四川省达州市2017年中考数学真题试题(含解析)

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．﹣2的倒数是（ ） A．2

B．﹣2 C．

D．﹣

【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 【解答】解：∵﹣2×（∴﹣2的倒数是﹣． 故选D．

【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．

2．如图，几何体是由3个完全一样的正方体组成，它的左视图是（ ）

）=1，

A． B． C． D．

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【解答】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形， 故选：B．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．

3．下列计算正确的是（ ） A．2a+3b=5ab

B．

C．ab÷2ab=a D．2a与3b不是同类项，故A不正确；

3

2

（B）原式=6，故B不正确； （D）原式=8a3b6，故D不正确； 故选（C）

【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

4．已知直线a∥b，一块含30°角的直角三角尺如图放置．若∠1=25°，则∠2等于（ ）

A．50° B．55° C．60° D．65°

【分析】由三角形的外角性质求出∠3=55°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数． 【解答】解：如图所示：

由三角形的外角性质得：∠3=∠1+30°=55°， ∵a∥b， ∴∠2=∠3=55°； 故选：B．

【点评】该题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质；牢固掌握平行线的性质是解决问题的关键．

5．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5cm．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/cm，根据题意列方程，正确的是（ ）

3

3

A． B．

C． D．

【分析】利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5cm3，进而得出等式即可．

【解答】解：设去年居民用水价格为x元/cm3，根据题意列方程：

﹣

故选：A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．

6．下列命题是真命题的是（ ）

A．若一组数据是1，2，3，4，5，则它的方差是3 B．若分式方程

有增根，则它的增根是1

=5，

C．对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形 D．若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等

【分析】利用方差的定义、分式方程的增根、菱形的判定及平行的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、若一组数据是1，2，3，4，5，则它的中位数是3，故错误，是假命题； B、若分式方程

有增根，则它的增根是1或﹣1，故错误，是假命题；

C、对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形，正确，是真命题；D、若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等或互补，故错误，是假命题， 故选C．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解方差的定义、分式方程的增根、

菱形的判定及平行的性质等知识，难度不大．

7．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积． 【解答】解：如图1，

∵OC=2，

∴OD=2×sin30°=1； 如图2，

∵OB=2， ∴OE=2×sin45°=如图3，

；

∵OA=2， ∴OD=2×cos30°=

，

，

，

则该三角形的三边分别为：1，∵（1）2+（

）2=（

）2，

∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形的面积是：×1×故选：A．

【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．

8．已知二次函数y=ax+bx+c的图象如下，则一次函数y=ax﹣2b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）

2

=．

A． B． C． D．

【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知a＜0，再由函数图象经过y轴正半可知c＞0，利用排除法即可得出正确答案．

【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下可知a＜0，对称轴位于y轴左侧，a、b异号，即b＞0．图象经过y轴正半可知c＞0，

由a＜0，b＞0可知，直线y=ax﹣2b经过一、二、四象限， 由c＞0可知，反比例函数y=的图象经过第一、三象限， 故选：C．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．

9．如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）

A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π

【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【解答】解：∵AB=4，BC=3， ∴AC=BD=5，

转动一次A的路线长是：转动第二次的路线长是：转动第三次的路线长是：转动第四次的路线长是：0， 以此类推，每四次循环，

=2π， =π， =π，

故顶点A转动四次经过的路线长为：π+π+2π=6π， ∵2017÷4=504…1，

∴顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504+2π=3026π， 故选D．

【点评】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．

10．已知函数y=的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y

轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：

①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2； ②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形； ③无论点P在什么位置，始终有S△AOB=7.5，AP=4BP； ④当点P移动到使∠AOB=90°时，点A的坐标为（2其中正确的结论个数为（ ）

，﹣

）．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】①错误．因为x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，所以y1＞y2； ②正确．求出A、B两点坐标即可解决问题； ③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣PA=4PB，SAOB=S△OPB+S△OPA=+

，m），可得PB=﹣，PA=﹣，推出

=7.5；

④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣

2

，m），推出PB=﹣，PA=﹣，OP=﹣

m，由△OPB∽△APO，可得OP=PBPA，列出方程即可解决问题； 【解答】解：①错误．∵x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小， ∴y1＞y2，故①错误． ②正确．∵P（0，﹣3）， ∴B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3）， ∴AB=5，OA=∴AB=AO，

∴△AOB是等腰三角形，故②正确．

③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣∴PB=﹣，PA=﹣∴PA=4PB， ∵SAOB=S△OPB+S△OPA=+

