江苏省扬州市吴江高级中学2020年高一数学理下学期期末试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 下列说法正确的是

A、三点确定一个平面 B、四边形一定是平面图形 C、梯形一定是平面图形 D、平面

和平面

有不同在一条直线上的三个交点

参：

C

2. 已知函数

，则的值为（ ）

A.-

2 B.0 C.1 D.6 参： D 略

3. 下列命题中正确的是（ ）

A．a＞b，c＞d?a﹣c＞b﹣d B．

C．ac＜bc?a＜b

D．ac2＞bc2?a＞b

参：

D

【考点】R3：不等式的基本性质．

【分析】通过举反例可以说明A不正确．当 c＜0 时，可以说明B的推理是错误的，当 c＜0 时，可以说明C中的推理不正确；对于D，由条件知c2＞0，故两边同时除以c2时，不等号不变．

【解答】解：由4个数构成的不等式，较大的两个数的差不一定大于较小的两个数的差，如 3＞2，2＞0，但 3﹣2＞2﹣0 并不成立，故A不正确． 由a＞b，不能推出

＞

． 因为 c＜0 时，

＜0，故能由a＞b推出

＜

，故B不正

确．

对于不等式 ac＜bc，当c＞0时，两边同时除以c，能推出a＜b，但当c＜0 时，两边同时除以c，可推出a＞b，故C不正确．

由 ac2＞bc2 可得 c2＞0，两边同时除以c2 可以得到a＞b，故D正确． 综上，应选 D． 4. 在△ABC中，若，则A等于（ ）

A．30°或60°

B．45°或60°

C．120°或60°

D．30°或150°

参：

C

【考点】HP：正弦定理．

【分析】直接利用正弦定理，转化求解即可． 【解答】解：在△ABC中，若b=2asinB，可得

sinB=2sinAsinB，

由于sinB＞0， 可得sinA=

，

可得：A=60°或120°． 故选：C．

5. 已知函数在R上是增函数，点A(0, -1), B(3, 1)是其图像上两点，那么的解集

的补集是 （ ）

(A)

(B) (C) (D)

参： A 略

6. 已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y－1=0平行，则m的值为 A．0 B． 2 C．－8 D．10 参： C

7. 将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，则ω

的值不可能等于

A．4 B．6 C．8 D．12 参： B

8. 函数

的图像大致是 （ ）

参：

A 略

9. （3分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的编号为003．这600名学生分住在3个营区，从001到300住在第1营区，从301到495住在第2营区，从496到600住在第3营区，则3个营区被抽中的人数依次为（）

A．

26，16，8

B．

25，16，9

C．

25，17，8

D．

24，17，9

参：

C

考点： 系统抽样方法．

专题： 概率与统计．

分析： 根据系统抽样的方法的要求，确定抽取间隔即可得到结论．

解答： 由题意知，被抽中的学生的编号满足y=12n﹣9（1≤n≤50，n∈N*）．

令1≤12n﹣9≤300，得1≤n≤25，

故第1营区被抽中的人数为25； 令301≤12n﹣9≤495，得26≤n≤42， 故第2营区被抽中的人数为17； 令496≤12n﹣9≤600得43≤n≤50， 故第3营区被抽中的人数为8． 故选：C

点评： 本题主要考查系统抽样方法．根据系统抽样的定义确定抽取间距，利用等差数列的通项公式进行求解是解决本题的关键．

10. 在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（ ）

A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

参：

D

【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．

【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式、和差公式即可得出． 【解答】解：∵sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C）， ∴sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB， ∴sinAcosB+cosAsinB=1， ∴sin（A+B）=1， ∴sinC=1． ∵C∈（0，π），

