (s) g(t ) 成立 , 求实数 a 的取值范围 . 2 第 6页共 32 页 M ; 2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联 23．（天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题） 设函数 f(x)=ax-(a+1)ln(x+1), 其中 x a>0.(1) 求 f(x) 的单调区间 ;(2) 当 x>0 时, 证明不等式 : g(a), 证明不等式 :-1 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题） 已知函数 f ( x) ln x x 1. (1) 求函数 f (x) 的单调区间 ; (2) 设 m 0 , 求函数 f ( x) 在[ m,2 m] 上的最大值 ; (3) 证明: 对 * 2 n e n N , 不等式 2 n 恒成立 n f ( x) x al n x， ln( n ) 25 ．（ 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 理 科 数 学 ） 已 知 函 数 g(x) 1 a , (a R). x 第 7 页 共 32 页 （Ⅰ）若 a 1，求函数 f (x) 的极值； （Ⅱ）设函数 h(x) ( Ⅲ) 若在 f (x) g( x) ，求函数 h( x) 的单调区间； x ，使得 0 1,e （ e 2.718... ）上存在一点 f (x0) g(x0) 成立，求 a . 的取值范围 26．（天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷） 2 （本小题满分 14 分）已知函数 p f ( x) px x （1）若 p=0，求证：f (x) 1 x ； ln x ， g(x) ln x p e (1 x p 2e ) ，其中无理数 e=2.71828⋯ . 2 （2）若 f (x) 在其定义域内是单调函数，求 p 的取值范围； （3）对于在区间（ 1,2）中的任意常数 p，是否存在 求出符合条件的一个 x0；若不存在，请说明理由. x 0 使得 f (x0 ) g( x0 ) 成立？若存在， 0 第 8页共 32 页 最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 一、选择题 1. 13：导数参 【答案】 A 【解析】根据积分的应用可求面积为 0 S 2 1 f ( x) dx (x 1)dx 2 1 0 cos xdx 1 2 0 2 1 x) 1 ，选 A. 3 ( x 2 2. sin x 0 1 2 2 【答案】 B 【解析】因为函数 f (x)=x 2 cosx 为偶函数，所以 f ( 0.5) x f (0.5) ， f ' (x)=2 x sin x ，当 递增，所以有 f (0)< f (0.5)< f (0.6) ， x 0 时，f ' (x)=2 x sin x 0 ，所以函数在 0 2 2 即 f (0)< f ( 0.5)< f (0.6) ，选 B. 3. 【答案】 C 【解析】由 f '( x) x f (x) 0，得 1 xf '(x ) x f (x) 0 ，当 x 0 时， xf '( x) f (x) 0 ，即 f (x) 0 ，即( xf (x))' 0 ，函 (xf ( x))' 0，函数 xf ( x) 此时单调递增。当 x 0 时， xf '( x) 1 f (x) x 数 xf (x) 此时单调递减。又 g( x) 等价为函数 y xf (x) 1 xf (x) 1 ，函数 g( x) 的零点个数 x x xf (x) 1的零点个数。当 x 0 时， y xf (x) 1 1，当 x 0 时， xf (x) 1无零点，所以函数 g( x) 1 y xf (x) 1 1，所以函数 y 个。选 C. f (x) x 的零点个数为 0 4. 