=7.5，故③正确．

，m），

，

，m），

=5，

④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣∴PB=﹣，PA=﹣

，OP=﹣m，

∵∠AOB=90°，∠OPB=∠OPA=90°， ∴∠BOP+∠AOP=90°，∠AOP+∠OPA=90°， ∴∠BOP=∠OAP， ∴△OPB∽△APO， ∴

2

=，

∴OP=PBPA， ∴m2=﹣（﹣∴m4=36， ∵m＜0，

），

∴m=﹣∴A（2

， ，﹣

），故④正确．

∴②③④正确， 故选C．

【点评】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）

11．达州市莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为7.92×10平方米．则原数为 7920000 平方米．

【分析】根据科学记数法，可得答案．

【解答】解：7.92×10平方米．则原数为7920000平方米， 故答案为：7920000．

【点评】本题考查了科学记数法，n是几小数点向右移动几位．

12．因式分解：2a3﹣8ab2= 2a（a+2b）（a﹣2b） ．

【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用平方差公式继续分解． 【解答】解：2a﹣8ab =2a（a﹣4b）

2

2

3

26

6

=2a（a+2b）（a﹣2b）．

故答案为：2a（a+2b）（a﹣2b）．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

13．从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y=图象上的概率是

．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（m，n）恰好在反比例函数y=图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数y=图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1）， ∴点（m，n）在函数y=图象上的概率是：故答案为：．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14．△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是 1＜m＜4 ．

【分析】作辅助线，构建△AEC，根据三角形三边关系得：EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，所以1＜m＜4．

=．

【解答】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD，

在△ADB和△EDC中， ∵

，

∴△ADB≌△EDC， ∴EC=AB=5，

在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC， 即5﹣3＜2m＜5+3， ∴1＜m＜4， 故答案为：1＜m＜4．

【点评】本题考查了三角形三边关系、三角形全等的性质和判定，属于基础题，辅助线的作法是关键．

15．甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所

表示的函数关系式为 y=4.5x﹣90（20≤x≤36） ．（并写出自变量取值范围）

【分析】图中线段DE所表示的函数关系式，实际上表示甲乙两人相遇后的路程之和与时间的关系．

【解答】解：观察图象可知，乙的速度=相遇时间=

=20，

=2cm/s，

∴图中线段DE所表示的函数关系式：y=（2.5+2）（x﹣20）=4.5x﹣90（20≤x≤36）． 故答案为y=4.5x﹣90（20≤x≤36）．

【点评】本题考查一次函数的应用、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

16．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=3

，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=CE；④S阴影=

．其

中正确结论的序号是 ①②④ ．

【分析】①易求得DF长度，即可判定；

②连接OP，易证OP∥CD，根据平行线性质即可判定； ③易证AE=2EF，EF=2EC即可判定；

④连接OG，作OH⊥FG，易证△OFG为等边△，即可求得S阴影即可解题； 【解答】解：①∵AF是AB翻折而来，∴AF=AB=6， ∵AD=BC=3

，∴DF=

=3，

∴F是CD中点；∴①正确； ②连接OP，

∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD， ∵AD⊥DC，∴OP∥CD， ∴

=

，

，解得：x=2，∴②正确；

设OP=OF=x，则=

③∵RT△ADF中，AF=6，DF=3， ∴∠DAF=30°，∠AFD=60°， ∴∠EAF=∠EAB=30°， ∴AE=2EF； ∵∠AFE=90°，

∴∠EFC=90°﹣∠AFD=30°， ∴EF=2EC，

∴AE=4CE，∴③错误； ④连接OG，作OH⊥FG，

∵∠AFD=60°，OF=OG，∴△OFG为等边△；同理△OPG为等边△； ∴∠POG=∠FOG=60°，OH=

OG=

，S扇形OPG=S扇形OGF，

∴S阴影=（S矩形OPDH﹣S扇形OPG﹣S△OGH）+（S扇形OGF﹣S△OFG） =S矩形OPDH﹣S△OFG=2×故答案为①②④．

【点评】本题考查了矩形面积的计算，正三角形的性质，平行线平分线段的性质，勾股定理的运用，本题中熟练运用上述考点是解题的关键．

三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．计算：2017﹣|1﹣

0

﹣（×2×）=．∴④正确；

|+（）+2cos45°．

﹣1

【分析】首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：20170﹣|1﹣=1﹣=5﹣=5

【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

|+（）﹣1+2cos45°

+1+3+2×+

18．国家规定，中、小学生每天在校体育活动时间不低于1h．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图如图所示，其中A组为t＜0.5h，B组为0.5h≤t＜1h，C组为1h≤t＜1.5h，D组为t≥1.5h．

请根据上述信息解答下列问题：

（1）本次调查数据的众数落在 B 组内，中位数落在 C 组内；

（2）该辖区约有18000名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间的人数．

【分析】（1）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得答案； （2）首先计算样本中达到国家规定体育活动时间的频率，再进一步估计总体达到国家规定体育活动时间的人数．

