1.信号与系统概述

1.1 学习要求

1、掌握信号与系统的基本概念；

2、掌握典型的基本信号、信号的分类； 3、熟练掌握奇异函数的定义及其性质； 4、熟练掌握信号的基本运算与信号分解；

5、理解线性时不变系统的描述、特性及分析方法

1.2 学习重点

信号的概念； 信号的运算；

线性时不变系统的概念和性质； 冲激信号的物理意义以及性质。

1.3知识结构

信号的概念与表示信号的分类 信号 典型信号 信号的运算与分解 作用于 产生 系统的概念与描述 系统模型 系统 系统分类 系统的分析方法 信号与系统

1.4内容摘要

1.4.1信息信号和系统

信息是指存在于客观世界的一种事物形象，一般泛指消息、情报、指令、数据和信号等有关周围环境的知识。消息是指用来表达信息的某种客观对象，如电报中的电文、电话中的声音、电视中的图像和雷达探测的目标距离等等都是消息。信号，是指消息的表现形式，是带有信息的某种物理量，如电信号、光信号和声信号等等。信号代表着消息，消息中又含有信息，因此信号可以看作是信息的载体。

系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。系统是由各个不同单元按照一定的方式组成并完成某种任务的整体的总称。

1

1.4.2信号的分类与描述

1、确定性信号与随机信号

确定性信号是对于指定的某一时刻t，可确定相应的函数值f(t)与之对应（有限个不连续点除外）。 随机信号不能以明确的数学表示式表示，只能知道该信号的统计特性。 2、连续时间信号与离散时间信号

连续时间信号最明显的特点是自变量t在其定义域上除有限个间断点外，其余是连续可变的，简称连续信号。幅值和时间都是连续的信号，又称为模拟信号。

离散时间信号是指时间（其定义域为一个整数集）是离散的，只在某些不连续的时刻给出函数值，在其它时间没有定义的信号（或称序列），简称离散信号。时间与幅值都具有离散性的信号成为数字信号。

3、实信号与复信号

用物理方法可实现的信号都是时间的实函数，即在各时刻的函数值均为实数，统称为实信号。

复信号由实部和虚部组成，虽然在实际中不能产生复信号，但是为了便于理论分析，有时采用复信号来代表某些物理量。

4、周期信号与非周期信号

一个连续信号f(t)，若对所有t均有f(t)f(tmT),m0,1,2,，则称f(t)为连续周期信号，满足上式的最小T值称为f(t)的周期。

当T时，f(t)变为非周期信号。

5、能量信号与功率信号

能量为有限值的信号称为能量有限信号，简称能量信号。功率为有限值的信号称为功率有限信号，简称功率信号。有些信号既不属于能量信号，也不属于功率信号。

6、普通信号与奇异信号

本身包含不连续点,或者其导数与积分不存在不连续点的信号称为奇异信号。 7、一维信号与信号

一维信号是由一个自变量描述的信号，信号是由多个自变量描述的信号。 1.4.3 常用典型信号及其基本特性

1、正弦型信号

f(t)Acos(t)，式中，A、0和分别为正弦信号的振幅、角频率和初相位。正弦型信号是

周期信号，其周期T、频率f和角频率ω之间的关系为T2、指数信号

21。 ff(t)Aest，根据式中A和s在复数域内的不同取值，有以下三种情况：若Aa1和s均为实

常数，则f(t)为实指数信号；若A1，sj，则f(t)为虚指数信号；当A和s均为复数时，f(t)为复指数信号

3、矩形脉冲与三角脉冲

2

矩形脉冲：G(t)10t/2t/2

2t1三角脉冲：f(t)04、抽样信号

t/2t/2

Sa(t)sint为偶函数，当t时振荡衰减至0。当tnπ,n1,2,3，Sa(t)0。该函数的tsint。 t另一表示式是辛格函数，其表示式为sinc(t)5、种形脉冲信号（高斯信号）

f(t)Eet2，参数是当f(t)由最大值E下降为0.78E时所占据的时间宽度。

1.4.4 奇异信号及其基本特性

1、单位斜变信号

0t0 f(t)tt0

2、单位阶跃信号

0t000t0 或u(tt0) u(t)1t01t003、单位冲激信号

(t)dt1 ， 具有如下性质： (t)0 t0（1）抽样特性：

(t)f(t)dt(t)f(0)dtf(0)(t)dtf(0)

