例谈导数压轴题中双变量问题的常用解法

典例：已知函数𝐟(𝐱)=

解析：f′(x)=

1−xex

𝐱𝐞𝐱

,𝐟(𝐱𝟏)=𝐟(𝐱𝟐),𝐱𝟏≠𝐱𝟐,求证：𝐱𝟏+𝐱𝟐>𝟐.

,易得 f(x)在(−∞,1)递增，(1,+∞)递减，其图像如图，为了更

好的看图，横纵轴单位长度取得不同，不妨设0<𝑥1<1<𝑥2,以下是几种不同的证明思路： 思路一：（极值点偏移问题+构造对称函数）

令g(x)=f(2−x)−f(x),(0<𝑥<1)

ex−e2−x

则gx)=(1−x)x2−x<0,则g(x)在(0,1)递减

ee

′(

∴g(x)>𝑔(1)=0,即f(2−x)>𝑓(x),

∴f(2−x1)> 𝑓(x1)=f(x2),又2−x1>1,x2>1,f(x)在(1,+∞)递减, ∴2−x12。

点评：构造对称函数为极值点偏移问题的通法。 思路二：（极值点偏移+对数平均不等式）

x1x2

()()fx1=fx2⇒x=x⇒lnx1−x1=lnx2−x2⇒lnx1−lnx2=x1−x2

e1e2

x1−x2x1−x2x1+x2⇒=1,由对数平均不等式<(证明略)， lnx1−lnx2lnx1−lnx22得

x1+x22

>1,即x1+x2>2。

点评：含指数或者对数的不等式问题中，指对互化是常用技巧，而对数平均不等的 功能更是巨大。 思路三：（差值消元）

令x2−x1=t>0,ex1=ex2⇒x=ex1=ex2−x1=et⇒x1=et−1,x2=et−1+t,

1

x1x2x2

ex2

tt

2t2tet(2−t)

∴x1+x2=t+t,欲证x1+x2>2即证t+t<2即<1,

e−1e−12+tet(2−t)et(−t2)′

令g(t)=,则g(t)=<0,故g(t)在(0,+∞)递减，

(2+t)22+t

∴g(t)<𝑔(0)=0,∴x1+x2>2。

点评：在含指数式的双变量问题中，差值消元是常用策略，而构造函数时又体现了“指 数找基友”的思想。 思路四：（比值消元）

x2x1x2x2ex2令=t,则t>1,x=x⇒==t⇒x2−x1=lnt,又x2=tx1, x1e1e2x1ex1

lnttlntlnttlnt

∴x1=,x2=,欲证x1+x2>2即证+>2,

t−1t−1t−1t−1即证lnt>

2(t−1)t+1

,令g(t)=lnt−

2(t−1)t+1

,(t>1),gt)=′(

(t−1)2

(1+t)2

>0,

故g(t)在(0,+∞)递增，∴g(t)>𝑔(0)=0,∴lnt>

2(t−1)

,∴x1+x2>2。 t+1

点评：将条件转化成对数式以后，比值消元则是对数式常用的策略，而构造函数时又体 现了“对数单身狗”的思想。 思路五：（构造对称函数）

1−x1−x1−x11

f′(x)=x，易证不等式x−=(1−x)(x−)≥0,

eeeee令gx)=

′(

1−xe

,则g(x)=

1

−(1−x)2

2e1

+c,(c为常数)

−(1−x)2

2e

由g(1)=f(1)=e得 c=e,g(x)=+e,

1

结合两个函数导数的关系作出如右图所示图像，

（此处可用不等式来说明，这里省略）

x3x3+x4

=2,∴x1+x2>2。

点评：本思路源自于本题是一道极值点偏移问题，可以考虑找到一个关于极值点对称 的函数进行交点的代换，则可得到证明。其中对这个函数的要求是很苛刻的，本人也 没有太多研究，故抛转引玉给读者们进行探究学习。