∴

．

∴△ABC的形状一定是直角三角形． 故选：D．

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能的是（ ）

A．

B．

C．

D．

参：

D

【考点】简单空间图形的三视图．

【分析】根据几何体的正视图，对4个选项进行分析，即可得出结论． 【解答】解：根据几何体的正视图，得；

当几何体是球体与圆柱体的组合体，且球半径与底面圆半径相等时，俯视图是A；

当几何体上部为平放的圆柱体，下部为正方体的组合体，求圆柱的高与底面圆直径都为直方图的棱长时， 俯视图是B；

当几何体的上部为球体，下部为正方体的组合体，且球为正方体的内切球，其俯视图是C； D为俯视图时，与正视图矛盾，所以不成立． 故选：D．

12. 已知+= 20，则| 3 x – 4 y – 100 |的最大值为 ，最小值为 。

参：

100 + 25，100 – 25。

13. 函数

的值域是___________________

参：

14. 若函数y=是函数的反函数，则

。

参：

0

略

15. 给出下列四个命题：

①函数y=|x|与函数

表示同一个函数；

②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；

③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]； ④函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移一个单位得到；

⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）?f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；

其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）

参：

④⑤

【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①，函数y=|x|与函数

的定义域不同，不表示同一个函数；

②，奇函数的图象不一定通过直角坐标系的原点，如y=，；

③，若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]； ④，根据图象变换规则可判定； ⑤，由函数零点存在性定理判定； 【解答】解：对于①，函数y=|x|与函数

的定义域不同，不表示同一个函数，故错；

对于②，奇函数的图象不一定通过直角坐标系的原点，如y=，故错；

对于③，若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]，故错； 对于④，函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移一个单位得到，正确；

对于⑤，设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）?f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根，正确； 故答案为：④⑤ 16. 若arcsinx﹣arccosx=

，则x= ．

参：

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

【考点】反三角函数的运用．

【分析】由题意可得arcsinx与arccosx=均为锐角，x＞0，求得cos（arcsinx﹣arccosx） 的

值，可得x的值．

【解答】解：∵arcsinx∈（﹣

，

），arccosx∈（0，π），arcsinx﹣arccosx=

，

∴arcsinx与arccosx 均为锐角，x＞0． 又 cos（arcsinx﹣arccosx）=cos

=

，

即 cos（arcsinx）?cos（arccosx）+sin（arcsinx）sin（arccosx） =?x+x?=

，

∴?x=

，∴x2（1﹣x2）=

，∴x2=，或 x2=，

∴x=

，或x=．

经检验，x= 不满足条件，故舍去．

故答案为：

．

17. （4分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x﹣1）﹣2必过定点 ．

参：

（2，﹣2）

考点： 对数函数的单调性与特殊点． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 令x﹣1=1，可得x=2，并求得 y=﹣2，故函数的图象经过的定点的坐标．

解答： 令x﹣1=1，可得x=2，并求得y=﹣2，故函数的图象过点（2，﹣2）， 故答案为（2，﹣2）．

点评： 本题主要考查对数函数的图象过定点问题，属于基础题．

18. 已知集合

（1）若，求

，

；

（2）若，求实数的取值范围。

参：

解：（1）若

则

又

ks5u

(2)