（2）偶函数性质：(t)(t) （3）尺度特性： (at)1(t) a（4）冲激函数和阶跃函数的关系：4、冲激偶函数

t()du(t)， 或

du(t)(t) dt'冲激函数的微分为具有正、负极性的一对冲激（其强度无穷大），称作冲激偶函数，并且以(t)表示。

3

1.4.5信号的基本运算及波形变换

1、相加：s(t)f1(t)f2(t) 2、相乘：p(t)f1(t)f2(t)

3、时移：f(t)f(t)，其中为常数。若0，则f(t)的波形沿时间轴向右移动，反之向左移动。

4、反褶：f(t)f(t)，将f(t)的波形绕纵坐标轴翻转180。

5、尺度变换：f(t)f(at)，a1时表示f(t)沿时间轴压缩成原来的1a倍；a1时表示f(t)沿时间轴扩展为原来的1a倍。

6、微分：y(t)7、积分：y(t)df(t)f'(t) dttf()df(1)(t)

8、对称：如果信号满足f(t)f(t)，则称此信号是偶对称；如果满足f(t)f(t)则称它是奇对称。

1.4.6信号的分解

1、 直流分量和交流分量

设原信号为f(t)，分解为直流分量fD与交流分量fA(t)，则原信号可表示为f(t)fDfA(t) 。 2、偶分量和奇分量

11f(t)fe(t)fo(t)，式中，fe(t)[f(t)f(t)]，fo(t)[f(t)f(t)]。

223、脉冲分量

一个信号可以近似地分解成冲激脉冲分量之和的形式：f(t)4、实部分量和虚部分量

**，jfi(t)1。 f(t)fr(t)jfi(t)，式中 fr(t)12[f(t)f(t)]2[f(t)f(t)]f()(t)d。

1.4.7 系统模型、特性及分类

1、系统模型

（1）输入-输出描述法：着眼于系统激励与响应之间的关系，并不关心系统内部变量的情况。通常，连续时间系统通常是用微分方程来描述的，而离散时间系统是用差分方程描述的。

（2）状态变量描述法：描述系统状态随时间变化的一组变量称为系统的状态变量。如果系统具有n个状态变量x1(t),x2(t),,xn(t)，则可将它们看成是矢量x(t)的各个分量，称x(t)为状态矢量，并记为

4

x1(t)x(t)x(t)2[x1(t),x2(t),,xn(t)]T

x(t)n状态变量描述法不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，便于多输入-多输出系

统的分析。

（3）框图表示系统模型

名称 加法器 框图符号 输入输出关系 y(t)x1(t)x2(t) 数乘器 乘法器 y(t)ax(t) y(t)x1(t)x2(t) 延时器 积分器 移位器 y(t)x(tT) y(t)x()dt ty(k)x(k1)

2、系统的分类

（1）连续时间系统与离散时间系统

若系统的输入和输出是连续时间信号，且其内部也未转换为离散时间信号，称改系统为连续时间

系统。若系统的输入、输出信号都是离散时间信号，且其内部也未转换为连续散时间信号，称改系统为离散时间系统。两者混合组成的系统称为混合系统。连续时间系统的数学模型是微分方程，而离散时间系统则用差分方程来描述。

（2）即时与动态系统

如果系统在任意时刻的响应仅决定于该时刻的激励，而与它过去的历史无关，则称之为即时系统(或无记忆系统)。全部由无记忆元件(如电阻)组成的系统是即时系统。如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史有关，则称之为记忆系统(或动态系统)。含有动态元件(如电容、电感)的系统是记忆系统。

（3）集总参数与分布参数系统

集总参数系统仅由集总参数元件(如R、L、C等)所组成。 含有分布参数元件的系统是分布参数系统（如传输线、波导等）。

（4）可逆和不可逆系统

5

如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同的输出，即输入与输出是一一对应的系统称为可逆系统。如果一个系统对两个或两个以上不同的输入输出能产生相同的输出，则系统是不可逆的，称为不可逆系统。

