极点极线及高中圆锥曲线必备公式

∙百度贴吧../cur_work/tieba.baidu./f?kw=mpc_killer&ie=utf-8mpc_killer吧的《[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线 草稿》

∙《漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法》

∙百度贴吧高中数学吧的《圆锥曲线基础必备》

等优秀容.

极点极线

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定义 已知圆锥曲线С: Ax+By+Cx+Dy+E=0与一点P(x0,y0) [其中A+B≠0,x0+xy0+y

点不在曲线中心和渐近线上].则称点P和直线L: A∙x0x+B∙y0y+C∙+D∙+E=0是．P．．．．．．．．．．．．22圆锥曲线С的一对极点和极线.

x0+x

即在圆锥曲线方程中,以x0x替换x，以替换x，以y0y替换y

2则可得到极点P(x0,y0)的极线方程L.

y0+y,以替换y

2

特别地：

(1)对于圆(x-a)+(y-b)=r,与点(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r ；

P(x0,y0)对应的极线方程为

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x0xy0y

(2)对于椭圆+=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为+=1 ；

abab

xy

x0xy0y

(3)对于双曲线-=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为-=1 ；

abab

xy

(4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x) ；

性质 一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线部]: ．．．．．．．．．．

①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；

②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；

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③若极点P在曲线С,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= (x0-a)+(y0-b)x0xy0yx0

圆,则此时中点弦的方程为+=

abay0yx0

-=ba

-y0b

+y0b

；若是椭

x0xa

；若是双曲线,则此时中点弦的方程为

；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0)；

④当P(x0,y0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线； ．．

⑤极点极线的对偶性:

Ⅰ.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图中点与直线．．．Pn．．．．．Ln是一对极点极线]； ．．．．．．．．．

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Ⅱ.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的极线L上 [图．中点与直线是一对极点极线；点与直线是一对极点极线] ； ．．P．．．．ST．．．．．．．．．．．T．．．．SP．．．．．．．．．

Ⅲ.点P是曲线C的极点，它对应的极线为L，则有:

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1)若C为椭圆或双曲线，O是C的中心，直线OP交C与R，交L于Q，则OP∙OQ=OR即

= OROQOP

OR

椭圆如图

双曲线如图

2)若曲线为抛物线，过点P作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则PR=QR

如图

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中学数学中极点与极线知识的现状与应用

虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教a

材改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆+=1的焦点的极线方程为: x=.焦点

abc与准线是圆锥曲线一章中的核心容,它揭示了圆锥曲线的统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.

x

y

圆锥曲线基础必备

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极点极线例题

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