平遥县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

x2y21． 已知点P是双曲线C：221(a0,b0)左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且

abPF1PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率

是（ ） A.5

B.2 C.3 D.2

【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.

2． 如果对定义在R上的函数f(x)，对任意mn，均有mf(m)nf(n)mf(n)nf(m)0成立，则称 函数f(x)为“H函数”.给出下列函数： ①

f(x)ln2x5；②f(x)x34x3；③f(x)22x2(sinxcosx)；④

ln|x|,x0．其中函数是“H函数”的个数为（ ） f(x)0,x0A．1 B．2 C．3 D． 4

【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大． 3． 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+A．C．2015 D．

B．

ax－1，x≤1

a

，则S2015的值是（ ）



4． 已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），若f（1）＝1，f（b）＝－3，则f（5－b）＝（ ） 1

log，x＞1x＋1

1A．－

43C．－

4

1B．－

25D．－

4

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5． 已知全集为R，集合Ax|x2或x3，B2,0,2,4，则(ðRA)B（ ）

A．2,0,2 B．2,2,4 C．2,0,3 D．0,2,4 6． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ） A．4 B．2 C． D．2 7． 设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a42(a2a3)，则 A．

S7（ ） a4714 B． C．7 D．14 45【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n项和，意在考查运算求解能力.

x2y2

8． 双曲线E与椭圆C：＋＝1有相同焦点，且以E的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积

93为π，则E的方程为（ ） x2y2

A.－＝1 33x22

C.－y＝1 5A.7

B.8

x2y2

B.－＝1 42x2y2

D.－＝1 24C. 9

D. 10

9． 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）

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【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件.

x2y210．F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF 1PF20，

ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）

2A.2 B.3 C. 21 D. 31

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．

11．运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（ ）

A．y=x+2

B．y= C．y=3x D．y=3x3

12．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]

A．10 B．15 C．20 D．30

二、填空题

13．在等差数列{an}中，a12016，其前n项和为Sn，若

S10S82，则S2016的值等于 . 108【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度. 14．命题：“∀x∈R，都有x3≥1”的否定形式为 ． 15．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 _________ 。 16．正六棱台的两底面边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为 ． 17．已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2

）an+sin

2

，则该数列的前16项和为 ．

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三、解答题

18．（本小题满分12分）

如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，M为A1A的中点，AB＝BD＝2，且△BMC1为等腰三角形．

（1）求证：BD⊥MC1；

（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积．

19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N分别是所在棱的中点．

（1）证明：平面MNE⊥平面D1DE； （2）证明：MN∥平面D1DE．

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20．（本小题满分16分）

给出定义在0,上的两个函数f(x)x2alnx,g(x)xax. （1）若f(x)在x1处取最值．求的值；

（2）若函数h(x)f(x)g(x2)在区间0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数m(x)f(x)g(x)6的零点个数，并说明理由．

21．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各 10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．

已知男、女生成绩的平均值相同． （1）求的值；

（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．

22．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．

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（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；

（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．

23．（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S990，S15240． （1）求{an}的通项公式an和前n项和Sn； （2）设anbn取值范围．

24．（本小题满分12分）在ABC中，内角A,B,C的对边为a,b,c，已知

1，Sn为数列{bn}的前n项和，若不等式Snt对于任意的nN*恒成立，求实数t的

(n1)2cos2A(cosB3sinB)cosC1. 2（I）求角C的值；

（II）若b=2，且ABC的面积取值范围为[3,3]，求c的取值范围． 2【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．

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平遥县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参）

一、选择题

1． 【答案】A. 【

解

析

】

2． 【答案】B

第

3． 【答案】D 【解析】解：∵2Sn=an+当n=2时，2（1+a2）=同理可得猜想验证：2Sn==

=

，

． ．

…+

=

，

，∴

，化为

，解得a1=1．

=0，又a2＞0，解得

，

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因此满足2Sn=an+∴∴Sn=∴S2015=故选：D．

．

．

， ．

【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

4． 【答案】

【解析】解析：选C.由题意得a－1＝1，∴a＝2. 若b≤1，则2b－1＝－3，即2b＝－2，无解．

111

∴b＞1，即有log2＝－3，∴＝，∴b＝7.

b＋1b＋18

3

∴f（5－b）＝f（－2）＝2－2－1＝－，故选C.

45． 【答案】A 【解析】

考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集. 6． 【答案】A

，

【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3）， ∴AB是正方体的体对角线，AB=设正方体的棱长为x， 则故选：A．

，解得x=4．

∴正方体的棱长为4，

【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．

7． 【答案】C.

)化简得a1d，∴【解析】根据等差数列的性质，a42(a2a3)a13d2(a，1da12d第 9 页，共 18 页

S7a47a176d14d27，故选C.

a13d2d8． 【答案】

x2y2

【解析】选C.可设双曲线E的方程为2－2＝1，

ab

b

渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，

a

由题意得E的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即

|6b|b＋a

2

2

＝1，

又a2＋b2＝6，∴b＝1，a＝5，

x22

∴E的方程为－y＝1，故选C.