1.4.8线性时不变系统的性质

1、线性性质

具有叠加性与均匀性（也称齐次性）的系统称为线性系统。即，如果x1(t)y1(t),x2(t)y2(t) ，则{ax1(t)bx2(t)}ay1(t)by2(t)。线性系统还具有如下性质： （1）微分特性

dx(t)dy(t) dtdt（2）积分特性

t0x()dy()d。

0t（3）频率保持性

信号通过线性系统后不会产生新的频率分量。 2、时不变性

若x(t)y(t)，则有x(ttd)y(ttd)。 3、因果性

一个系统，如果激励在tt0时为零，相应的零状态响应在tt0时也恒为零，就称该系统具有因果性，并且称这样的系统为因果系统；否则，为非因果系统。 4、稳定性

如果一个系统对于每一个有界的输入，其输出都是有界的，则称该系统是稳定的。若其输出是无界的，则该系统是不稳定的。

1.4.9线性时不变系统的分析方法概述

时间域方法是直接分析时间变量的函数，研究系统的时间响应特性

变换域方法是将信号与系统模型的时间变量函数变换成相应变换域的某种变量函数。 综上所述，系统分析的过程是从实际物理问题抽象为数学模型，经数学解析后再回到物理实际的过程。

1.5典型例题

例1 下列各表示式正确的是（ ）。 (a) (2t)(t) (b) (2t)答案：（b）

分析：可以采用验证法。

11(t) (c)(2t)2(t) (d) 2(t)(2t) 22(2t)d(2t)1，得(2t)dtt1，所以答案b符合 2例2

4sin(6)d 。

6

答案：2u(t6)

分析：当t6t时(6)0，所以

(d)；当0时， 4sin66t4sin(6)d4sin(6)(6)d2(6)d2。所以，原式2u(t6)。

例3 计算解：

[et(t)t(t1)]dt

t[e(t)t(t1)]dte(t)dtt(t1)dt

t(t)dt(t1)dt2

例4 计算

4(t)sin(2t)dtt

sin(2t)sin(2t)4(t)dt8(t)dt8(t)dt8t2t解：

例5 积分

te2d等于（ ）

（a）(t) (b)u(t) (c)2u(t) (d)(t)u(t) 答案：（b）

分析：考查单位冲激函数与普通函数形成及其积分等性质。 例6 f(52t)是（ ）运算的结果。

(a) f(2t)右移5 (b)f(2t)左移5 (c) f(2t)右移答案：（c）

分析：考查对信号波形变换的理解。因为f(52t)f2t55 (d)f(2t)左移

2255f(2t)，所以是经过右移得22到。

例7 画出图1.5.1（a）所示信号f(t)的偶分量fe(t)与奇分量fo(t)。 解：f(t)的波形如图1.5.1（b）所示。根据

11fe(t)[f(t)f(t)]和fo(t)[f(t)f(t)]

22即可画出fe(t)和fo(t)的波形，如图1.5.1（c），（d）所示。

7

1 -1 f（t） f(t)1 t 11t （a） （b）

（c） （d）

图1.5.1

例8 判断下列系统的线性、时不变性及因果性，并说明理由。

（1）y(t)x(1t)； (2) y(t)sinx(t)u(t)。 解：（1）该系统为线性、时变、非因果系统。

因为ax1(t)bx2(t)ax1(1t)bx2(1t)ay1(t)by2(t)，所以该系统为线性系统。 因为x(t)x(1t)x(1t)y(t)，所以该系统为时变系统。

当t1时，y(1)x(0)，t1时刻的输出与t0时刻的输入有关，所以该系统为非因果系统。 （2）该系统为非线性、时变、因果系统。

因为ax1(t)bx2(t)sinax1(t)bx2(t)u(t)ay1(t)by2(t)，所以该系统为非线性系统。 因为x(t)sinx(t)u(t)sinx(t)u(t)y(t)，所以该系统为时变系统。 改系统为即时系统，所以为因果系统。

1.6习题全解

1.1已知信号波形如题图1.1所示，写出信号表达式。

(a) (b)

题图1.1

解：（a）f(t)tu(t)(t1)u(t1)