【答案】 D 1 1 【解析】设 F (x) f (1) ( ) 1 1 0 ， 2 2 1 1 F '( x) f '(x ) ，对任意 x R，有 F '( x) f '( x) 0，即函数 F (x) 在 R上单调递减， 2 2 x 1 则 F (x) 0 的解集为 (1, )，即 f (x) 的解集为 (1, ) ，选 D. 2 2 x 1 f (x) ( ) , 则 F (1) 2 2 二、填空题 5. - 18 第 9 页 共 32 页 2 e 6. , 3 【答案】 e 1 7. e 【解析】 1 x 2 x 1 (2x+e )dx (x -1 1 e ) 1 1 e e =1 e 1 e 8. 【答案】 4-ln3 【解析】由 xy 1得 y 1 x 1 3 ，解得 x 。当 y x B 1 ，由 xy 1 y x x ，解得 C y 3 y x 3 1，由 x 得 D 3. 所以根据积分的应用知所求面积为 1 1 2 3 1 3 1 1 x ) 1 (3 1 )dx 1 (3 x)dx (3x ln x) 1 (3x 2 4 ln 3 3 4 ln 3 . x 3 9. 【答案】 m n x x 1 0 解: 1 m 0 e dx e 1 1 e , n e 1 e 1 e m ln e 1 1 n . x dx 1 1 dx ln x x , 所以 10. 【答案】 15 2 解：函数的导数为 2 3 2 f '( x) 3x 2 2bx c，因为函数 f (x) x bx cx d 在区间 [ 1,2] 上 f ' ( 是 减 函 数 ， 所 以 f '( x) 3x 2bx c 0 在 [ 1,2] 上 横 成 立 . 则 有 1) 0 0 f ' ( 2 ) ， 即 3 2b c ， 设 z 0 b z. 做 出 不 等 式对 应 的 平 面区 域 BCD, 如 图 1 2 4b c b c， 则 c 0 第 10 页 共 32 页 ，平移直线 c 直线 c b z，由图象平移可知当直线 c b z经过点 B 时， 3 3 2 ，即 B( , 6) ， 2 6 b z的截距最大，此时 z 最大.由 3 2b c 0 12 4b c 0 ，解得 b c 代入 z b c得 3 ( 6) 2 15 ，即 b c 的最大值为 z 2 15 . 2 三、解答题 11. 解：（1） 由 当 ；当 （2） ， 有解 由 即 上有解 令 ， 上减，在 [1，2]上增 又 ，且 第 11 页 共 32 页 （ 3）设存在公差为的等差数列 和公比 首项为 的等比数列 ，使 又 时， 故 ②-①× 2 得， 解得 （舍） 故 ，此时 满足 存在满足条件的数列 ⋯ ⋯ 14 分 （Ⅰ）解：当 时， ，所以 ， 第 12页共 32 页 ⋯分⋯ 10 12. 由 ，解得 ， 由 ，解得 或 ， 所以函数 的单调增区间为 ，减区间为 和 . （Ⅱ）解：因为 ， 由题意得： 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立， 设 ，所以 ， 所以当 时， 有最大值为 ， 因为对任意 ， 恒成立， 所以 ，解得 或 ， 所以，实数 的取值范围为 或 . （III ） . 2 解:(I) f x 2a 2 x 2ax 1 4a x 2 4a 2 2ax 1 x 2x 2a 2ax 1 2a 因为 x 2为 f x 的极值点 , 所以 0, 即 2 , 解得 a 0 f 2 0 a 4a 1 (II) 因为函数 f x 在 3, 上为增函数 , 所以 2 2 x 2ax 1 4a x 4a 2 f x 0在 3, 上恒成立 6 分 2ax 1 当 a 0 时, f x x x 2 0 在 3, 上恒成立 , 所以 f x 在 3, 上为增函数a 0 符合题意 第 13 页 共 32 页 故13. , a 当 2 0时, 由函数 f x 的定义域可知 , 必须有 2ax 1 0a 2 x 对 3, 故只能 a 恒成立 0, 所以 a x 1 4 2ax 4 2 2 0 在 3, a4 2 上恒成立 a x 1 4 令函数 g x 要使 g x 2ax 0 在 3, 2 , 其对称轴为 0 即可, x 1 1 , 因为 a 1 0 , 所以 1 4a , 1 4a 上恒成立 , 只要 g 3 3 2 a 6 1 0, 所以 13 4 g 3 即 4a 3 a 13 4 3 13 . 