计量经济学

第六章

解释概念

〔1〕双对数模型 〔2〕对数-线性模型 〔3〕线性-对数模型 〔4〕多项式回归

〔5〕标准化变量 〔6〕边际效应 〔7〕弹性 〔8〕瞬时增长率 答：〔1〕双对数模型是一种广泛应用的函数形式，模型中的因变量和自变量都以对数度量，比方设定一个双对数模型lnY12lnXu

（2）对数线性模型是指因变量取对数、解释变量为原有形式的模型。比方：

log(wage)12educu。

（3）线性对数模型是指因变量为原有形式，解释变量取对数的模型。比方：

Y12lnXu

〔4〕多项式回归模型中解释变量并不都是以线性的形式出现，多项式是由常数和一个或多个解释变量及其正整数次幂构成的表达式。多项式回归模型的一般函数形式表示为

Y12X3X2kXk1u

（5）标准化变量是标准化变量就是将变量减去其均值并除以其标准差。 （6）边际效应是指一单位变量X的变化所引起的变量Y的单位变化。 （7）弹性是指一个变量变动的百分比相应于另一变量变动的百分比来反应变量之间的变动的灵敏程度。

（8）瞬时增长率是指仅当时间变动很小时，才近似等于因变量的相对变化。

6.2 考虑双对数模型

lnY12lnXu

分别描绘出21，21，021，21，21，120时表现Y与X之间关系的曲线。

答：当21时，Y和X对应的是曲线是：

76Y32100123X4567 当21时，对应的曲线是：

40353025201510500123X4567Y 021时：

8765Y43210510152025X30304550 21时，Y和X对应的图形为：

1.00.90.80.70.6Y0.50.40.30.20.101234X567 21时，对应的函数为：

1.00.80.6Y0.40.20.001234X567 120时，Y和X的曲线为：

121086Y42002468X1012141618 在研究生产函数时，我们得到如下结果

ln8.570.460lnK1.285lnL0.272tse(4.2)(0.025)(0.347)(0.041)n36R20.8

其中为产量，K为资本，L为劳动时数，t为时间变量。 （1）解释系数0.460、1.285、0.272的含义。

（2）对资本、劳动时数的回归系数做显著性检验〔写出原假设、备择假设、计算检验统计量〕。

答：〔1〕0.460表示的是产量对资本的弹性。同理，1.285表示的是产量对劳动时数的弹性，0.272表示的是产量对时间的弹性。

（2）对于资本的系数2：原假设：H0：2=0，备择假设：H1：20

t20.46018.4， se(2)0.025由Excel计算可得：prob(t3218.4)=1.40E18，可知2是显著的。 对于劳动时数的系数3：原假设：H0：3=0，备择假设：H1：30

t31.2853.70 se(3)0.347由Excel计算可得：prob(t323.70)=0.000807 由此可以看出，3也是显著的。

一个劳动经济学家想分析教育程度和工作经验对收入的影响。使用横截面数据，她获得如下关系式：

log(income)7.710.094educ0.023exper0.000325exper2se(0.113)(0.005)(0.009)(0.000187) R20.337n60式中，income为收入；educ为受教育程度；exper为工作经验。括号内为标准误。 请写出以下检验的原假设和备择假设。 〔1〕检验“受教育程度对收入没有影响”；

〔2〕检验：“受教育程度和工作经验对收入都没有影响”；

〔3〕检验“工作经验对收入没有影响”，如果有必要你还会进行什么回归？写出检验统计量的表达式，说明其分布和自由度。

〔4〕写出收入对a.受教育程度；b.工作经验的边际效应的表达式。如果有需要的话，计算这些边际效应你还需要什么其他信息？

〔5〕写出收入对a.受教育程度；b.工作经验的弹性的表达式。如果有需要的话，计算这些弹性你还需要什么其他信息？

〔6〕分析以不同单位度量收入，估计结果有变化吗？

答：设educ的系数为2，exper的系数为3，exper2的系数为4。 〔1〕原假设：H0：2=0，备择假设：20。

（2）原假设：H0:23=40，备择假设：H1：2，3，4不全为0。 （3）原假设：H0：3=40 ，备择假设：H1:3,4不全为0。

Ri2(k1)如果有必要还要进行辅助回归。检验统计量：Fi

(1Ri2)(nk)其分布服从自由度为〔2,57〕的F分布。 〔4〕

dy2Y〔X1表示受教育程度，Y表示收入〕 dx1dy(324X2)Y，如果有需要的话，还要知道各变量的均值。 dx2（5）EeducdyX12X1 dx1Y EexperdyX2(324X2)X2， dx2Y如果有需要的话，计算这些弹性还需要有这些变量的均值。