8

（b）f(t)(t1)(t2)(t3) 1.2已知信号的数学表达式，画出信号波形。 (1) f(t)etcos(2t)[u(t1)u(t2)]

(2) f(t)1tu(t1)u(t1) 2(3) f(t)sin[(tn)]u(tn)

n0(4) f(t)tu(t)u(tn)

n1(5) f(t)sgn[sin(t)] (6) f(t)[u(t)u(tT]sin(4t) Tt

解：（1）信号区间在[1，2]之间，振荡频率为2，周期为1，幅值按e趋势衰减，波形如题图1.2-1所示；

（2）信号区间在[-1，1]之间，在[-1，0]区间呈上升趋势，在[0，1]区间呈下降趋势，波形如题图1.2-2所示；

（3）信号为正弦信号经时移的叠加而成，由于每次时移间隔为半个周期，所以偶次时移与奇次时移的结果相抵消，结果如题图1.2-3 所示；

（4）将单位斜变信号tu(t)以阶梯状向下平移，结果如图1.2-4所示；

（5）在2nt2n1(n0,1,2,)时sin(t)0，在2n1t2n2(n0,1,2,)时sin(t)0，结果如图1.2-5 所示； （6）sin(4Tt)的周期为，结果如图1.2-6 所示； T2f(t) f(t)11/2t-101t

题图1.2-1 题图1.2-2

9

f(t)1f(t)...tf(t) 1...t

0 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 题图1.2-3 题图1.2-4

f(t)...1-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1...t0 T/8 3T/8 5T/8 7T/8 Tt

题图1.2-5 题图1.2-6

1.3分别求下列各周期信号的周期：

10t)cos(20t)； (2) e(1) cos((3)

nj5t

n(1)u(tnT)u(tnTT) (n为正整数，T为周期)

))T2k（k为整数）时，cost(10T，1所以当满足100(T解：（1）因为cos(1tcos(1t01T0)cost，即(1k=1时，T5/为cos(10t)的周期。同理，cos(20t)的周期为10/；

10t)cos(20t)的周期为10/。 所以cos(（2）因为e即ej5(tT)j5(tT)ej(5t5T)ej5tej5T，所以当满足5T2k（k为整数）时，ej5T1，

5为ej5tej5t，即k=1时，T2的周期

（3）根据表达式，可画出信号的波形如题图1.3所示。

...n(1)u(tnT)u(tnTT)n1...t

-4 T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T -1题图1.3

从图中可以看出周期为2T。

10

1.4求下列表示式的函数值（t0为常数） (1) (tt0)(t)dt； (2) 2sin(2t)(t)tdt (3) (ttt0)u(t03)dt； (4) (tsint)(t6)dt

(5)

ejt[(t)(tt0)]dt； (6) 22(1t)(cost)dt

(7) 已知f(t)2(t3)，求0f(52t)dt

解：（1）

t)dt(tt0)(t0(t)dtt0(t)dtt0

(2) sin(2t)2(t)tdtsin(2t)4(t)2tdt4(t)dt4 (3) t0t02t0(tt0)u(t3)dt(tt0)u(t03)dtu(3)(tt0)dtu(t0)(4)

(tsint)(t6)dt(6sin6)(t6)dt

(6sin6)1(t6)dt62 (5) jtte[(t)(ttj0)]dte(t)dtejt(tt0)dt1ejt0

(6)

222(1t)(cost)dt2(cost)dt22t(cost)dt

220(cost)dt2230(t2)(t2)dt4

上式中(cost)为偶函数，t(cost)为奇函数

(7)

0f(52t)dt02(52t3)dt02(22t)dt02(2(t1))dt1

1.5已知信号f(t)的波形如题图1.5所示，试画出下列各信号的波形 (1)f(2t3)； (2)f(2t)u(t)； (3)f(2t)u(2t)