因为 a 0, 所以 0 a 4 综上所述 ,a 的取值范围为 0,3 13 4 1 x 3 2 3 ( Ⅲ) 当 1 2 a 时, 方程 f 1 x b x 2 可化为 ln x 1 x 1 x b x 问 题 转 化 为 1 x x ln 2 3 b xln x x 1 x 2 3 在 0, 上 有 解 , 即 求 函 数 x x x x g x xln x x x 的值域 2 3 2 因为函数 x 0 , g x 则 h x 所以当 0 xln x x x , 令函数 h x ln x x x 1 1 2x x 2x 1 1 x , x x 1时, h x h x 0, 从而函数 h x 在 0,1 上为增函数 , 上为减函数 , x 当 1 时, 0 , 从而函数 h x 在 1, h x 因此 x 而 h1 0 0, 因此当 x 1 时,b 取得最大值 0, 所以 b x h x 0 ( 第三问如用数形结合求解 , 相应给分 ) 14. 解:( Ⅰ)f(x) 的定义域为 (0, , ) , f / (x) 2 2ax x x x 0, / 2ax 2 0 , 2 ( ) 0, / ( ) 0, 在 (0, ) 恒成立 , ①当 a 0时, f x / ( ) 0 f 令 f(x) 递增区间是 (0, ) ; / ( ) 0 第 14 页 共 32 页 ②当 a 0 时 , 2ax 2 2 0 x 2 1 a 1 a x 1 a , 又 x>0, f (x) 递增区间 是 (0, a a ) , 递减区间是 ( , a a ) ( Ⅱ)( ⅰ) 设 2 2 F (x) f (1 x) f (1 x) 2ln(1 x) (1 x) / 1 2ln(1 x) (1 x) 3 1, 化简得 : F (x) 2ln(1 x) 2ln(1 x) 2x2 , 2 2 4x , 4x 2 F (x) 1 x 1 x 0 x 1, F x 在0 x 1 / ( ) 0 / ( ) 0 F (0) 0, , 上恒成立 F (x) 在 x (0,1) 上单调递减 , 1 x 所以 F( x) ( ⅱ) m 0, 即m 的取值范围是 [ 0, ) 上单调递增 , ) f (1) 0 , f (x) 在(0, ①若 x1 ,x2 盾, ②若 x1,x2 (0,1) , 则 f (x1) 0, f (x2) 0,则 f (x1) f (x2) 0 与已知 f (x1) f ( x2 ) 0 矛 (1, ) , 则 f (x1) 0, f (x2) 0, 则 f (x1) f (x2) 0 与已知 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 矛盾, ③若 x1 1, 则 f (x1) 0, 又 f (x1 ) f (x2 ) 0, x 1 x , 则由( Ⅱ) 知当 0 x 1 1 2 f (x2) 0 得 x2 1与 x1 时, x2 矛盾 , ④不妨设 0 令 1 f (1 x) f (1 x) 0 , x x , 则 f (2 x1) f (x1) 0 1 f (2 x1) x ,即 x1 x2 2 f (x1) 2 2 f (x2 ) , 又 f (x) 在(0, 证 2; f (x ) 1 )上单调递增 , 2 x 1 2 f (x ) 0 2 2 2ln x 1 x 1 1 2ln x 2 2 x 2 1 0 2ln x x 1 2 (x x ) 1 2 2x x 1 2 2 0 (x 1 x ) 2 / 2x x 1 2 2ln x x 1 2 2 , 设 t x x , 则 t>0, g(t) 2t 2ln t 2 , g (t ) 2 1 2 2 t 2(t 1) , t g t , 得令 / ( ) 0 / ( ) 0 t 1, g(t ) 在(0,1) 单调递减 , 在(1, ) 单调递增 , 第 15 页 共 32 页 g(t) min g (1) 4， 2 (x1 x ) 2 2 4, 又因为 t 1时, x1 x2 1, \" \" 不成立 . ( x 1 x ) 2 4 , x1 x2 2 15. 解:(1) f ( x) 的定义域为 ( a, 1 x a 1 ) , 由 f ( x) f ( x) 1 0 , 得 x 1 a a , x a x a 当 x 变化时 , f ( x), f (x) 的变化情况如下表 : x ( a,1 a) - ↘ 1 a 0 极小值 (1 a, + ↗ ) f (x) f (x) 因此, f ( x) 在 x 1 a 处取得最小值 , 故由题意 f (1 a) 1 a ( Ⅱ) 解: 当k 当 k 0 , 所以 a 1 . 