南京大学《高等代数》期末考试题及答案

高等代数XX期末考试试卷及答案（A卷）

一、填空题（每小题3分，共15分）

1、 线性空间P x的两个子空间的交L 1 x I L 1 x ___________ 2、 设1 2,…

,

，

n与1 2

,

’…

，

n是

n维线性空间V的两个基，

由1, 2,…，n到1 , 2,..., n的过渡矩阵是C,列向量X是V 中向量 在基1，2,…，n下的坐标，贝U 在基1 , 2，...，n下 的坐标是 3、 设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，

则A与B的关系是 _____________

2

4、 设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：1, , 1 ,

则其特征矩阵 E A的标准形是

5、 线性方程组AX B的最小二乘解所满足的线性方程组是：

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1、 （ ）复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个

线性空间同构：

（A） 数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B） 数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C） 数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D） 复数域C作为复数域C上的线性空间。 2、 （ ）设是非零线性空间 V的线性变换，贝U下列命题正确的是: 大学

数学

(A) 是 (B) (C) 条件是

(D) 3、 (

的核是零子空间的充要条件是满射；

的核是V的充要条件是 是满射；

的值域是零子空间的充要是满射；

的值域是V的充要条件是是满射。 ) 矩阵A 可逆的充要条件是：

是一个非零常数；

A A 0； BA

C A 是满秩的；D A 是方阵。

4、 (

2 2 2 ii

)设实二次型f X AX (A为对称阵)经正交变换后化为:

y

2

丫2 ... nyn， 则其中的 1，2,■■- n 是：

全是正数；

A 1; :B C 是A的所有特征值；

D 不确定

( ) 设3阶实对称矩阵 A有. 则A的若当 三重特征根“ 2 ”， 标准形: 是

2 0 0 A 0 2 0 ; B

0

2 0 0 2

2 0 ; C 1 1 0

0 1

0

2 0 ；

2

0 2 0 2 0

D以上各情形皆有可能。

三、是非题(每小题2分，共10分)

(请在你认为对的小题对应的括号内打 V,否则打“”) 1、 ( )设V1,V2均是n维线性空间V的子空间，且Vi I V 则 V u V2 o 2、 (

) n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下

0

的矩阵是一对角矩阵。

大学数学 3、 ( )同阶方阵A与B相似的充要条件是 E A与 E B 等价。 4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（

）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题（每小题 10分，共 30 分）

1、在线性空间 P 4 中，定义线性变换：

A a, b,c, d a, b,a c,b d a,b,c, d P4

（ 1）求该线性变换 在自然基： 1 1,0,0,0 , 2 0,1,0,0

3

0,0,1,0 , 4 0,0,0,1 下的矩阵 A ；

（ 2）求矩阵 A 的所有特征值和特征向量。

2、（1）求线性空间 P x 3 中从基 I : 1, x 1 , x 1 到基

2

大学数学 2

II : 1, x 1 , x 1 的过渡矩阵；

2

（ 2）求线性空间 P x 3 中向量 f x 1 2x 3x 在基

2

大学数学 2

I : 1, x 1 , x 1 下的坐标

3、在 R2

中，

a1,a2 , b1,b2a1b1 a1b2 a2b1 4a2b2

1) 证明：这是 R2 的一个内积 2) 求 R2 的一个标准正交基。

大学数学

，规定二元函数：

五、 证明题（每小题10分，共30分）

1、设P3

的两个子空间分别为：

W1

X\\,X2，X3 x, X2 X3

3

证明：（1） P Wi W2 ；

大学数学 X,,X2，X3

X, X2 X3

（2） W W,不是直和

2、设 是数域P上线性空间V的线性变换，证明 W L 1, 2

是 的不变子空间的兖要条件是 A i W i 1,2,..., r

3、已知A E是n级正定矩阵，证明:

(1) A是正定矩阵； (2)

A 2E 3n

大学数学 参

一、填空题(每小题3分，共15分)

1、 线性空间P x的两个子空间的交L 1 x I L 1 x 0 2、 设1 2,…

,

，

n与1 2

,

’…

，

n是n维线性空间V的两个基，

由1, 2,…，n到1 , 2,..., n的过渡矩阵是C,列向量X是V 中向量 在基1，2,…，n下的坐标，贝U 在基1 , 2，...，n下

1

的坐标是

C X

相似关系

3、 设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，

则A与B的关系是

4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：

1,,

2

1,

则其特征矩阵 E A的标准形是

1 0

°

0 0

0 0 1

5、线性方程组AX B的最小二乘解所满足的线性方程组是:

AAX AB

二、单项选择题(每小题3分，共15分)

2、 ( A )复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：

(A) 数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间；

大学数学 (B) 数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间； (C) 数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D）复数域C作为复数域C上的线性空间

2、 （ D ）设是非零线性空间 V的线性变换，贝U下列命题正确的是：

（A） 的核是零子空间的充要条件是 是满射；

（B） 的核是V的充要条件是 是满射；

（C） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D） 的值域是V的充要条件是是满射。 3、 （ B） 矩阵A

可逆的充要条件是：

A A 0； BA 是一个非零常数； C A

是满秩的；D A

是方阵。

4、 （ C ）设实二次型f X AX （ A为对称阵）经正交变换后化为:

2 2 2 ii

y

2

丫2 ... nyn， 则其中的 1, 2,■■- n 是：

A 1; B全是正数；C是A的所有特征值；D不确定

5、 （ A ）设3阶实对称矩阵A有三重特征根“ 2 ”则A的若当

标准形

是：

A 0 2

0

0 0

0 2 0 ; B

2

2 1 0

0 0

2 0 ； C 1 0

2 0

0 0 2 0 1

2 2

D以上各情形皆有可能。

三、是非题（每小题2分，共10分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打 V,否则打“” 1（ x ）设V1,V2均是n维线性空间V的子空间，且Vi I V 0 则 V V1

V2。

大学数学 2、（ V ） n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩

阵是一对角矩阵。

3、 （“）同阶方阵A与B相似的充要条件是 E A与 E B 等价。 4、 （ X ） n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵＜ 5、 （“）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、解答题（每小题10分，共30分）

1、在线性空间P4中，定义线性变换：

A a,b,c,d a,b,a c,b d a,b,c,d

（1）求该线性变换在自然基：1

3

P4

1,0,0,0 , 2

0,1,0,0

0,0,1,0 , 4

0,0,0,1 下的矩阵 A

（2）求矩阵A的所有特征值和特征向量。

；

解：（1）线性变换 在自然基下的矩阵是

A

1 0 0 0

0 1 0 0

0 （ 5

1 0 1 0 1 0 1

分）

（2）因为

E A 1 4

所以矩阵A的所有特征值是1 解齐次线性方程组

2

3

4

1

E A X 0

得矩阵A的所有特征向量：

ki 0,0,1,0 k2 0,0,0,1 ，其中 k「k2不全为零。（5 分）

2

2、（ 1）求线性空间P x 3中从基I : 1, X 1 , X 1到基

2

大学数学 II : 1, X 1 , X 1的过渡矩阵；

2

（2）求线性空间P x 3中向量f x 1 2x 3x在基

大学数学

I : 1, x 1, x1

2

下的坐标。

12

解：1）因为 1,

,x

1, x 1 ,

所以

1, x 1 , x 1, 1,

1,

即所求的过渡矩阵为

2

2）因为 1,x, x

大学数学

1,x,x

1,

1,x,x2

,x

1 5

分）

1 11, x

1

1,x,x

故

f x 1 2x

3x

2

2

2

3

1 1 1 1

2

2

1, x 1 , x 1

2

0 1 2

3

0 0 1

22 4x 1 3 x 1 2

所以 f x 在基 I

2

: 1, x 1

x

1 下的坐标是：

2 4

分）

（ 5

3

3、在R中，

, ab11

ab

2

a1, a2 ,

12

b1 ,b2 ， 规定二元函数：

ab

2

21

4a2b2

（3）证明：这是R的一个内积。 （ 4） 求 R2 的一个标准正交基。 1）证明：

, abab11 12

ab

21

4a2b2

b

1

1

1

a, a12 1 2 1

4

b

2

1 因为

1

1

4 是正定矩阵，

所以这个二元函数是 R2的一个内积。 2）解：考察自然基 1 1,0 , 2 0,1

（5分）

11

它的度量矩阵正是 令： 1 1 1,0 ,

14

大学数学

2、 1

1,1

1,1

（5 分）

1 再令: 1 1 12 1

,

则1,

2

是R的一个标准正交基 2

（2）解法二：考察自然基1

它的度量矩阵正是

1,0 , 0,1

1

1

0「2 「1 1 01 0

1

UuUL 0 31 1

1 3

ULUULIULLIUr

令:

1 3

1 3 即：2

2的度量矩阵是

1

1 3 1,1

E,

从而是R2的一个标准正交基。

五、 证明题（每小题10分，共30分）

2、设P3的两个子空间分别为：

W x-!, x2, x3 为 x2 x3 0 ,W2

3

X1,X2,X3 X1 X2 X3

证明：（1）P W1 W2 ；

（2）W 她不是直和。

证明：（1）W1 的一个基是：1

1,1,0, 21,0,1

1

W2的一个基是:

1,1,0 , 2 1,0,1

大学数学

因为W1 W2 L 其中

1是

W, W2的生成元的一个极大无关组

从而是W1 W2的一个基, 所以 dim W W2

3

P3 W1 W2

2, dim W dimW

W2

（5 分）

（2）因 dimg 2, dimW> 即 dim W1 W2

dimWi

所以w W,不是直和。（2）之证法二：因为Wl W2

（5 分）

L 0, 1,1

所以w W2不是直和。

2、设 是数域P上线性空间V的线性变换，证明W

的不变子空间的兖要条件是A i W i

1,2,..., r

证明: （充分性）设有A i W i 1,2,..., r

k

1 1 2 2

k

kr r W

1 2

kiA kA

2

... kr A

r

是的不变子空间。

（必要性）设W 由 i W, i

（5 分）

2

,..., r是的不变子空间,

A i W, i 1,2,…,r （5 分）

1,2,...,r

3、已知A E是n级正定矩阵，证明:

（1） A是正定矩阵； （2）

A 2E 3n

大学数学 证明：（1）设A的特征值为1, 2

大学数学 因为A E是正定矩阵， 故其特征值i 1

0, i 1,2,..., n

于是A的特征值i 1, i 1,2,..., n 所以A是正定矩阵。

（2）因为A的特征值i 1, i 1,2,..., n 所以A+2E的特征值i 2

3, i 1,2,..., n

n

A 2E

i

2

3n （ 5 分）i 1

5 分）（