〔6〕有变化。当单位不同时，Y值也会不同，lnY的大小也不一样，而其他的变量的单位是保持不变的，所以对Y值的估计是有影响的。

6.5 一家公司的销售经理认为公司的销售增长遵从模式StS0(1g)t。他得出以下回归结果：lnSt3.680.0583t。

〔1〕他得出的增长率g的估计值是多少？ 〔2〕他得出的S0的估计值是多少？ 〔3〕估计公司未来5个期间的销售额。

答：〔1〕对原方程两端都取对数可得：lnStlnS0tln(1g)， 对应回归结果可知：

ln(1g)0.0583，可得g=0.06。

（2）由ln(S0)3.68,可得，S0=40 （3）由〔1〕和〔2〕可知，

未来1个期间内的销售额St14040(10.06)82.4 未来2个期间的销售额为：82.4+40(10.06)2127.3 未来3个期间的销售额为：127.340(10.06)3174.9 未来4个期间的销售额为：147.940(10.06)4198.4 未来5个期间的销售额为：198.440(10.06)5251.9

电脑习题

6.6 数据集Data6-7是美国1958~2004年间的失业率〔UNEMPLOY〕和通货膨胀率〔infl〕的数据。

〔1〕对1958~1969、1958~2004年间的失业率与通货膨胀率作图，图形是否与菲利普斯曲线的假设一致？

〔2〕分别估计上述两个样本期间的菲利普斯曲线

inflt12UNEMPLOYtut你的结论是什么？

〔3〕在上述模型中加入预期，使用上一期的通货膨胀率来预期本期的通货膨胀率，分别估计两个样本期间的附加预期的菲利普斯曲线

infltinflt112UNEMPLOYtut

你的结论是什么？与菲利普斯曲线的假设相一致吗？ 答：〔1〕对1958-1969年间的失业率和通货膨胀率进行作图：

7.06.56.0UNEMPLOY5.55.04..03.53.0.00.01.02.03INFL.04.05.06 图形和菲利普斯的假设是一致的。

对1958~2004年间的失业率与通货膨胀率作图：

1098UNEMPLOY763.00.02.04.06.08.10.12.14INFL 图形和菲利普斯曲线不保持一致。

（2）对1958-1969年间的失业率和通货膨胀率进行估计得：

infl0.00.008unemploy t(4.37) (2.91) R20.458 〔1〕

对1958~2004年间的失业率与通货膨胀率进行估计得：

infl0.00870.00unemploy t(0.477) (1.806) R20.0675 〔2〕

由模型〔1〕可以看出拟合优度是比较低的。

由模型〔2〕可以看出拟合优度很低，再加上模unemploy的系数和假设是不相符的。

（3）估计方程：infltinflt112UNEMPLOYtut 可得：1958-1969年间：

infltinflt10.00100.0011unemployt t(0.6216) (0.3473) R0.01192

对1958~2004年间：

infltinflt10.03700.0062unemploy t(3.7365) (3.8038) R0.24332

由以上结果可以看出，加上预期之后，模型的估计更好，而且菲利普斯曲线的假设保持了一致。

数据集Data6-8给出了1995~2000年间Qualcom公司每周股票价格的数据。 〔1〕做收盘价格对时间的散点图。散点图呈现出什么样的模式？ 〔2〕建立一个线性模型预测Qualcom股票的收盘价格。