0时, 取 x 1, 有 f (1) 1 ln 2 0, 故 k 0不合题意 . 0 时, 令 g( x) f (x) kx , 即 g(x) 2 2 x ln( x 1) kx . x g (x) 2kx x 1 -1. (1) 当 x( 2kx (1 2k )) x 1 , 令 g (x) 0 , 得 x 0, x2 1 2k 2k ) 上单调递减 , 从 1 1 2 时, 1 2k 2k 0,g (x) 0 ) , 总有 g( x) k 在(0, g (0) ) 上恒成立 , 因此 g (x) 在[0, 0 , 即 2 而对于任意的 x [0, 故 f (x) kx 在[0, ) 上恒成立 . 1 符合题意 . k 2 (2) 当 1 时, 1 2k 2k 0 k 2 0 , 对于 递增, 因此当取 x 0 1 2k ) 时, g( x0 ) (0, k 2 内单调 1 2k 1 2k ) x (0, , g (x) 0, 故 g( x) 在 (0, ) 2k 2k 2 f (x0 ) kx 不成立 . g(0) 0, 即 0 故 1 不合题意 , 0 k 2 第 16 页 共 32 页 综上,k 的最小值为 . 1 2 ( Ⅲ) 证明: 当 n=1时, 不等式左边2 ln 3 2 =右边, 所以不等式成立 . 当 n i 1 n 2时, n 2 f ( ) 2i 1 n i 1 n 2 ) ln(1 1 2i 1 2i 2 i 2 2i 1 [ln( 2i 1) ln( 2i 1)] i 1 1 n 2 ln( 2n 1) . 2i 1 i 1 在( Ⅱ) 中取 1 2 k , 得 f (x) 2 x (x 0) , 从而 2 2 * 2 f ( ) 2i 1 所以有 i 1 n 2 (2i 1) 2 (2i 3)( 2i 1) (i N ,i 2), n n n 2 ln( 2n 1) 2i 1 i 1 2 f ( ) 2i 1 f (2) i 2 f ( ) 2 ln 3 3 2i 1 i 2 2 (2i 3)( 2i 1) n 1 2 ln 3 i 2 n i 1 1 2 ln 3 1 1 2n 1 2. 2i 3 2i 1 2 * ln( 2n 1) 2i 1 2, n N . 综上, 16. 解:(1) ' 1 2x 1, x a f x ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 分 x 0时, f x 取得极值, 1 f 2 分 ' ' 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0, 0, 故 0 a 解得 a 1.经检验a 1符合题意. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分 2 0 1 0, 第 17页共 32 页 （ 2 ） 由 2 a 1 知 f x ln x 1 x2 x, 由 f x 5 x b , 得 2 3 ln x 1 x x b 0, 2 2 3 令 x x x x b则f x ln 1 , 2 价 于 5 x b 在区间0,2 2 上恰有两个不同的实数根等 x 1 0 在 区间0 , 2上 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 根 . 3 2x 2 ' ' 4 5 1 x x , 2 x 1 0, 于是 0, 于是 x 在 0,1 上单调递增; x 在 1,2 上单调递减. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6 分 x x 1 当 x 0,1, 时1,2时, 0 x x 当 x ' b 0 3 ln 1 1 1 2 ln 1 2 b 0 , 依题意有 1 2 4 3 b 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 解得 , 1 ln 3 1 b ln 2 . 9 分 2 (3) 2 f x ln x 1 0 x x 的定义域 为 ' x x 1 , 由(1) 知 f x ' x 2x 3 , x 1 0 , 令 ' 3 ( 舍去 ), 当 1 x 0时, f x 当 x 0时, 分 得 , x 0 或 x 2 单调 f x f x 单调 递增; f ' x 0, f x 递减. f 0f x 在 为 1, 上的最大值. ⋯ 11 f x f 0 , 故 2 ln x 1 x x 0( 当且仅当 x 0时, 等号成立 ) n 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 12 ln , 分 n 2 n n . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ n 1 ln ln n 1 14 分 1 1 对任意正整数 n, 取 0 ln 1 n x 得, n 3 4 n 1 3 4 故 2 ln 2 ln ln 2 1 1 n 1 2 n 4 9 n 2 3 n （方法二）数学归纳法证 ：明 第 18页共 32 页 1 1 2，右边 当 n 1时，左边 2 ln(1 1) ln 2 ，显然 2 ln 2 ，不等式成立 . k 1 ln k 1 2 1 假设 n k k * , 1 N k * , 时， 3 4 4 9 2 k 成立， 1 则 n k 1 时 ， 有 3 4 4 9 k 2 k 1 2 k 2 2 k 2 ln k 1 2 2 k k 2 ln 2 2 . 做 差 比 较 ： k 1 k 2 k 1 1 ln 1 2 1 1 ln k 2 ln k 1 k 1 k 1 2 k 1 ，则 F x k 1 x 2x 3 x 1 k 1 (k 1) ， 0 构建函数 F x ln 1 x x x ,x F x 0,1 F 0 F x 在 0,1 单调递减， 取 0. 1 1 1 F 0 2 1 x k 1 * ， k 1, k N ln 1 k 1 k 2 ，亦即 2 0 k 1 k 1 2 0 k 1 (k 1) 即 k 2 ln k 1 2 ln k 2 ln k 1 ， ln k 2 故 n k 1时，有 k 1 3 4 4 9 k 2 2 k 2 ln k 1 2 2 k k 1 k 1 ln k 2 ，不等式 成立. 综上可知，对任意的正整数 n, 不等式 2 3 4 4 9 n 1 ln n 1 2 都成立 . n 第 19 页 共 32 页 17. 第 20 页 共 32 页 第 21 页 共 32 页 18. g 2 a x a x a x x , 1( 0) a a 19. 解:(1) (x) x ( 1) ln(1 ) ( 1) ln ( 0) g , ' (x) 2x (a 1) x 1 x x ' 依题设, 有 g (1) 0, 所以 a=8. 2 x x x x (2) g (x) x 7 8 ln( 1 ) 9ln ( 0) 8 9 (x 1)( x 3)(2 x 3) ' x g , 由 ( ) 0 ( x) 2x 7 ( 0) g , 得 x 1或x 3 ' x 1 x x x(x g(x)增区间 (0,1), 减区间(1,3) ) 第 22 共 32 页 1函数页函数 g(x)在 x=3 处取得极小值,g(x) min =g(3); 函数 g(x) 在 x=1 处取得极大值g(x) max=g(1), 不等式 |m- 1| ≥ g(x),对0≤ x≤ 3 成立, 等价于 |m- 1| ≥ g(x) max成立 即 m-1≥ g(x) max=g(1)orm- 1≤ -g(x) max =- g(1), m ≤ 1 - g(1) or m ≥ 1+g(1) (3)A设( 1, f (x )), B( x, ( )) 2 , f (x2 )) . ( x x x C , x , 且x x1 x2 x3 , 1 3 3 f x 2 1 3 2 则 f ( 1) f (x ) f (x ) , x 2 3 ∴ BA ( 1 x , f (x ) f (x )) , ( , ( ) ( )) x BC x3 x f x f x , 2 1 2 2 3 2 ∴ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 BA BC x3 x x x f x f x f x f x . 