单选题（共5道）
1、若一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大小()
A相等 B互补 C相等或互补 D无法确定
2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）
AA1C1⊥AD BD1C1⊥AB
CAC1与DC成45°角 DA1C1与B1C成60°角
3、已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A16 B24或 C14 D20
4、
一个几何体的三视图如图所示，已知该几何体是
一个正方体的一部分，则该几何体的体积是（ ）
A B C2 D
5、（2015秋•衡阳校级期末）已知空间两条不同的直线m、n和两个不同的平面α、β，则下列命题正确的是（ ）
A若m∥α，n⊂α，则m∥n B若m∥α，n∥α，则m∥n
C若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n D若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α
简答题（共5道）
6、(本小题满分12分) 如图，点
为圆柱形木块底面的圆心，
和母线.
的半径（用表示）；
是底面圆的一条弦，优弧
的，
长为底面圆的周长的.过已知四边形
（Ⅰ）设
的周长为，求⊙
的平面将木块剖开，得到截面
（Ⅱ）求这个圆柱形木块剩下部分(如图一)侧面积的最大值. （剩下部分几何体的侧面积=圆柱侧面余下部分的面积+四 边形
的面积）
7、（本小题满分14分）
如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别 为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将 △AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、 C两点重合于点P得一个三棱锥如图②示. （1）求证：（2）求三棱锥
;
的体积；
（3）求DE与平面PDF所成角的正弦值.
8、
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD
为正方形，PA=AB=2，M，N分别为PA，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值．
9、（本小题满分12）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点
（Ⅰ）求证：AC⊥BC1； （Ⅱ）求二面角
的平面角的正切值．
，
10、（1）求与椭圆+=1共焦点的抛物线的标准方程．
（2）已知两圆C1：(x+4)2+y2=2，C2：(x-4)2+y2=2，动圆M与两圆一个内切，一个外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
填空题（共5道）
11、若球的表面积为
，则该球的体积等于。
12、一个长方体共一顶点的三个面对角线长分别是为
，则的取值范围
13、如图，已知等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C-AB-D的余弦值为
，M是AC的中点，则EM，DE所成角的余弦值等于______．
14、如图，过点作垂直于轴的垂线交曲线轴的平行线交轴于点，记点关于直线推．若数列
的各项分别为点列
于点，又过点作
的对称点为；……；依此类的横坐标，且
，则
．
15、正三棱锥P－ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是
-------------------------------------
1-答案：D
2-答案：D
3-答案：B
4-答案：tc
解：由三视图可以看出，该几何体是由从正方体
中先割出一个小的三棱锥后，再从该三棱锥中割去一个小三棱锥，如图：所求的几何体是由如图所示的边长为2的正方体中，从三棱锥A-BCD中去掉三棱锥F-BCD后剩余的几何体（注意F是AD的中点），∴所求的体积为VA-BCD-VF-BCD=××22×2
=．故选：D．
5-答案：tc
解：对于A，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故不正确；对于B，若m∥α，n∥αn∥α，则m，n相交或平行、异面，故B不正确；对于C，根据线面平行的性质，可得正确；对于D，利用线面垂直的判定，可得不正确．故选：D．
-------------------------------------
1-答案：解：（Ⅰ）∵优弧等腰直角三角形∴⊙
的半径
的长为底面周长为∴∠AOD=90o∴△AOD为
为矩形∵四边形
的周长为
（Ⅱ）依题意得，四边形
40∴AB=20-AD=20-x∴所求几何体的侧面积
∴当时，即这个圆柱形木
块剩下部分(如图一)侧面积的最大值为
. 略
2-答案：（1）证明：见解析；(2)
．(3)
本试题主要考察了线面角的求解，以及垂体的体积
的运用，和线线垂直的证明的综合运用。
（1）依题意知图①折前
∴
定理得到结论。
（2）三棱锥的体积可以利用转换顶点的思想来求解得到。 （3）根据由（2）知
又
∴
平面
∴
平面
又∵
,∴平面
,∵
，利用线面垂直的性质
为DE与平面PDF所成的角，然后借助于三角形得到求解。
（1）证明：依题意知图①折前
∴
平面
又∵
平面
,∴
∴
,∵
(2)解法1：依题意知图①中AE=CF= ∴PE= PF=，在△BEF中,在
中，
∴
∴
．【(2)解法2：依题意知图①中
AE=CF= ∴PE= PF=，在△BEF中
,∴
．(3) 由（2）知
∴
又
,取EF的中点M，连结PM则
∴
∴中，∵
平面
,∴