解得

所以的取值范围为

略

19. 设函数

（1）写出函数

的最小正周期及单调递减区间；

（2）当时，函数的最大值与最小值的和为，

求不等式

的解集．

参：

解：（1） ……1分， , 令

，

,

……3分

……4分

∴

，

,

∴函数

的递减区间为：

. ……6分

（2）由

得：

,

,

……8分

,

……9分

∴

,

，, ……11分

又,

∴不等式的解集为. ……12分

20. （14分）已知函数

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在

上是减函数，在

上是增函数．

（1）如果函数

在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b的值．

（2）设常数c∈[1，4]，求函数

的最大值和最小值；

（3）当n是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由．

参：

考点： 函数单调性的性质；函数的单调性及单调区间；基本不等式在最值问题中的应用．

专题： 综合题；压轴题．

分析： （1）根据题设条件知

=4，由此可知b=4．

（2）由

∈[1，2]，知当x=

时，函数f（x）=x+取得最小值2

．再由c的取值判断函数

的最大值和最小值．

（3）设0＜x1＜x2，g（x2）﹣g（x1）=

．由此入手进

行单调性的讨论．

解答： （1）由已知得

=4，

∴b=4．

（2）∵c∈[1，4]， ∴

∈[1，2]，

于是，当x=

时，函数f（x）=x+取得最小值2

．

f（1）﹣f（2）=

，

当1≤c≤2时，函数f（x）的最大值是f（2）=2+；

当2≤c≤4时，函数f（x）的最大值是f（1）=1+c． （3）设0＜x1＜x2，g（x2）﹣g（x1）

=．

当

＜x1＜x2时，g（x2）＞g（x1），函数g（x）在[

，+∞）上是增函数；

当0＜x1＜x2＜时，g（x2）＞g（x1），函数g（x）在（0，

]上是减函数．

当n是奇数时，g（x）是奇函数， 函数g（x）在（﹣∞，﹣

]上是增函数，在[﹣

，0）上是减函数．

当n是偶数时，g（x）是偶函数， 函数g（x）在（﹣∞，﹣

）上是减函数，在[﹣

，0]上是增函数．

点评： 本题考查函数的性质和应用，解题要认真审题，仔细求解．

21. 已知函数f（x）=lgkx，g（x）=lg（x+1），h（x）=．

（1）当k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调区间；

（2）若方程f（x）=2g（x）仅有一个实根，求实数k的取值集合； （3）设p（x）=h（x）+

在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

参：

【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．

【分析】（1）求出函数的表达式，根据x的范围以及对数函数的性质求出函数的单调区间即可； （2）将方程f（x）=2g（x）等价转化为普通的一元二次不等式，然后对一元二次不等式的解进行研究，得到本题的答案；

（3）函数p（x）=h（x）+

在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点等价于方程mx2+x+m+1=0

（*）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个非零的实根．分类讨论，即可求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）当k=1时，y=f（x）+g（x）=lg x+lg （x+1）=lg x（x+1）（其中x＞0） ∴y=f（x）+g（x）的单调递增区间为（0，+∞），不存在单调递减区间． （2）由f（x）=2g（x），即lgkx=2lg （x+1），

该方程可化为不等式组

，

①若k＞0时，则x＞0，原问题即为：方程kx=（x+1）2

在（0，+∞）上有且仅有一个根， 即x2

+（2﹣k）x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个根， 由x1?x2=1＞0知：△=0． 解得k=4；

②若k＜0时，则﹣1＜x＜0，原问题即为：方程kx=（x+1）2在（﹣1，0）上有且仅有一个根，

即x2

+（2﹣k）x+1=0在（﹣1，0）上有且仅有一个根， 记h（x）=x2+（2﹣k）x+1， 由f（0）=1＞0知：f（﹣1）＜0， 解得k＜0．

综上可得k＜0或k=4．

（3）令p（x）=h（x）+

=0，即+

=0，

化简得x（mx2

+x+m+1）=0，所以x=0或mx2

+x+m+1=0， 若0是方程mx2+x+m+1=0的根，则m=﹣1，

此时方程为﹣x2+x=0的另一根为1，不满足g（x）在（﹣1，1）上有两个不同的零点， 所以函数p（x）=h（x）+

在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点，

等价于方程mx2

+x+m+1=0（*）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个非零的实根， （i）当m=0时，得方程（*）的根为x=﹣1，不符合题意， （ii）当m≠0时，则

①当△=12﹣4m（m+1）=0时，得m=，若m=，

则方程（*）的根为x=﹣

=

﹣1∈（﹣1，1），符合题意，

若m=

，则方程（*）的根为x=﹣=﹣﹣1?（﹣1，1），

不符合题意．所以m=，

②当△＞0时，m＜或m＞，

令?（x）=mx2+x+m+1，由?（﹣1）?（1）＜0且?（0）≠0，得﹣1＜m＜0，

综上所述，所求实数m的取值范围是（﹣1，0）∪{

}．

【点评】本题考查的是复合函数单调性、函数的定义域、一元二次函数的图象和性质，还考查了分类讨论的数学思想．本题有一定的综合性，对学生能力要求较高． 22. (本小题满分10分)已知集合，

，若

，求实

数a的取值范围。

参：

（1）当（2）当

时，有时，有

-

又，则有

由以上可知