2 1 2 1 2 3 2 所以 B为钝角 , ABC是钝角三角形 . f x x ( ln( , ) x) 8 1 e x 1 2 x ) 9 f (x ) f (x ) 2 f ( 1 2 2 x x 1 2 x e e x 2 =8 [ln( 1 e )(1 ) ln( 1 ) ] 2 1 1 x x 1 2 x e e e e 1 2 x x x x x = 8[ln( 1 e ) ln( 1 2 )] 2 1 2 1 2 x x 1 2 ∵ x x ex ex ex e 2 1 x ∴2 e 1 2 2 2 1 2 x x ∴ 1 1 2 x x x e e e e x x x x x 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 e 2 ∴ f ) f ( x ) 2 f ( ) 0 ( x 1 2 2 ∴ x1 x f ( x ) f (x ) f 2 , 故 f(x) 是 R上的凹函数 . ( ) 1 2 2 ' x 2 x 8e 9 e f 恒成立∴ f ( x) 在 ( , ) 上单调递 ．减 (x) 9 0 x x 1 e 1 e 若 ABC是等腰三角形 , 则只能是 BA BC . 即 2 2 2 2 (x1 x ) [ f (x ) f (x )] (x x ) [ f (x ) f (x )] 2 1 2 3 2 3 2 ∵ x x x ∴ [ f x f x f x f x . ( ) ( ) 1 3 ( 1 ) ( )] [ ( ) ( )] 2 2 2 x 2 f 1 f x 2 2 3 2 f (x1 ) f (x2 ) f (x2 ) f (x3) ∴ x 1 x f ( x ) f (x ) f , ( ) 3 1 3 2 2 这与f(x) 是 R上的凹函数矛盾 , 故 ABC是钝角三角形 , 但不可能是等腰三角形 . 2ex ，f x x2 x ex，故f e 20. （1）解 : a 0 f ( ) '( ) ( 2 ) ' (1) 3 . 当 时， x x 第 23页共 32 页 ( ) f x 3 ( ) f x 2 所以曲线 y （2） f ( x)在点(1, f (1) )处的切线的斜率为 3e. x 2 a2 x 2 ( a 2) a ex . 4 2 2a，或x a 2.由a 3 知， 2a a 20. f ' (x) 解： 令 f '( x) 0，解得 x 以下分两种情况讨论。 2 （1）若a ＞ ，则 2a＜ a 2. 当 x 3 x)，f ( x) 的变化情况如下表： 变化时， f '( x ， 2a + ↗ 2a 0 极大值 2a，a 2 — ↘ a 2 0 极小值 a 2， + ↗ 所以f ( x)在( ，2 a)，(a 2， )内是增函数，在 ( 2a，a 2)内是减函数. 2a 函数 . f ( x)在x 2a处取得极大值 f ( 2a)，且f ( 2a) 3ae a 2 函数 3a)e . f ( x)在x a 2处取得极小值 f (a 2)，且f (a 2) (4 2 x)，f (x) 的变化情况如下（2）若a ＜ ，则 2a＞ a 2，当 x变化时， f '( 3 表： x ，a 2 + ↗ a 2 0 极大值 a 2， 2a — ↘ 2a 0 极小值 2a， + ↗ 所以f (x) ( 在 a 2) ( 2a ) (a 2 2a) ， ， ， 内是增函数，在 ， 内是减函数。 a 2 函数 3a)e . f ( x)在x a 2处取得极大值 f (a 2)，且f (a 2) (4 函数 f ( x)在x 3ae 2a处取得极小值 f ( 2a )，且f ( 2a) f ′(1)=f ′(3) . 2a 2 21. （1）f ′（ x）=ax-(2a+1)+ x 2 ∴a-2a-1+2=3a-2a-1+ 1 ∴-a+1=a- 3 a= 3 2 3 第 24 页 共 32 页 (2) 注 x>0！ ax 2 f ′(x)= (2a 1)x 2 x ∵x>0 ∴令 f ′(x)>0 得 ax 2 -(2a+1)x+2>0 <1>a=0 时，得 x<2 ∴f(x) 在（ 0，2）在（ 2，+ ） a 0 时， f ′(x)>0 得(x-2)(ax-1)>0 <2>a<0 时， f ′(x)>0 得(x-2)(x- ∴f(x) 在 (0,2) 在（ 2， + ） <3>a>0 时 f ′(x)>0 得(x-2)(x- ① ② ③ 1 1 )<0 a 1 )>0 a 1 =2 即 a= 时， f(x) 在（ 0，+ ） a 2 1 1 1 a 1 a
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