为DE与平面PDF所成的角，在 ∴
3-答案：
（Ⅰ）证明：取PD的中点E，连接ME，CE，则ME∥AD，ME=AD，∵N为BC的中点，BC∥AD，∴ME∥CN，ME=CN，∴四边形MNCE是平行四边形，∴MN∥CE，∵MN⊄平面PCD，CE⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD；
（Ⅱ）解：过E作平面PAC的垂线，垂足为O，则由（Ⅰ）知，MN与平面PAC所成角等于EC与平面PAC所成角，∵D到平面PAC的距离为
，∴E到平面
PAC的距离为值为
．
，∵CE==，∴CO==∴MN与平面PAC所成角的正切
（Ⅰ）证明：取PD的中点E，连接ME，CE，则ME∥AD，ME=AD，∵N为BC的中点，BC∥AD，∴ME∥CN，ME=CN，∴四边形MNCE是平行四边形，∴MN∥CE，∵MN⊄平面PCD，CE⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD；
（Ⅱ）解：过E作平面PAC的垂线，垂足为O，则由（Ⅰ）知，MN与平面PAC所成角等于EC与平面PAC所成角，∵D到平面PAC的距离为PAC的距离为值为
．
，∵CE=
=
，∴CO=
=
，∴E到平面
∴MN与平面PAC所成角的正切
4-答案：（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴
AC⊥BC， …………………1分又 AC⊥AC⊥平面BCC1，又
平面
，且
∴
BCC1 ……………………………………3分∴
AC⊥BC1 ………………………………………………………………4分
（Ⅱ）解法一：取
中点
，过
作
于
，连接
…………5分是中点，∴
，又
平面
∴平面是二面角
平面∴
∴ 又
平面
且
，又平面∴ 又
，平面∴
，
………7分∴
的平面角 ……………………………………8
中，
，
，
∴
分AC＝3，BC＝4，AA1＝4，∴在
…………………………………………11分∴
二面角法二：以
的正切值为
分别为
…………………………………………12分解
轴建立如图所示空间直角坐标系…………5分
AC＝3，BC＝4，AA1＝4，∴， ，
，，∴，平面的法向量的法向量
，则，
， …………………7分设平面的夹角（或其补角）的大小就是二面角
令
，则
，
的大小 …………8分则由∴
………………10分
……………11分∵二面角的正切值为
分略
，则
是锐二面角∴二面角
………………………… 12
5-答案：（1）椭圆+=1中a=5，b=4，∴c=
=3∴椭圆的焦点坐标为（±3，
0）∵抛物线与椭圆+=1共焦点∴抛物线方程为y2=12x或y2=-12x；
（2）设动圆圆心M（x，y），半径为r，当圆M与圆C1：（x+4）2+y2=2外切，与圆C2：（x-4）2+y2=2内切时，|MC1|=r+
，|MC2|=r-，当圆M与圆C1：（x+4）
，|MC2|=r+
，
2+y2=2内切，与圆C2：（x-4）2+y2=2外切时，|MC1|=r-∴||MC1|-|MC2||=2
＜8，∴点M的轨迹是以点C1，C2为焦点的双曲线，且a=
，c=4∴b2=c2-a2=14，∴动圆圆心M的轨迹方程为-=1．
-------------------------------------
1-答案：的体积等于
试题分析：设球的半径为r，∵
，∴r=3，∴该球
点评：熟练掌握球的体积和表面积公式是解题的关键
2-答案：试题分析：如图，易知
三个边长需要构成锐角三角形，所以
只需边长2和边长x的对角为锐角即可，所以。
点评：在∆ABC中，
。
3-答案：连结CD、CE，取AB的中点H，设点C在平面ABDE内的射影为O，连结CO、OH、CH∵CH是等边三角形ABC的中线，∴CH⊥AB∵CO⊥平面ABDE，得OH是CH在平面ABDE内的射影∴OH⊥AB，得∠OHC就是二面角C-AB-D的平面角
设AB=2，则等边△ABC中，CH=AB=Rt△COH中，cos∠OHC==，可得OH=
CH=1，由此可得点O是正方开ABDE的中心，可得四棱锥C-ABDE是所有棱长均为2的正四棱锥等边△ACE中，=
（+）且||=
∴•=
•（+）=
•+
•∵∠DEA=90°，得•
=0；∠DEC=60°，得•=||•||cos60°=2∴•=×0+×2=1可得cos＜，＞=
=
=
由此结合两条直线所成角的定义，可得直线EM、DE所
成角的余弦值等于．
4-答案：
略
5-答案：
分析：在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，
同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．设P在底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a， ? a=2∴a=\"2\" PBC的距离h=
设侧棱为b，则b=\"2\"
=
斜高h′=
．由面积法求A到侧面
．解：如图所示：设P在底面ABC上的射影为O，则
PO⊥平面ABC，PO=2，且O是三角形ABC的中心，∴BC⊥AM，BC⊥PO，PO∩AM=0∴BC⊥平面APM又∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面APM，又∵平面ABC∩平面APM=PM，∴A到侧面PBC的距离即为△APM的高设底面边长为a，则? a=2∴a=\"2\"
设侧棱为b，则b=2
斜高h′=
．由面积法求A到侧面PBC
的距离h==故答案为：点评：本小题主
要考查棱锥，线面关系、直线与平面所成的角、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．
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