59． 【答案】A

【解析】运行该程序，注意到循环终止的条件，有n10，i1；n5，i2；n16，i3；n8，i4；n4，i5；n2，i6；n1，i7，到此循环终止，故选 A. 10．【答案】D

2222【解析】∵PF1PF2F1F24c，1PF2，即PF1F2为直角三角形，∴PF1PF20，∴PF|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)， (PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径

r31PF1PF2F1F2c，整理，得2c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2c22c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D. a11．【答案】 C

【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得； 该程序运行后输出的是实数对

（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；

x

这组数对对应的点在函数y=3的图象上．

故选：C．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．

12．【答案】D 【解析】

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试题分析：分段间隔为考点：系统抽样

150050，故选D. 30二、填空题

13．【答案】2016

14．【答案】 ∃x0∈R，都有x0＜1 ．

3

3

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x∈R，都有x≥1”的否定形式为：命题：“∃x0∈R，

都有x0＜1”．

3

故答案为：∃x0∈R，都有x0＜1．

3

【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．

15．【答案】

【解析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部， 且点A与圆心O之间的距离为OA=圆的半径为r=

，

=

，

∴sinθ==，

∴cosθ=，tanθ==，

∴tan2θ===，

故答案为：。

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16．【答案】

cm2 ． ，

【解析】解：如图所示，是正六棱台的一部分， 取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1， 则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形． 根据正六棱台的性质得OC=∴CC1=

=

，O1C1=．

=

侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．

又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A1B1=12cm． ∴正六棱台的侧面积： S===

2

（cm）．

．

故答案为： cm2．

【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

17．【答案】 6 ．

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*

【解析】解：当n=2k﹣1（k∈N）时，a2k+1=a2k﹣1+1，数列{a2k﹣1}为等差数列，a2k﹣1=a1+k﹣1=k； *

当n=2k（k∈N）时，a2k+2=2a2k，数列{a2k}为等比数列，

．

∴该数列的前16项和S16=（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a16） =（1+2+…+8）+（2+22+…+28） =

=36+29﹣2 =6．

故答案为：6．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

+

三、解答题

18．【答案】

【解析】解：（1）证明：如图，连接AC，设AC与BD的交点为E， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，

又AA1⊥平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD； 又A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面A1ACC1， 又MC1⊂平面A1ACC1，∴BD⊥MC1.

（2）∵AB＝BD＝2，且四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AE＝2

AB2－BE2＝23，

又△BMC1为等腰三角形，且M为A1A的中点， ∴BM是最短边，即C1B＝C1M. 则有BC2＋C1C2＝AC2＋A1M2，

C1C2

即4＋C1C2＝12＋（），

2

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46解得C1C＝，

3

所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V＝S菱形ABCD×C1C

1146＝AC×BD×C1C＝×23×2×＝82. 223即四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为82. 19．【答案】

【解析】证明：（1）由等腰梯形ABCD中，

∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴NE⊥DE， 又NE⊥DD1，且DD1∩DE=D， ∴NE⊥平面D1DE， 又NE⊂平面MNE， ∴平面MNE⊥平面D1DE．… （2）等腰梯形ABCD中，

∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴AB∥DE，∴AB∥平面D1DE， 又DD1∥BB1，则BB1∥平面D1DE，

又AB∩BB1=B，∴平面ABB1A1∥平面D1DE， 又MN⊂平面ABB1A1，∴MN∥平面D1DE．…

20．【答案】（1） a2 （2） a≥2（3）两个零点． 【解析】

(1)0 ，解得a2 ，需试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此f(x)在x1处取极值，即f′(x)≤0在区间0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应验证（2） h(x)在区间0,1上单调递减，转化为h′4x24x2函数最值：a≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得Fx最大值2（3）先利用导数研究函数

x1x1mx单调性：当x0,1时，递减，当x1,时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：m10，

m（e4)0 ， m(e4)0，结合零点存在定理可得零点个数

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a(1)0即: 2a0, 由已知，f′x解得：a2 经检验 a2 满足题意 (x)2x试题解析：（1） f′所以 a2 ………………………………………4分

12112 因为x0,1，所以1,，所以xxxmin所以Fxmax2，所以a≥2 ……………………………………10分

2（3）函数mxf(x)g(x)6有两个零点．因为mxx2lnxx2x6

2212x2xx所以m′x2x1xxxx12xx2xx2x ………12分

当x0,1时，mx0，当x1,时，mx0

所以mxminm140， ……………………………………14分

12e8e4(2e21)（1-e)(1+e+2e3)4（e)0 m(e）=0 ，me8e44m(e4)e（e41)2(e27)0 故由零点存在定理可知：

2 函数mx在(e4,1) 存在一个零点，函数mx在(1,e4) 存在一个零点，

所以函数mxf(x)g(x)6有两个零点． ……………………………………16分 考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性 【思路点睛】

对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参

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数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 21．【答案】（１） a7；（２） P【解析】

试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于86分的学生共五人，写出基本事件共10个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．

3． 10其

中恰有2名学生是女生的结果是(96,93,87)，(96,91,87)，(96,90,87)共3种情况． 所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率P考点：平均数；古典概型．

【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用P(A)1P(A)求解较好． 22．【答案】

22

【解析】解：（1）设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0

3．1 10复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，(x,y)可以看成是有序的，如1,2与2,1不同；有

22

圆的方程为x+y﹣8y﹣9=0…

（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点 则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD， 又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD 又OC=OB，所以△BOD≌△COD

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∴∠OCD=∠OBD=90°

即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切． … （其他方法亦可）

23．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查等差数列通项与前n项和、数列求和、不等式性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及方程思想与裂项法的应用．

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24．【答案】

A(cosB3sinB)cosC1， 2∴cosAcosBcosC3sinBcosC0，

【解析】（I）∵2cos2∴cos(BC)cosBcosC3sinBcosC0，

∴cosBcosCsinBsinCcosBcosC3sinBcosC0， ∴sinBsinC3sinBcosC0，因为sinB>0，所以tanC3 又∵C是三角形的内角，∴C3.

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