题图1.5

解：（1）先将f(t)在横坐标轴上向右平衡3，再进行压缩，波形如图1.5-1所示； （2）过程及结果如图1.5-2所示；

（3）过程及结果如图1.5-3所示；

11

f(t-3)1241f(2t-3)t 0 1 2 t

题图1.5-1

f(t-2)1 0 1 3 f(-t-2)1f(-t-2)u(-t)1t -3 -1 0 t -3 -1 0 t

题图1.5-2

f(t)u(t)1 0 1 f(t+2)u(t+2)1f(-t+2)u(-t+2)1t -2 -1 0 t 0 1 2 t

题图1.5-3

1.6已知f(52t)的波形如题图1.6所示,试画出f(t)的波形。

题图1.6

解：本题有两种求解方式：

解法一：（1）将信号以纵坐标为轴翻褶，得f(2t5)波形; （2）将f(2t5)的波形在横坐标上扩伸2倍，得f(t5)波形;

（3）将f(t5)的波形向右移动5，得f(t)的波形;过程如题图1.6-1所示。

12

f(2t+5)f(t+5)f(t) -3 -2 -1 0t -6 -4 -2 0t -1 0 1 2 3 t

图1.6-1

解法二：（1）将信号以波形向右移动5/2，得f(2t)波形； （2）将f(2t)波形的在横坐标上扩伸2倍，得f(t)波形；

（3）将f(t)的波形以纵坐标为轴翻褶，得f(t)的波形；过程如题图1.6-2所示。

f(-2t)f(-t)f(t)-1.5 0 0.5t-3 -1 0 1t -1 0 1 2 3 t

图1.6-2

1.7求下列函数的微分和积分

（1）f1(t)(t)cos3t；（2）f2(t)u(t)sin2t；（3）f3(t)e2t(t) 解：（1）

tttf1()d()cos3d()du(t)；

因为f1(t)(t)cos3t(t)，所以f1(t)(t)。 （2）

ttf2()du()sin2dtsin2du10(t)2(1cos2t)u(t) f2(t)(t)sin2t2u(t)cos2t2u(t)cos2t

（3）

tt2f3()de()dt()du(t)

因为f3(t)e2t(t)(t)，所以f2(t)(t)

1.8试证明: (at)1a(t)。 分析：用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明，分a>0 、a<0两种情况。 证明：a0,令at，则

(at)f(t)dt f1adaaf(0)； 13

a0,令at，则

(at)f(t)dt( )f11daa

111( )fd f(0)aaa综上所述，(at)1(t) a1.9粗略画出题图1.7所示各波形的奇、偶分量。

题图1.9

解：根据信号的奇、偶分量的定义，先求出f(t)，然后根据fe(t)1[f(t)f(t)]和21fo(t)[f(t)f(t)]，分别求奇、偶分量。分别如题图1.9-1和1.9-2. f(t)

2

图1.9-1

14

图1.9-2

1.10试证明因果信号f(t)的奇分量fo(t)和偶分量fe(t)之间存在如下关系式：

fo(t)fe(t)sgn(t)

证明：f(t)为因果信号，则有f(t)f(t)u(t)，其奇、偶分量分别为

fo(t)11f(t)f(t)f(t)u(t)f(t)u(t) 221fe(t)f(t)u(t)f(t)u(t)

2所以

fe(t)sgn(t)1f(t)u(t)f(t)u(t)sgn(t)21f(t)u(t)sgn(t)f(t)u(t)sgn(t) 21f(t)u(t)f(t)u(t)2fo(t)1.11分别求出下列各波形的直流分量： （1）全波整流f(t)sin(t);

（2）升余弦函数f(t)K[1cost)]。

解：求解信号波形的直流分量，即为求解信号的平均值，对于周期信号，只需求一个周期内的平均值即可。

（1）sint的周期为

12，所以其直流分量为： 215

1T1fDftdtsintdtcostT000

1112

（2）因为cost在一个周期内均值为0，所以fDK 1.12画出下列系统的框图 (1) 2dy(t)dx(t)5y(t)3x(t) dtdtd2y(t)dy(t)dx(t)42y(t)x(t) (2) 2dtdtdt解：（1）系统方程两边同除以2，得

dy(t)531dx(t)y(t)x(t) dt222dt1/2x(t)Σf'(t)∫f(t)3/2Σy(t)

