2指数与指数函数 - 拔高 - 讲义

知识讲解

一、指数运算

1.根式的概念：

①定义：若一个数的n次方等于a(n1,且nN)，则这个数称a的n次方根．即若xna，

则x称a的n次方根n1且nN)，

1）当n为奇数时，a的n次方根记作na；

2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作

na(a0)．

②性质：1）(na)na；

2）当n为奇数时，nana；

a(a0)nnn3）当为偶数时，a|a|．

a(a0)2.幂的有关概念

n①规定：1）aaaa(nN*；

N 个 2）a01(a0)； 3）apm1mn(pQ4，）、nN* 且n1)． npaa(a0,marsrs②性质：1）aaa(a0,r、sQ）；

2）(ar)sars(a0,r、s Q）；

3）(ab)rarbr(a0,b0,r Q）． 注：上述性质对r、sR均适用．

二、指数函数

1.定义：函数yax(a0,且a1)称指数函数，

1）函数的定义域为R； 2）函数的值域为(0,)；

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数．

2.函数图像：

f(x) = ()110yxf(x) = 10xf(x) = ()12xf(x) = 2x

1ox1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以x轴为渐近线（当0a1时，图象向左无限接近x轴，当a1时，图象向右无限接近x轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．

3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的a(a0,且a1)，函数yax与yax的

xxx图象关于y轴对称，ya与ya的图象关于x轴对称；ya与ylogax的图象关于直

线yx对称．

4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,a)．

5）抽象性质： f(xy)f(x)f(y),f(xy)f(x)/f(y)

3函数值的变化特征：

① 0a1 a1 ①x0时y1， ②x0时y1， ③x0时0y1，

x0时0y1， ②x0时y1， ③x0时y1 典型例题

一．选择题（共9小题）

1．（2013秋•鼓楼区校级期末）已知函数f（x）在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]=4，则f（4）的值是（ ） A．85 B．82 C．80 D．76 【解答】解：设f（x）﹣3x=t． 则f（x）=3x+t，且f（t）=4， 令x=t，

则f（t）=3t+t=4，

∵f（x）在R上是单调函数， ∴解得t=1， ∴f（x）=3x+1， ∴f（4）=34+1=82， 故选：B．

2．（2017春•宁波期末）已知1＜a＜b，m=ab﹣1，n=ba﹣1，则m，n的大小关系为（ ） A．m＜n B．m=n C．m＞n

D．m，n的大小关系不确定，与a，b的取值有关

【解答】解：∵1＜a＜b，∴b﹣1＞a﹣1＞0， m=ab﹣1，n=ba﹣1， 则m＞n， 故选：C．

3．（2017秋•惠民县期中）函数y=a|x|（a＞1）图象是（ ）

A． B． C．

D．

【解答】解：根据指数函数的性质可得y=ax（a＞1）递增函数，

函数y=a|x|（a＞1）的图象是y=ax（a＞1）的图象去掉y轴左侧图象，把右侧图象关于y轴对称可以． 故选：A．

4．（2015秋•顺义区期末）设函数f（x）=|2x﹣1|，c＜b＜a，且f（c）＞f（a）＞f（b），则2a+2c与2的大小关系是（ ） A．2a+2c＞2 B．2a+2c≥2 C．2a+2c≤2 D．2a+2c＜2 2𝑥−1，𝑥≥0【解答】解：f（x）=|2x﹣1|={，

𝑥

1−2，𝑥＜0作出f（x）=|2x﹣1|的图象如图所示，

由图可知，要使c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b）成立， 则有c＜0且a＞0， 故必有2c＜1且2a＞1，

又f（c）﹣f（a）＞0，即为1﹣2c﹣（2a﹣1）＞0， ∴2a+2c＜2． 故选：D．

5．（2015秋•和平区期中）若函数y=ax﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A．a＞1且b＜1

B．a＞1且b＞0

C．0＜a＜1且b＞0 D．0＜a＜1且b＜0

【解答】解：∵函数y=ax﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限， ∴根据图象的性质可得：a＞1，a0﹣b﹣1＜0， 即a＞1，b＞0， 故选：B．

6．（2014•埇桥区校级学业考试）若指数函数y=ax（0＜a＜1）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a为（ ）

1−√5A．

2

B．

−1+√51+√5 C． 24

D．

−1+√5 4

【解答】解：∵0＜a＜1，y=ax在[﹣1，1]上单调递减，

1

故ymax=，ymin=a，

𝑎

∵数函数y=ax（0＜a＜1）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差是1，

1−1+√5∴−𝑎=1，解得a=， 𝑎2

故选：B．

7．（2016•宜宾模拟）已知函数f（x）=x﹣4+

|+|

，x∈（0，4），当x=a时，f（x）

𝑥+1

9

取得最小值b，则函数g（x）=axb的图象为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：∵x∈（0，4）， ∴x+1＞1 ∴f（x）=x﹣4+

