2020-2021学年广西南宁市兴宁区三美学校九年级(上)第三次段考数学试卷(含解析)

段考数学试卷

一、选择题（本大题共12小題，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣2021的绝对值是（　　）A．﹣2021

B．2021

C．

D．﹣

2．（3分）下列校徽图案中，是轴对称图形的是（　　）

A．B．

C．D．

3．（3分）在攻击人类的病毒中，某类新型冠状病毒的直径约为0.000 000 125米，它比流感病毒的基因组大两倍．0.000000125用科学记数法表示为（　　）A．1.25×10﹣6

B．1.25×10﹣7

C．1.25×106

D．1.25×107

4．（3分）下列计算正确的是（　　）A．a3+a2＝a55．（3分）不等式组

B．a3•a2＝a5

C．（2a2）3＝6a6

D．a6÷a2＝a3

的解集在数轴上表示为（　　）

A．B．

C．D．

6．（3分）将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）

A．85°B．75°C．60°D．45°

7．（3分）某班10名学生的校服尺寸与对应人数如表所示：

尺寸（cm）学生人数（人）1601

1653

1702

1752

1802

则这10名学生校服尺寸的众数和中位数分别为（　　）A．165cm，165cmC．170cm，165cm

B．165cm，170cmD．170cm，170cm

8．（3分）将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）A．y＝﹣5（x+1）2﹣1C．y＝﹣5（x+1）2+3

B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣5（x﹣1）2+3

9．（3分）“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2013年双十一淘宝销售额达到350亿元．2015年11月12日，全天交易额达912.17亿元，设2013年到2015年年平均增长率为x（　　）

A．350（1+x）＝912.17B．350（1+2x）＝912.17C．350（1+x）2＝912.17

D．350（1+x）+350（1+x）2＝912.17

10．（3分）已知一组数据5，6，7，8，9，5，9，若增加一个数7，则新的这组数据与原来相比（　　）

A．平均数变大，方差变大C．平均数不变，方差变小

B．平均数不变，方差变大D．平均数不变，方差不变

的长等于

11．（3分）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，则（　　）

A．B．C．D．

（x＞0）上任意一点，连接AO2＝

12．（3分）在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝

（x＜0）交于点B，连接AB

＝2，则

＝（　　）

A．4B．﹣4C．2D．﹣2

二、填空题:（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2﹣2＝　 14．（3分）当x＝　 　时，分式　．

的值为零．

15．（3分）某校九年级（2）班有30名男生和20名女生，名字彼此不同，洗匀后从中任意抽取1张，抽到写有女生名字的概率是 　

　．

16．（3分）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是　

　．

17．（3分）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，个数列前2020个数的和为 　

　．

，，，…则这

18．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，若D是BC边上的动点　 　．三、解答题:（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：﹣（﹣1）+（

）2+（﹣3）÷2×4．

20．（6分）解方程：2x2﹣x﹣3＝0．

21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．

（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；

（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴的右侧画出△A2B2C2；

（3）在（2）的条件下，求出A2C2的长度．

22．（8分）某校团委为了解九年级800名同学每学期参加社会实践活动的时间，随机抽取九年级部分同学进行调查，将调查数据绘制成如下条形统计图，解答下列问题．（1）本次调查抽取的人数是多少？

（2）估计这所学校九年级的同学中，每学期参加社会实践活动时间在8﹣10天的人数约是多少？

（3）校团委准备在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校介绍经验，请用画树状图或列表的方法

23．（8分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，BC交于M，N两点，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC　

　．

24．（10分）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%

（1）求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？

（2）现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/吨（10≤a≤30），设从甲仓库运m吨原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式（不要求写出m的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大

25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，CE切⊙O于点D，过A作AC⊥CE于点C，连接AD．

（1）求证：AD平分∠CAB；

（2）若B为OE中点，DF⊥AB于F，DF＝3；（3）连接BD，若AD＝2BD，求AB与BE的数量关系．

26．（10分）如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P

①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．

2020-2021学年广西南宁市兴宁区三美学校九年级（上）第三次

段考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小題，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣2021的绝对值是（　　）A．﹣2021【答案】B

【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，故选：B．

【点评】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．2．（3分）下列校徽图案中，是轴对称图形的是（　　）

B．2021

C．

D．﹣

A．B．

C．【答案】B

D．

【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形．故选：B．

【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．（3分）在攻击人类的病毒中，某类新型冠状病毒的直径约为0.000 000 125米，它比流感病毒的基因组大两倍．0.000000125用科学记数法表示为（　　）A．1.25×10﹣6【答案】B

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000125＝1.25×10﹣2．故选：B．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．（3分）下列计算正确的是（　　）A．a3+a2＝a5【答案】B