5/2图1.12-1

（2）

x(t)Σf''(t)∫f'(t)∫f(t)Σy(t)42

图1.12-2

1.13判断下列系统是否具有线性、时不变的和因果性：

(1) y(t)cos[x(t)]u(t)； (2) y(t)[x(t)cost]u(t)；

dx(t)2； (4) y(t)x(t)； dt5t1(5) y(t)x()d (6) y(t)x(t)x(t2)；

3(3) y(t)(7) y(t)x(t)； (8) y(t)x(t)n(tnT)

解： （1）设y1(t)Tx1(t)cos[x1(t)]u(t)，y2(t)Tx2(t)cos[x2(t)]u(t)，那么

Tax1(t)bx2(t)cos[ax1(t)bx2(t)]u(t)

16

ay1(t)by2(t){cos[ax1(t)]cos[bx2(t)]}u(t)

因为ay1(t)by2(t)T[ax1(t)bx2(t)]，所以系统为非线性系统；

Tx(t)cos[x(t)]u(t)，y(t)cos[x(t)]u(t)，因为y(t)T[x(t)]，所

以系统为时变系统；

由于任意时刻的输出只与时刻的输入有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。 所以，该系统是非线性、时变、因果系统。

（2）设y1(t)Tx1(t)x1(t)costu(t)，y2(t)Tx2(t)x2(t)costu(t)，那么

Tax1(t)bx2(t)[ax1(t)bx2(t)]costu(t) ay1(t)by2(t)[ax1(t)bx2(t)]costu(t)

因为ay1(t)by2(t)T[ax1(t)bx2(t)]，所以系统为线性系统。

Tx(t)x(t)costu(t)，y(t)x(t)cos(t)u(t)，因为y(t)T[x(t)]，

所以系统为时变系统。

由于任意时刻的输出只与时刻的输入有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。 所以，该系统是线性、时变、因果系统。

（3）设y1(t)Tx1(t)dx1(t)dx(t)，y2(t)Tx2(t)2，那么 dtdtdx(t)dx(t)dTax1(t)bx2(t)[ax1(t)bx2(t)]a1b2

dtdtdtdx(t)dx(t)ay1(t)by2(t)a1b2

dtdt因为ay1(t)by2(t)T[ax1(t)bx2(t)]，所以系统为线性系统。

Tx(t)dx(t)dx(t)dx(t)，y(t)，因为y(t)T[x(t)]，所以系统

dtd(t)dt为时不变系统。

由于任意时刻的输出只与时刻的输入的微分有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。

所以，该系统是线性、时不变、因果系统。

(4) 设y1(t)Tx1(t)x1(t)，y2(t)Tx2(t)x2(t)，那么

222Tax1(t)bx2(t)[ax1(t)bx2(t)]2a2x12(t)b2x2(t)2abx1(t)x2(t)

2ay1(t)by2(t)ax12(t)bx2(t)

因为ay1(t)by2(t)T[ax1(t)bx2(t)]，所以系统为非线性系统。

17

因为y(t)T[x(t)]，所以系统为时不变系统。 Tx(t)x2(t)，y(t)x2(t)，

由于任意时刻的输出只与时刻输入的平方有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果

系统。

所以，该系统是非线性、时不变、因果系统。

(5) 设y1(t)Tx1(t)5tx1()d，y2(t)Tx2(t)x2()d，那么

5tTax1(t)bx2(t)[ax1()bx2()]d

5tay1(t)by2(t)ax1()dbx2()d[ax1()bx2()]d

5t5t5t因为ay1(t)by2(t)T[ax1(t)bx2(t)]，所以系统为线性系统。

Tx(tt0)x(t0)d5t5tt0x()d，

y(tt0)5(tt0)x()d，因为

y(tt0)T[x(tt0)]，所以系统为时变系统。

当t0时，y(t)5tx()d，5tt，说明系统在t的输出与t时刻以后的输入有关，所以系统

为非因果系统。

所以，该系统是线性、时变、非因果系统。

(6) 设y1(t)Tx1(t)11x1(t)x1(t2)，y2(t)Tx2(t)x2(t)x2(t2)，那么 3311Tax1(t)bx2(t)ax1(t)ax1(t2)bx2(t)bx2(t2)

3311ay1(t)by2(t)a[x1(t)x1(t2)]b[x2(t)x2(t2)]