〔3〕建立一个二次模型，解释变量包括时间和时间的平方。模型的拟合效果如何？

〔4〕建立一个三次模型：

Yi01Xi2Xi23Xi3ui

其中，Y是股票价格，X是时间。哪一个模型更好地拟合了数据？ 答：〔1〕做散点图：

500400300PRICE2001000050100TIME150200250 可以看出价钱随时间呈上升趋势。

（2）构建回归模型：price12timeui 可得：

price4.690.58time t(0.68) (12.70) R20.385

（3）构建模型：price12time3time2ui 可得：

price7.681.19time0.007time2 t(8.92) (8.27) (12.69) R0.6222

由拟合优度可以看出拟合的程度比〔2〕中的要好。 （4）估计：Yi01Xi2Xi23Xi3ui 可得：

Y10.852.62X0.03X2(9.29E05)X3t(1.42) (10.29) (13.09) (16.33) R0.8152

从显著性水平和拟合优度上，可以看出这个模型的拟合程度最好。

数据集Data6-9给出了40个国家平均寿命Y的数据。数据来自《世界年鉴》〔1993〕。解释变量是电视机普通率X1和医生覆盖率X2。

〔1〕利用数据拟合一个LIV〔变量线性〕模型，解释回归系数的涵义。模型拟合的效果如何？

分别做Y对X1和Y对X2的散点图。散点图是否呈现出线性模式？

〔2〕分别做lnY对lnX1和lnY对lnX2的散点图。散点图是否呈现出线性模式？

〔3〕估计一个双对数模型。拟合的效果如何？

〔4〕解释双对数模型中的回归系数。这些回归系数是否合理？ 答：〔1〕拟合模型：Y12X1+3X2+u 可得：

Y70.250.02X10.0004X2t(.59) (2.44) (2.14) R20.44

回归系数是指一单位的自变量的变化所引起的因变量的变化。

从显著性上来看，系数是显著的，但是从拟合优度上来看，模型的拟合程度还有待提高。

做Y对X1的散点图：

80757065Y6055500100200300X1400500600 Y对X2的散点图：

80757065Y605550010,00020,000X230,00040,000 从两个图中可以看出，两个函数都不是线性的。

（2）做lnY对lnX1的散点图：

4.44.34.2LOG(Y)4.14.03.901234567LOG(X1) lnY对lnX2的散点图：

4.44.34.2LOG(Y)4.14.03.95678LOG(X2)91011 从图中可以看出，图形是呈线性模式的。

（3）估计模型：lnY12lnX13lnX2u 可得：

lnY4.560.04lnX10.04lnX2 t(70.27) (5.11) (3.14) R20.799

（4）1表示Y对X1的弹性。2表示Y对X2的弹性。

从显著性水平、拟合优度和函数图形上都可以看出，系数是合理的。

6.9 使用Data6-10中的数据，研究美国对子鸡的需求。

y：子鸡的消费量〔磅〕

x2：可支配收入〔美元〕 x3：子鸡价格〔美分/磅〕 x4：猪肉价格〔美分/磅〕 x5：牛肉价格〔美分/磅〕 试建立如下回归模型：

lny12lnx23lnx34lnx45lnx5u 〔1〕估计回归方程，对回归结果作出分析。

〔2〕解释模型中回归系数2、3、4、5 的经济意义。它们的先验符号是什么〔说明理由〕？结果同先验预期相符吗？

〔3〕子鸡需求的价格弹性如何？是富有弹性还是缺乏弹性？〔提示：检验是否价格弹性31〕

〔4〕分析数据，确定子鸡是正常品还是奢侈品？〔提示：检验是否收入弹性

21〕

〔5〕某人认为子鸡与猪肉和牛肉为不相关商品〔子鸡的需求不受猪肉和牛肉价格的影响〕。该观点是否正确？ 答：〔1〕估计回归模型得：

ln(Y)2.190.34lnX20.50lnX3+0.15lnX4+0.09lnX5 t(14.06) (4.11) (4.55) (1.49) (0.90) R20.9823

从回归的拟合优度上来看，模型的拟合程度是很高的。

（2）2指的是Y对X2的弹性，它的预期符号为正，因为一般人的收入高时，自然就会多购买一些肉类来提高生活质量。估计量和预期保持一致；3指的是Y对X3的弹性，它的预期符号为负，因为当价格上升时，人们将会降低此类商品的消费，转为消费同类商品。估计量和预期保持一致；4指的是Y对X4的弹性，它的预期符号为正，因为猪肉和鸡肉属于同类商品，当猪肉的价格上升时，人们经常转为消费其他同类商品，从而鸡肉的销量上升。估计量和预期保持一致；

5指的是Y对X5的弹性，它的预期符号为正，牛肉和鸡肉也属于同类商品，当

牛肉的价格上升时，人们经常转为消费其他同类商品，从而鸡肉的销量也会上升。估计量和预期保持一致。 （3）假设：H0:31， t3+10.5014.55

0.11se(3)查表可知：prob(t184.55)0.000248，由此可见3是显著的，所以3是显著异于-1的。由于4>1，所以子鸡需求的价格弹性是富有弹性的。 〔4〕原假设：H0:21 t210.3418.25 0.08se(2)查表可得：prob(t188.25)1.57679E07

可知2是显著异于1的。由于2的估计值是0.34<1，则可知子鸡是正常商品。 （5）这种观点是正确的。可做瓦尔德检验： 假设：450，

估计模型：lny12lnx23lnx3u 可得拟合优度：R20.980074 则：

Fc(0.982313-0.980074)/21.14(1-0.982313)/(23-5)

FcF*3.55因此不能拒绝原假设。

数据集Data6-11给出了德国1971～1980年消费者价格指数Y〔1980年＝100〕及货币供应X〔10亿德国马克〕的数据。 〔1〕做如下回归：

a. Y对X b. lnY对lnX c. lnY对X d. Y对lnX 解释各回归结果。

〔2〕对每一个模型求Y对X的变化率。〔提示：求dY/dX〕 〔3〕对每一个模型求Y对X的弹性。

〔提示：对其中的一些模型，要使用均值计算〕 答：〔1〕a. 估计方程：Y12Xu 可得：

Y38.970.26X t(10.11) (15.65) R0.9422

其中2指当X变动1单位时，Y将变动0.26个单位。 b. 估计方程：lnY1+2lnXu 得：

lnY1.400.59lnX t(8.95) (20.09) R0.92

2指Y对X的弹性。

c. 估计方程：lnY12Xu 可得：

lnY3.930.003X t(84.68) (13.95) R20.928

2d(lnY)dY/Y，表示X一单位的增量所引起的Y的增量的百分比变化0.3%。 dXdXd. 估计方程：Y12lnXu

可得：

Y192.97.21lnX t(11.78) (17.70) R20.9

2=dYdY，它表示X每变化1%引起Y变化0.21个单位。

d(lnX)dX/Xdy20.26， dxdyY对于b：2，

dxXdy对于c：Y2，

dxdy2 对于d：

dxX（2）对于a：（3） 对于a：edyYY2 dxXX对于b：2就是Y对X的弹性。

dyX2X dxYdyX对于d：e2

dxYY对于c：e