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a3+a2，无法计算，故此选项错误；B、a5•a2＝a5，正确；

C、（7a2）3＝2a6，故此选项错误；D、a6÷a8＝a4，故此选项错误；故选：B．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．5．（3分）不等式组

的解集在数轴上表示为（　　）B．a3•a2＝a5

C．（2a2）3＝6a6

D．a6÷a2＝a3

B．1.25×10﹣7

C．1.25×106

D．1.25×107

A．B．

C．【答案】C

D．

【分析】在数轴的点所表示的数左边的总比右边的小，所以“＜”取该数左边的数，并

用空心的圈圈住该数，“≥”取该数右边的数，包括该数，用实心的点．【解答】解：因为，不等式组所以，排除选项A、B、D故选：C．

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是要理解有理数在数轴上的分布规律及具有数形结合的思想意识．

6．（3分）将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）

A．85°【答案】B

B．75°C．60°D．45°

【分析】首先根据∠1＝60°，判断出∠3＝∠1＝60°，进而求出∠4的度数；然后对顶角相等，求出∠5的度数，再根据∠2＝∠5+∠6，求出∠2的度数为多少即可．

【解答】解：如图1，∵∠1＝60°，∴∠7＝∠1＝60°，∴∠4＝90°﹣60°＝30°，∵∠5＝∠4，∴∠5＝30°，

∴∠7＝∠5+∠6＝30°+45°＝75°．故选：B．

，

【点评】此题主要考查了平行线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相

等．②定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．

7．（3分）某班10名学生的校服尺寸与对应人数如表所示：

尺寸（cm）学生人数（人）1601

1653

1702

1752

1802

则这10名学生校服尺寸的众数和中位数分别为（　　）A．165cm，165cmC．170cm，165cm【答案】B

【分析】根据表格可以直接得到这10名学生校服尺寸的众数，然后将表格中数据按从小到大的顺序排列即可得到中位数．

【解答】解：由表格可知，这10名学生校服尺寸的众数是165cm，

这10名学生校服尺寸按从小到大排列是：160、165、165、170、175、180，故这10名学生校服尺寸的中位数是：故选：B．

【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会求一组数据的众数和中位数．

8．（3分）将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）A．y＝﹣5（x+1）2﹣1C．y＝﹣5（x+1）2+3【答案】A

【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．

【解答】解：将抛物线y＝﹣5x2+5向左平移1个单位长度，得到y＝﹣5（x+2）2+1，再向下平移2个单位长度，

所得到的抛物线为：y＝﹣5（x+1）4﹣1．故选：A．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．

B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣5（x﹣1）2+3

cm，

B．165cm，170cmD．170cm，170cm

9．（3分）“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2013年双十一淘宝销售额达到350亿元．2015年11月12日，全天交易额达912.17亿元，设2013年到2015年年平均增长率为x（　　）

A．350（1+x）＝912.17B．350（1+2x）＝912.17C．350（1+x）2＝912.17

D．350（1+x）+350（1+x）2＝912.17【答案】C

【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设从2013年到2015年年平均增长率为x，根据已知可以得出方程．【解答】解：如果设从2013年到2015年年平均增长率为x，那么根据题意得今年为：350（1+x）2，列出方程为：350（8+x）2＝912.17．故选：C．

【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

10．（3分）已知一组数据5，6，7，8，9，5，9，若增加一个数7，则新的这组数据与原来相比（　　）

A．平均数变大，方差变大C．平均数不变，方差变小【答案】C

【分析】根据平均数和方差计算方法计算可得答案．【解答】解：数据5，6，6，8，9，2，9的平均数为：＝

，

B．平均数不变，方差变大D．平均数不变，方差不变

s2＝[（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2+（8﹣2）2+（9﹣5）2+（5﹣4）2+（9﹣8）2]÷7＝

，

若增加一个数7，

则新的数据与原来相比平均数不变，

新的数据的方差：s2＝[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2×7+（8﹣7）5+（9﹣7）7+（5﹣7）2+（9﹣7）8]÷8＝，∵

＞

∴方差变小．故选：C．

【点评】本题考查了方差和平均数，关键是掌握方差计算方法和平均数的计算方法．11．（3分）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，则（　　）

的长等于

A．【答案】D【分析】求

B．C．D．

的长，关键是求弧所对的圆心角，弧所在圆的半径，连接OC，由图形可

知OA⊥OC，即∠AOC＝90°，由勾股定理求OA，利用弧长公式求解．【解答】解：连接OC，由图形可知OA⊥OC，即∠AOC＝90°，由勾股定理，得OA＝∴

的长＝

＝

＝

，．

故选：D．

【点评】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长＝12．（3分）在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝

．

（x＞0）上任意一点，连接AO2＝

（x＜0）交于点B，连接AB＝2，则＝（　　）

A．4【答案】B

B．﹣4C．2D．﹣2

【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOD＝k1，S△BOE＝﹣k2，然后通过证得△BOE∽△OAD，即可证得结论．【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵点A是双曲线y1＝

（x＞2）上的点2＝

（x＜6）上的点，

∴S△AOD＝|k5|＝k8，S△BOE＝|k3|＝﹣k7，∵∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOE＝∠OAD，∵∠BEO＝∠ADO＝90°，∴△BOE∽△OAD，∴

＝（

）2，

∴

＝25，

∴＝﹣2，

故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．二、填空题:（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2﹣2＝　2（a+1）（a﹣1）　．【答案】2（a+1）（a﹣1）．

【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：2a2﹣4＝2（a2﹣8）＝2（a+1）（a﹣4），故答案为：2（a+1）（a﹣5）．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．14．（3分）当x＝　3　时，分式【答案】见试题解答内容

【分析】分子等于零时，分式的值为零．【解答】解：由题意，得x﹣3＝0且3x+3≠0．解得x＝2．故答案为：3．

【点评】本题主要考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

15．（3分）某校九年级（2）班有30名男生和20名女生，名字彼此不同，洗匀后从中任意抽取1张，抽到写有女生名字的概率是 　　．【答案】．

【分析】根据概率公式，用女生人数除以总人数即可．

的值为零．

【解答】解：根据题意可知：全班共501名同学，其中20名女生故答案为：．

，

【点评】本题主要考查了随机事件的概率，解题关键是熟练掌握求概率的公式．16．（3分）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是　y＝﹣

x2　．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据这个函数过原点，那么可设为y＝kx2，有CO和AB的长，那么A的坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），利用待定系数法即可解决．【解答】解：设为y＝kx2，

由CO和AB的长，那么A的坐标应该是（﹣0.4，将其代入函数中得：﹣2.4＝7.8×0.4×k，解得k＝﹣

．

x7．

那么函数的解析式就是：y＝﹣

【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．

17．（3分）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，个数列前2020个数的和为 　【答案】

．

，据此可得前2020个数的和为，再用裂项求和计算可得．，

+…+　．

，

，

，…则这

【分析】根据数列得出第n个数为

+

+

+

+…+

【解答】解：由数列知第n个数为则前2020个数的和为++

+

＝++++…+

﹣

＝1﹣+﹣+﹣+﹣+…+＝1﹣＝

，

．

故答案为：

【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据数列得出第n个数为并熟练掌握裂项求和的方法．

18．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，若D是BC边上的动点　6　．，

【答案】见试题解答内容

【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，依据A与A'关于BC对称，可得AD＝A'D，进而得出AD+DE＝A'D+DE，当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，依据AD+DE的最小值为3，即可得到2AD+CD的最小值为6．

【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，A'D，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝

，∠C＝30°，

∴Rt△CDE中，DE＝，即2DE＝CD，∵A与A'关于BC对称，∴AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，

∴当A'，D，E在同一直线上时，此时，Rt△AA'E中

×2

，

∴AD+DE的最小值为8，即2AD+CD的最小值为6，

故答案为：4．

【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．三、解答题:（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：﹣（﹣1）+（【答案】﹣2．

【分析】利用有理数的混合运算法则进行计算即可．【解答】解：原式＝1+3+（﹣7）××8＝4﹣6＝﹣6．

【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20．（6分）解方程：2x2﹣x﹣3＝0．【答案】见试题解答内容

【分析】利用因式分解法即可求解．【解答】解：2x2﹣x﹣5＝0，（2x﹣2）（x+1）＝0，则2x﹣3＝0，x+2＝0，解得：x1＝2.5，x2＝﹣7．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．

（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；

）2+（﹣3）÷2×4．

（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴的右侧画出△A2B2C2；

（3）在（2）的条件下，求出A2C2的长度．

【答案】（1）（2）作图见解析部分；（3）

．

【分析】（1）把A、B、C的纵坐标不变，横坐标都减去6可得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

（2）把A、B、C的横纵坐标分别乘以可得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）利用勾股定理求解．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C6为所作；（2）如图，△A2B2C6为所作；

（3）A2C2＝

＝．

【点评】本题考查了作作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；

再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接下来根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．

22．（8分）某校团委为了解九年级800名同学每学期参加社会实践活动的时间，随机抽取九年级部分同学进行调查，将调查数据绘制成如下条形统计图，解答下列问题．（1）本次调查抽取的人数是多少？

