抛物线知识点归纳总结与经典习题

y22px (p0)y22px (p0)x22py(p0) x22py (p0)抛 物 线 l y O F y x F O l x y F O y l O x x F l 平面内与一个定点F与一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物定义 线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 {M范围 对称性 (焦点 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线的距离 焦点到准线的距离 第 1 页

xp 2xp 2MF=点M到直线l的距离} x0,yR xR,y0 xR,y0 x0,yR 关于x轴对称 p,0) 2关于y轴对称 p,0) 2((0,p) 2(0,p) 2焦点在对称轴上 O(0,0) e=1 yp 2yp 2准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 p 2p 焦半径 AFx1A(x1,y1) p 2AFx1p 2AFy1p 2AFy1p 2焦 点弦 长 AB (x1x2)p (x1x2)p (y1y2)p (y1y2)p y o Ax1,y1 x Bx2,y2 F 焦点弦AB的几 条性质A(x1,y1)B(x2,y2) 以AB为直径的圆必与准线l相切 假设AB的倾斜角为，那么AB2p sin2p2x1x2 y1y2p2 4假设AB的倾斜角为，那么AB2p cos211AFBFAB2 AFBFAF•BFAF•BFp切线 方程 y0yp(xx0) y0yp(xx0) x0xp(yy0) x0xp(yy0) 1. 直线与抛物线的位置关系

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直线

，抛物线，消y得：

，

〔1〕当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点； 〔2〕当k≠0时，

Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

（3）假设直线与抛物线只有一个公共点,那么直线与抛物线必相切吗

〔不一定〕

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线l：ykxb 抛物线

① 联立方程法：

，(p0)

设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，那么有0,以及x1x2,x1x2，还可进一

步

求

出

y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2b，

y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方

a. 相交弦AB的弦长

或 AB11122yy1(yy)4yy1k 12121222kkab. 中点M(x0,y0), x0② 点差法：

x1x2yy， y012 22设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得

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y12px1 y22px2 将两式相减，可得

(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)所以

y1y22px1x2y1y222

a. 在涉及斜率问题时，kAB2p y1y2b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，

py1y22p2pp，即kAB，

y0x1x2y1y22y0y0同理，对于抛物线x22py(p0)，假设直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)是弦AB的中点，那么有kABx1x22x0x0 2p2pp〔注意能用这个公式的条件：1〕直线与抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存在，且不等于零〕 一、抛物线的定义及其应用

例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．

(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之与的最小值；

(2)假设B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

例2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一 点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆与抛物线C的准线相交，那么y0的取值范围是( )

A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 二、抛物线的标准方程与几何性质

例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与

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抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，假设|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，那么△AKF的面积是 ( )

A．4 B．33 C．43 D．8 例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，假设|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3那么此抛物线的方程为 ( ) 3922

A．y＝x B．y＝9x C．y＝x D．y2

22

2

＝3x

三、抛物线的综合问题

例5、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1例6、平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD· EB的最小值 例7、点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C1

的焦点F的距离为2，直线l：y＝－x＋b与抛物线C交于A，B2

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两点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)假设以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程． 练习题

1．抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，那么a等于( 〕

A．1 B．4 C．8

D．16

2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，那么点M的纵坐标是 ( )

17A．－

16

157B．－ C.

1616

15

D. 16

3．(2021·辽宁高考)F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，那么线段AB的中点到y轴的距离为 ( ) 3 A.

4

5

B．1 C.

4

7D. 4

4．抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )

A．相离 确定

5．F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于

B．相交 C．相切

D．不

A、B两点，那么||FA|－|FB||的值等于

B．8C． 82

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D．16

( ) A．42

6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之与最

小

，

那

么

点

P的坐标是

( )

A．(－2,1)

B．(1,2) C．(2,1)

D．(－1,2)

7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ ( ) A．4D．16

8．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，抛物线的方程 〔 〕 A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x

9以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______．

10．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，

3 B．8 C．8

3

m)到焦点的距离是5，那么抛物线的方程为________．

11．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么| FA| ＋| FB| ＝________.

12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，假设x1＋x2＝6，那么 |AB|等于________

13．根据以下条件求抛物线的标准方程：

(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2－9y2＝144的左顶点；

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(2)过点P(2，－4)．

14．点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线Cπ

于另一点Q.假设向量OM与OP的夹角为，求△POM的面积．

4解析

一、抛物线的定义及其应用

例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1. 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．

于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之与最小．显然，连结AF交曲线于P点，那么所求的最小值为|AF|，即为5.

(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，那么|P1Q|＝|P1F|.那么有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.

例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已 知只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4，解得

y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．

二、抛物线的标准方程与几何性质

例3、设点A(x1，y1)，其中y1B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.那么有 |BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝

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|BB1|1π

2|BB1|，cos∠CBB1＝＝，∠CBB1＝.即直线AB与x轴

|BC|23πpπ

的夹角为.又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝23，

32311

因此△AKF的面积等于|AK|·y1＝×4×23＝43.