33因为ay1(t)by2(t)T[ax1(t)bx2(t)]，所以系统为线性系统。

Tx(tt0)1x(tt0)x(t2t0)3，

y(tt0)1x(tt0)x(tt02)3，因为

y(tt0)T[x(tt0)]，所以系统为时不变系统。

因为系统在的输出与时刻和2时刻的输入有关，所以系统为非因果系统。 所以，该系统是线性、时不变、非因果系统。

(7) 设y1(t)Tx1(t)x1(t)，y2(t)Tx2(t)x2(t)，那么

Tax1(t)bx2(t)ax1(t)bx2(t) ay1(t)by2(t)ax1(t)bx2(t)

因为ay1(t)by2(t)T[ax1(t)bx2(t)]，所以系统为非线性系统。

Tx(tt0)x(tt0)，y(tt0)x(tt0)，因为y(tt0)T[x(tt0)]，所以系统为时不变系

18

统。

系统在的输出只与时刻的输入有关，与时刻以后的输入无关，所以系统为因果系统。 所以，该系统是非线性、时不变、因果系统。

(8) 设y1(t)Tx1(t)x1(t)n(tnT)，y(t)Tx(t)x(t)(tnT)，那么

222nTax1(t)bx2(t)[ax1(t)bx2(t)](tnT)

nay1(t)by2(t)ax1(t)(tnT)bx2(t)(tnT)

nn因为饿ay1(t)by2(t)T[ax1(t)bx2(t)]，所以系统为线性系统。

Tx(tt0)x(tt0)(tnT)n，

y(tt0)x(tt0)(tt0nT)n，因为

y(tt0)T[x(tt0)]，所以系统为时变系统。

系统在的输出只与时刻的输入有关，与时刻以后的输入无关，所以系统为因果系统。 所以，该系统是线性、时变、因果系统。

1.14 将以下信号分类为功率信号、能量信号，或者两者都不是。在可能的情况下，求出信号的功率和能量。

(1) teu(t)； (2) e[u(t)u(t1)]； (3) 2tettt； (4) 10esin(t)u(t)；

t(5) sinc(t)u(t)； (6) sintsin(2t)。 解：(1) E0(tet)2dtt2e2tdt12ttde20122t12t22ttdeedtetd 000022111e2tdte2t

02044所以为能量有限信号，信号的能量为1/4。

(2) 该信号为有限区间信号，所以为能量信号。

Eedte01tt10e1

(3) E(4) E2t2e2tdt4t2e2tdt，根据题（1）的求解可得，E=1,所以信号为能量有限信号。

00100e2tsintdt100e2t021cos2tdt 225e2t050e2tcos2tdt0

2525etcostdt0 19

采用分布积分可得

0etcostdt21，所以E25/2，信号为能量有限信号。 222sintsint(5) Edt0dt，所以信号为能量有限信号。 tt(6) Esintsin(2t)dt，所以不是能量有限信号。

21T1T2Plimsintsin(2t)dtlimsin2tsin2(2t)2sintsin(2t)dtT2TTT2TT1T21T21T limsintdtlimsin(2t)dtlim2sintsin(2t)dtT2TTT2TTT2TT110122所以该信号为功率有限信号，功率为1。

1.15判断下列系统是否是可逆的。若可逆，则给出它的可逆系统；若不可逆，指出使系统产生相同输出的两个输入信号。

（1）y(t)x(t3)； （2）y(t)（3）y(t)dx(t)； dttx()d； （4）y(t)x(5t)。

解：对不同的激励信号能产生不同响应的系统是可逆的。 （1）该系统可逆，其逆系统为y(t)x(t3)

（2）当激励信号为常数时，输出均为0。即不同的激励产生相同响应，所以系统不可逆。

dxt dtt（4）该系统可逆，y(t)x()

5（3）该系统可逆，y(t)1.16 有一线性时不变系统,初始时刻系统无储能，当激励为u(t)时，响应为

g(t)etcostu(t)cost[u(t)u(t2)]

试求当激励为(t)时，系统的响应h(t)。

解：因为

(t)所以

du(t) dth(t)dg(t)dt{ecostu(t)cost[u(t)u(t2)]} dtdtet(costsint)u(t)(t)sint[u(t)u(t2)](t)(t2)

20