（2）估计这所学校九年级的同学中，每学期参加社会实践活动时间在8﹣10天的人数约是多少？

（3）校团委准备在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校介绍经验，请用画树状图或列表的方法

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）求得各个时间段的人数的和即可；（2）利用800乘以所占的比例即可求解；

（3）利用树状图法，然后利用概率的计算公式即可求解．【解答】解：（1）6+8+20+12+7＝50（人）；（2）800×（3）

＝320（人）；

恰好抽到甲、乙两名同学的概率是：＝．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

23．（8分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，BC交于M，N两点，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC　　．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得AD∥BC，AO＝CO，可以证明△AOM≌△CON可得AM＝CN，进而证明四边形ANCM为平行四边形；

（2）根据MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；根据AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，即可在Rt△ABN中，根据勾股定理，求出DM的长．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，

∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，

，

∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，

∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，

∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，在Rt△ABN中，根据勾股定理，得

AN2＝AB2+BN6，

∴（4﹣DM）2＝32+DM2，解得DM＝．故答案为．

【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明△AOM≌△CON．

24．（10分）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%

（1）求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？

（2）现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/吨（10≤a≤30），设从甲仓库运m吨原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式（不要求写出m的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据甲乙两仓库原料间的关系，可得方程组；（2）根据甲的运费与乙的运费，可得函数关系式；（3）根据一次函数的性质，要分类讨论，可得答案．

【解答】解：（1）设甲仓库存放原料x吨，乙仓库存放原料y吨，得

，

解得

，

甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料210吨；（2）由题意，从甲仓库运m吨原料到工厂，

总运费W＝（120﹣a）m+100（300﹣m）＝（20﹣a）m+30000；（3）①当10≤a＜20时，20﹣a＞0，得W随m的增大而增大，②当a＝20时，20﹣a＝0；③当20＜a≤30时，则20﹣a＜4．

【点评】本题考查了二元一次方程组及一次函数的性质，解（1）的关键是利用等量关系

列出二元一次方程组，解（2）的关键是利用运费间的关系得出函数解析式；解（3）的关键是利用一次函数的性质，要分类讨论．

25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，CE切⊙O于点D，过A作AC⊥CE于点C，连接AD．

（1）求证：AD平分∠CAB；

（2）若B为OE中点，DF⊥AB于F，DF＝3；（3）连接BD，若AD＝2BD，求AB与BE的数量关系．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）连接OD，根CE是⊙O的切线，得OD⊥CE，由AC⊥CE得出OD∥AC，通过等量代换得出AD平分∠CAB；

（2）由B为OE的中点得出OE＝2OB，在Rt△ODE中根据三角函数得出

；

（3）由CE是⊙O的切线，得到∠EDB+∠BDO＝90°，由AB为⊙O的直径，推出∠DBO+∠DAB＝90°，然后证明△EBD∽△EDA，推出2DE，DE＝2BE，推出AB＝3BE．【解答】解：（1）证明：连接OD，

，所以AE＝

∵CE是⊙O的切线，∴OD⊥CE，∵AC⊥CE，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC，∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠CAB；（2）∵B为OE的中点∴OE＝2OB，∵OB＝OD，∴在Rt△ODE中，∴∠E＝30°，在Rt△DEF中，

；，

（3）AB与BE的数量关系为AB＝3BE理由如下：∵CE是⊙O的切线，∴OD⊥CE，

∴∠EDB+∠BDO＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DBO+∠DAB＝90°，∵OB＝OD，∴∠BDO＝∠DBO，∴∠EDB＝∠DAB，又∵∠E＝∠E，∴△EBD∽△EDA，∴

∴AE＝2DE，DE＝7BE，∴AE＝4BE，

∴AB＝AE﹣BE＝3BE，∴AB＝5BE．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直径三角形．

26．（10分）如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P

①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；

②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：

（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（8，与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝3，∴B（0，2），

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+

x+6；

（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+3，∵M（m，0）为x轴上一动点，N，∴P（m，﹣m+2），﹣m2+∴PM＝﹣m+5，PN＝﹣m5+

m+4），m+2﹣（﹣

m2+4m，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为5，∴﹣m2+

m+2＝3，

∴M（，0）；

当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，

则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝mm2+∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，

m+2﹣2＝﹣m2+

m，

∴＝，

∴＝∴M（

，0）；

，解得m＝0（舍去）或m＝，

综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，0）或（②由①可知M（m，3），﹣m+5），﹣m4+∵M，P，N三点为“共谐点”，

m+2），

；

∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有4（﹣当M为线段PN的中点时，则有﹣当N为线段PM的中点时，则有﹣

m7+m2+

m2+

m+2；

m+2）＝8；m+2）；

综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为0.5或﹣3或﹣．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．