22

例4．分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，

∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F13

为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物

22线的方程为y2＝3x. 三、抛物线的综合问题

例5、(1)直线AB的方程是y＝22(x－)，与y2＝2px联立，从而

25p有4x－5px＋p＝0，所以：x1＋x2＝，由抛物线定义得：|AB|

4

2

2

p＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x. (2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，

x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)；

设 OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．

2又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]＝8(4λ＋1)．

即(2λ－1)2＝4λλ＝0，或λ＝2.

例6、 (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有

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x－1

2

＋y2－|xy2

＝2x＋2|x|. 当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.

所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)与y＝0(x<0)． (2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，那么l1的方程

y＝kx－1为y＝k(x－1)．由2

y＝4x

，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.

(7分)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1，x2是上述方程的两个实根，于是

4

x1＋x2＝2＋2，x1x2＝1. (8分)

k1

因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－. 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，

k那么同理可得

x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. ＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)·(x4＋1)

＝ x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 (11分)

4122

＝1＋(2＋2)＋1＋1＋(2＋4k)＋1＝8＋4(k＋2)≥8＋4×

kk2k·2＝16.

k2

2

1

当且仅当k＝2，即k＝±1时， AD·EB取最小值16.

1

k例7 、(1)抛物线y＝2px(p>0)的准线为x＝－，由抛物线定义与2

2

p条件可知

|MF|＝1－(－)＝1＋＝2，解得p＝2, 故所求抛物线C的方

22程为y2＝4x.

1y＝－x＋b，2(2)联立y2＝4xpp

消去x并化简整理得y2＋8y－8b＝

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0.

依题意应有Δ＝＋32b>0，解得bA(x1，y1)，B(x2，y2)，那么

x1＋x2

y1＋y2＝－8，y1y2＝－8b，设圆心Q(x0，y0)，那么应用x0＝，

2

y0＝

y1＋y2

2

＝－4.

因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r＝|y0|＝4. 又|AB|＝5[y1＋y2

x1－x2

2

2

＋y1－y2

2

＝1＋4y1－y2

2

＝

－4y1y2]＝5＋32b

8

所以|AB|＝2r＝5＋32b＝8，解得b＝－.

8

所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝，

5

24242

那么圆心Q的坐标为(，－4)．故所求圆的方程为(x－)＋(y＋

5)2＝16.

练习题：

1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦

4点为(0,2)，依题意那么有＝2解得a＝8.

4

1

2．解析：抛物线方程可化为x＝－，其准线方程为y＝.设M(x0，

416

2

aay115

y0)，那么由抛物线的定义，可知－y0＝1⇒y0＝－.

1616

3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y11315

轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.

242444．解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别

为A、B在直线l上的射影，那么|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，

111

于是M到l的距离d＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝

222

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|AB|＝半径，故相切．

y＝x－2，

5．解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为y＝x－2由2

y＝8x

，

消去y得x2－12xA(x1，y1)，B(x2，y2)，那么||FA|－|FB||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝144－16＝82.

6．解析：如下图，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号．∴P点的横坐

标与A点的横坐标一样即为1，那么可排除A、C、D.答案：B

7．解析：设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ ( )

A．43 B．8

C．83 D．16

8．解析：由准线方程x＝－2，可知抛物线为焦点在x轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为 y2＝2px＝8x 9．解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y＝－4，那么圆心为(0,4)，半径r＝8. 所以，圆的方程为x2＋(y－4)2＝.

10．解析：设抛物线方程为x＝ay(a≠0)，那么准线为y＝－.∵

4

2

aQ(－3，m)在抛物线上，∴9＝am.而点Q到焦点的距离等于点Q到

a99a准线的距离，∴|m－(－m＝代入，得|＋|＝5，解得，a＝±

4aa4

2，或a＝±18，∴所求抛物线的方程为x2＝±2y，或x2＝±18y.

2y＝4x11．解析：由

2x＋y－4＝0

，消去y，得x2－5x＋4＝0(*)，方程

(*)的两根为A、B两点的横坐标，故x1＋x2＝5，因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以| FA| ＋| FB| ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝7 12．解析：因线段AB过焦点F，那么|AB|＝|AF|＋|BF|.又由抛

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物线的定义知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，故|AB|＝x1＋x2＋2＝8.

13．解析：双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)，由题设

916抛物线方程为

x2y2

y＝－2px(p>0)，那么－＝－3，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝－

2

p2

12x.

(2)由于P(2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1， ∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.

14．解：设点M(，y1)，P(，y2)，∵P，M，A三点

44共线，∴kAM＝kPM，

y1y1－y2y11即2＝2，即2＝，∴y1y2＝4. y1y1y2y＋4y＋y2112

＋1－444

π

∴ OM· OP＝·＋y1y2＝5.∵向量 OM与 OP的夹角为，∴|

444π1π5

OM|·|OP |·cos＝5.∴S△POM＝| OM| ·| OP| ·sin＝.

4242

2y21y2

y21y22

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