(完整word版)《泛函分析》期末试题

《 泛函分析》期末试题 1（20分） 证明非线性积分方程 x(t)K(t,s,x(s))dsy(t),t[a,b] ab 在足够小时有唯一连续解。这里y(t)C[a,b],K:[a,b][a,b]RR 连续并且满足 K(t,s,1)K(t,s,2)L12,t,s[a,b]. 2 (15分) 设X,Y是线性赋范空间，T:XY是线性算子, 则T不是有界的当且仅当 存在xnX,xn0使得Txn. 3 （15分） 设X是Banach空间，An,AB(X),则AnxAx,xX当且仅当{An 有界并且存在子集合G使得 spanGX，在G上AnxAx. 4 （15分） 对于内积空间H中的规范正交集{e1,,en}和H中的x，证明函数 f(1,,n)xiei 当且仅当i(x,ei)（i1,,n)时达到 i1n 极小值。 5 （15分） 设H是Hilbet空间，{en,n1}是其中的规范正交系。证明级数 H的范数收敛等价于弱收敛。 6 （20分） 设1p,xn(xni)lp(n1), 并且范数有界， 则当 i1,xnixi(n)时, 存在{xn}的凸组合的序列{yn}依范数收敛于 x(xi).

n1nne按