99=x+1+﹣5≥2√𝑥−1⋅(𝑥−1)﹣5=1， 𝑥+1𝑥+19

当且仅当x=2时取等号，此时函数有最小值1 ∴a=2，b=1，

2𝑥+1，𝑥≥−1

此时g（x）=2={，

1𝑥

(2)，𝑥＜−1

2𝑥，𝑥≥0

此函数可以看着函数y={的图象向左平移1个单位

1𝑥

(2)，𝑥＜0

|x+1|

结合指数函数的图象及选项可知A正确 故选：A．

8．（2016秋•龙岩期末）已知函数f（x）=ax﹣1（a＞0，且a≠1）满足f（1）＞1，若函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第二象限，则a的取值范围是（ ）

A．（2，+∞） B．（2，5] C．（1，2） D．（1，5] 【解答】解：∵f（1）＞1， ∴a﹣1＞1， 即a＞2

∵函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第二象限， ∴g（0）=a1﹣1﹣4≤0， ∴a≤5，

∴a的取值范围是（2，5]． 故选：B．

9．（2012•宣威市一模）已知实数a，b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0； ⑤a=b．其中可能成立的关系式有（ ） A．①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ D．③④⑤

【解答】解：令f（x）=2x和g（x）=3x，2a=3b即f（a）=g（b），如图所示 由图象可知①②⑤正确， 故选：B．

二．填空题（共3小题）

10．（2017秋•通许县校级期中）若函数f（x）=ax（a＞0，a≠1﹚在区间[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）=（1﹣4m）x在R内是单调增函数，则a=

1

． 4

【解答】解：若函数g（x）=（1﹣4m）x在R内是单调增函数，

1

则1﹣4m＞0，则m＜4．

若a＞1，∵函数f（x）=ax（a＞0，a≠1﹚在区间[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m， ∴a2=4，m=𝑎−1

111

=𝑎解得a=2，m=不满足m＜4．

2

若0＜a＜1，∵函数f（x）=ax（a＞0，a≠1﹚在区间[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m， ∴𝑎−1

11112=𝑎=4，m=a，解得a=，m=满足m＜4． 416

1

∴a=，

41

故答案为：．

4

11．（2017春•浙江期中）设函数f（x）={，则f（2）= 0 ．若

−𝑥2+2𝑥，𝑥≥0f（f（x））≥9，则实数x的取值范围是 [3，+∞） ． 【解答】解：f（2）=﹣22+2×2=0，

当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤﹣1， ∵f（f（x））≥9，

𝑥2，𝑥＜0

∴f（x）≤﹣3，

∴﹣x2+2x≤﹣3且x＞0，解得x≥3， 故答案为：0，[3，+∞）

12．（2017•保定一模）函数y=ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点在直

1

线mx+ny=1上，则mn的最大值为 ．

4

【解答】解：因为函数y=ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），又点在直线mx+ny=1上，所以m+n=1，

𝑚+𝑛1mn≤(2)2=；

4

1

所以mn的最大值为；当且仅当m=n时等号成立．

4

1

故答案为： 4

三．解答题（共3小题）

13．（2018春•上杭县校级月考）已知函数f（x）=ax﹣1（x≥0）．其中a＞0且a≠1．

1

（1）若f（x）的图象经过点(2，2)求a的值；

（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．

1【解答】解：（1）函数图象过点(2，2)， 11

所以，𝑎2−1=2，则𝑎=2；

（2）f（x）=ax﹣1（x≥0）， 由x≥0得x﹣1≥﹣1，

当0＜a＜1时，ax﹣1≤a﹣1，所以f（x）的值域为（0，a﹣1]；

当a＞1时，ax﹣1≥a﹣1，所以f（x）的值域为[a﹣1，+∞）．

14．（2016秋•田家庵区校级期中）已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为6，求a的值．

【解答】解：y=ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上为单调函数， 且y=ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上最值差为6， 即|a﹣a2|=6，

所以a﹣a2=6或a﹣a2=﹣6； 即a2﹣a+6=0或a2﹣a﹣6=0，

解得a=3或a=﹣2（不合题意，舍去）； 所以a=3．

15．（2016秋•翔安区校级期中）已知函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象经过

1点（2，）．

9

（1）求a的值；

（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小； （3）求函数f（x）=a

𝑥2−2𝑥（x≥0）的值域．

1

【解答】解：（1）f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，），

9

1∴a2=，

91∴a= 3

1x

（2）∵f（x）=（）在R上单调递减，

3

又2＜b2+2，

∴f（2）≥f（b2+2），

（3）∵x≥0，x2﹣2x≥﹣1，

112

∴(3)𝑥−2𝑥≤（）﹣1=3

3

∴0＜f（x）≤（0，3]