高中数学专题-基本不等式

高中数学专题-基本不等式（第1课时）32

**学习目标**

1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.

2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.

3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.

**要点精讲** 1．基本不等式：

a+b³2ab (a0,b0)，即：两正数的算术平均数不小于它们的几何

平均数，当且仅当a=b时等号成立．注：上述不等式对a≥0,b≥０时仍成立。 2．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．a≥0,b≥0 3．基本不等式的变形公式： （1）a0,a0（aR）； （2）a+b吵2ab2222ab(a,b?R)；

R)； R+)；

a2+b2(a,b（3）abＮ2（4）a+b澄2ab(a,b（5）abＮ(a+b2)(a,b2R+)。

4．基本不等式的推广：n个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若 ai≥0(i=1,2,…,n), 则na1a2鬃祝an

**范例分析**

例1．（1）如图,已知在正方形ABCD中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边

的长为a、b,则正方形ABCD的面积为S1=________,4个直角三角形面积的和为S2=________,则S1_______S2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a、b的式子表示),并且当a______b时,直角三角形变为________时,S1=S2. （2）已知a0,b0，求证：你能解释ab

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a1+a2+鬃?an(n>1,nÎN)；

na+b³2ab ，

ab（a,bR）的几何意义吗？ 2

例2. 利用基本不等式证明下列不等式：

1³2； a4(2) 已知a>3,求证 a+³7；

a-3(1) 已知a>0,求证 a+

例3. (1). 已知x , y , z是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (

111-1)(-1)(-1)>8 xyz (2). 已知x0,y0，求证：

112xyxyxyyx。 24例4．（1）已知a,b,c为任意实数，求证：a2+b2+c2ab+bc+ca； （2）已知a+b+c=1, 求证a2+b2+c2≥

４．已知a , b , c不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证:

1。 3111abc abc注意：利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立．

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规律总结

2aba2b21．均值不等式（不等式链）：若a,bR，则。 ab1/a1/b222aba2b2其中，分别称为正数a,b的调和平均数（H）、几何平均,ab,,1/a1/b22数（G）、算术平均数（A）、平方平均数（P），即有HGAP。基本功能有：

（1）PA，将平方和与两数和互化； （2）AG，将和与积互化； （3）AH，将和与倒数和互化； （4）重要变形：abab2ab，其中a,b为正数。

2．学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．

3．均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；用均值不等式证明时，为达到目标可先宏观，后微观；均值不等式和不等式的基本性质的联合运用是证明不等式行之有效的方法。 **基础训练** 一、选择题

abab1．下面推导“abab”中所犯的错误是（ ） 222A.没有考虑等号成立的条件 B.没有考虑a,b的值应当非负的 C.没有考虑ab0而不能开方的情况 D.没有考虑ab0是可以开方的条件

2．若a>1,b>1则a+b,2ab,2ab,a2b2中最大的一个是（ ）

22A a+b, B 2ab, C 2ab, D ab

3．设a0,b0,则以下不等式中不恒成立的是（ ） ．．．．

A．(ab)()4 B．ab2ab C．ab22a2b D．|ab|4．如果正数a，b，c，d满足abcd4，那么（ ）

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221a1b332ab

Ａ．ab≤cd，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 Ｂ．ab≥cd，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 Ｃ．ab≤cd，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 Ｄ．ab≥cd，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

5．已知x,yR，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是（ ） A、MN 二、填空题

6． 比较大小：lg9lg11 1；

7．已知ba0，且ab1，将下列五个数ab,2ab,b,a,是 。

8．有一组数据：x1,x2,xn(x1x2xn)，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的xn，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的x1，余下数据的算术平均值为11。则

22B、MN C、M=N D、不能确定

1按从大到小顺序排列 2x1关于n的表达式为___________；xn关于n的表达式为___________。

三、解答题

9．证明：（1）若a,bR，则

baabab。

bccaababc。 abc11111110．（1）已知a,b,cR，求证：； 2a2b2cbccaab111（2）已知a , b , c∈R+, 且a+b+c=1, 求证: 9。

abc（2）已知a,b,cR，求证：

.四、能力提高

a2b2ab2ab11．若a、b是正数，则、ab、、这四个数的大小顺序是（ ）

22aba2b2a2b2ab2abab2abA.ab≤≤≤ B.≤ab≤≤

222ab2ab 4 / 7

a2b2a2b22ababab2abC.≤ab≤≤ D.ab≤≤≤

22ab22ab12．已知a,b,cR，abc1，求证：abc

3．4．1基本不等式

111。 abc2222例1．解：（1）S1ab，S22ab，由S1S2知，ab2ab，当且仅当ab时

等号成立；（2）见要点精讲。 例2.（1）因为a0，所以a112a2，当且仅当a1时等号成立； aa44a332a3a3（2）因为a3，所以a当且仅当a3a3437； a34，即a5时等号成立； a31yz2yz1……① xxx例3.（1）因为x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1，所以

1xy2xy1zx2zx……② 1……③ 1zzzyyy三式相乘得

111-1)(-1)(-1)>8。 xyz（2）证明：因为x0,y0，所以

xyxy， 211xy112xyxyxy 24244xyxyxyyx。

222例4．证明：（1）因为abcabbcca222221222abbcca0，得22证。或ab2ab，bc2bc，ca2ca，三式相加得证。

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（2）方法1：1abcabc2ab2bc2ca3abc2222222，

所以a2+b2+c2≥

11，当且仅当abc时等号成立； 3322方法2：因为2ab222ababab，所以

22211311122abcabc21cc2c，

222333当且仅当abc **参** 1~5 BDBAA；

21时等号成立； 31222xyx1y10； 21226．； 7．bab2aba；8．x12n1,xnn9。

25．提示：MN9．证明：（1）baa2b，b2a，相加得证。 ab（2）证明：

bccacaabbcab2c，2a，2b，相加得证。 abbcac114114，所以， ababab10．（1）因为ab同理，

114114，，相加得证。 bcbcacac111bacacb39。 abcabacbcab32ab4=，ab=2，=， 22ab3（2）提示：abc11．C；提示：方法1，特殊赋值，令a=1，b=2，则

a2b2145===2.5. 选C。 222方法2，严格证明，由恒等式abab2ab2222a2b2ab得≤；

22由

ab20，得ab≤

ab2ab，两边同乘ab得≤ab。选C。 2ab 6 / 7

12．证明1：因为a,b,cR，abc1，所以

1111122c，同理，2a，ababbc112b，相加得证； ca112证明2：bcca2abc2c，下同证法1。

ab

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