【解答】解：（1）众数在B组．

根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得其均在C组，故本次调查数据的中位数落在C组． 故答案是：B，C；

（2）达国家规定体育活动时间的人数约1800×答：达国家规定体育活动时间的人约有960人．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

=960（人）．

19．设A=（1）化简A；

÷（a﹣）．

（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；… 解关于x的不等式：来．

【分析】（1）根据分式的除法和减法可以解答本题；

（2）根据（1）中的结果可以解答题目中的不等式并在数轴上表示出不等式的解集． 【解答】解：（1）A======

（2）∵a=3时，f（3）=a=4时，f（4）=a=5时，f（5）=… ∴即∴

﹣﹣﹣

≤f（3）+f（4）+…+f（11）， ≤≤

﹣≤f（3）+f（4）+…+f（11），并将解集在数轴上表示出

÷（a﹣

）

；

，

， ，

++…++…+

，

∴∴

﹣﹣

≤≤，

，

解得，x≤4，

∴原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下所示，

．

【点评】本题考查分式的混合运算、在数轴表示不等式的解集、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法和解不等式的方法．

20．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F． （1）若CE=8，CF=6，求OC的长；

（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案； （2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．

【解答】（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF， ∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF， ∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，

∴OE=OC，OF=OC， ∴OE=OF；

∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°， ∴∠ECF=90°，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF=∴OC=OE=EF=5；

（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： 连接AE、AF，如图所示： 当O为AC的中点时，AO=CO， ∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF=90°，

∴平行四边形AECF是矩形．

=10，

【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．

21．如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）

米，落在警示牌上的

【分析】如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．分别在Rt△EQN、Rt△PFM中解直角三角形即可解决问题．

【解答】解：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．

在Rt△QEN中，设EN=x，则EQ=2x， ∵QN2=EN2+QE2， ∴20=5x2， ∵x＞0， ∴x=2，

∴EN=2，EQ=MF=4， ∵MN=3， ∴FQ=EM=1，

在Rt△PFM中，PF=FMtan60°=4∴PQ=PF+FQ=4

+1．

，

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

22．（8分）宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：

y=．

（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？

（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？

【分析】（1）根据y=70求得x即可；

（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可． 【解答】解：（1）根据题意，得： ∵若7.5x=70，得：x=∴5x+10=70， 解得：x=12，

答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；

（2）由函数图象知，当0≤x≤4时，P=40， 当4＜x≤14时，设P=kx+b， 将（4，40）、（14，50）代入，得：解得：∴P=x+36；

①当0≤x≤4时，W=（60﹣40）7.5x=150x， ∵W随x的增大而增大，

，

，

＞4，不符合题意；

∴当x=4时，W最大=600元；

②当4＜x≤14时，W=（60﹣x﹣36）（5x+10）=﹣5x2+110x+240=﹣5（x﹣11）2+845， ∴当x=11时，W最大=845， ∵845＞600，

∴当x=11时，W取得最大值，845元，

答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．

【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，记住利润=出厂价﹣成本，学会利用函数的性质解决最值问题．

23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD． （1）求证：PQ是⊙O的切线； （2）求证：BD2=ACBQ；

（3）若AC、BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根，且tan∠PCD=，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，

根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（3）根据题意得到ACBQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE=3DE，根据勾股定理得

到BE=，设OB=OD=R，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵PQ∥AB， ∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD， ∵∠ACD=∠BCD， ∴∠BDQ=∠ACD，

如图1，连接OB，OD，交AB于E， 则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ， 在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°， ∴2∠ODB+2∠O=180°， ∴∠ODB+∠O=90°， ∴PQ是⊙O的切线；

（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线， ∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD， ∴AD=BD， ∵∠DBQ=∠ACD， ∴△BDQ∽△ACD， ∴

2

=，

∴BD=ACBQ；

（3）解：方程x+=m可化为x﹣mx+4=0， ∵AC、BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根， ∴ACBQ=4，由（2）得BD2=ACBQ， ∴BD=4， ∴BD=2，

2

2

由（1）知PQ是⊙O的切线， ∴OD⊥PQ， ∵PQ∥AB，

∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD， ∵tan∠PCD=， ∴tan∠ABD=， ∴BE=3DE，

∴DE2+（3DE）2=BD2=4， ∴DE=∴BE=

， ，

设OB=OD=R， ∴OE=R﹣

2

2

2

，

∵OB=OE+BE， ∴R2=（R﹣解得：R=2

）2+（，

．

）2，

∴⊙O的半径为2

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．

24．（11分）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=

他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公

式：x=，y=．

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；

运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为

；

②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标： （﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3） ；

拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．

【分析】（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；

（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中

心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；

（3）设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，则可知OR=OS=2，利用两点间距离公式可求得R的坐标，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点S，此时EP=EM，FP=FN，此时满足△PEF的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值． 【解答】解：

（1）∵P1（x1，y1），P2（x2，y2）， ∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1， ∴Q1Q=

，

=

，

∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+

∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线， ∴PQ=

=

，

即线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式为x=（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5）， ∴MN=故答案为：

；

=

，

，y=；

②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），

∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1）， 设D（x，y），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3， ∴此时D点坐标为（﹣3，3），

当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1）， 当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3）， 综上可知D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），

故答案为：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；

（3）如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，

又对称性可知EP=EM，FP=FN， ∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，

∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小， 设R（x， x），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n， ∴

=2，解得x=﹣（舍去）或x=，

∴R（，）， ∴

∴P（2，1）， ∴N（2，﹣1）， 设M（x，y），则∴M（，∴MN=

即△PEF的周长的最小值为

），

=．

，

=，

=，解得x=，y=

，

=n，解得n=1，

【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及中位线定理、中点坐标公式、两点间距离公式、轴对称的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质等知识．在（1）中求得OQ和PQ的长是解题的关键，在（2）中注意中点坐标公式的应用，在（3）中确定出E、F的位置，求得

P点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．

25．（12分）如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．

（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？ ②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；

（2）当点C运动到使AC2=AEAD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值． 【分析】（1）①利用等边三角形的性质证明△OBC≌△ABD； ②证明∠OBA=∠BAD=60°，可得OB∥AD；

（2）首先证明DE⊥BC，再求直线AE与抛物线的交点就是点P，所以分别求直线AE和抛物线y1的解析式组成方程组，求解即可；

（3）先画出如图3，根据图形画出直线与图形M有个公共点时，两个边界的直线，上方到y=

x，将y=

x向下平移即可满足l与图形M有3个公共点，一直到直线l与y2相切为

x+

m

止，主要计算相切时，列方程组，确定△≥0时，m的值即可． 【解答】解：（1）①△OBC与△ABD全等， 理由是：如图1，∵△OAB和△BCD是等边三角形，

∴∠OBA=∠CBD=60°， OB=AB，BC=BD，

∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC， 即∠OBC=∠ABD， ∴△OBC≌△ABD（SAS）； ②∵△OBC≌△ABD， ∴∠BAD=∠BOC=60°， ∴∠OBA=∠BAD， ∴OB∥AD，

∴无论点C如何移动，AD始终与OB平行；

（2）如图2，∵AC2=AEAD， ∴

，

∵∠EAC=∠DAC， ∴△AEC∽△ACD， ∴∠ECA=∠ADC， ∵∠BAD=∠BAO=60°， ∴∠DAC=60°， ∵∠BED=∠AEC， ∴∠ACB=∠ADB， ∴∠ADB=∠ADC， ∵BD=CD， ∴DE⊥BC，

Rt△ABE中，∠BAE=60°， ∴∠ABE=30°， ∴AE=AB=×2=1，

Rt△AEC中，∠EAC=60°， ∴∠ECA=30°， ∴AC=2AE=2， ∴C（4，0），

等边△OAB中，过B作BH⊥x轴于H， ∴BH=∴B（1，

=），

，

设y1的解析式为：y=ax（x﹣4）， 把B（1，a=﹣

，

x（x﹣4）=﹣

x2+

x，

）代入得：

=a（1﹣4），

∴设y1的解析式为：y1=﹣过E作EG⊥x轴于G， Rt△AGE中，AE=1， ∴AG=AE=， EG=∴E（，

=），

，

设直线AE的解析式为：y=kx+b， 把A（2，0）和E（，

）代入得：

，

解得：，

x﹣2

，

∴直线AE的解析式为：y=则

，

解得：∴P（3，

（3）如图3， y1=﹣

x+

2

，

）或（﹣2，﹣4

， ）；

x=﹣），

（x﹣2）+

2

，

顶点（2，

∴抛物线y2的顶点为（2，﹣∴y2=

（x﹣2）2﹣

，

），

当m=0时，y=x与图形M两公共点，

当y2与l相切时，即有一个公共点，l与图形M有3个公共点， 则

，

=

x2﹣7x﹣3m=0，

﹣，

△=（﹣7）2﹣4×1×（﹣3m）≥0， m≥﹣

，

≤m＜0．

∴当l与M的公共点为3个时，m的取值是：﹣

【点评】本题是二次函数与三角形的综合题，考查了等边三角形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、平行线的判定、两函数的交点问题、翻折变换、利用待定系数法求函数的解析式等知识，比较复杂，计算量大，尤其是第三问，利用数形结合的思想有助于理解题意，解决问题．