追及与相遇问题
追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题,它往往涉及两个以上物体的运动过程,每个物体的运动规律又不尽相同.对此类问题的求解,除了要透彻理解基本物理概念,熟练运用运动学公式外,还应仔细审题,挖掘题文中隐含着的重要条件,并尽可能地画出草图以帮助分析,确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系,在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景.借助于v-t图象来分析和求解往往可使解题过程简捷明了.
知识要点:
一、相遇是指两物体分别从相距S的两地相向运动到同一位置,它的特点是:两物体运动的距离之和等于S,分析时要注意: (1)、两物体是否同时开始运动,两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系; (2)、两物体各做什么形式的运动; (3)、由两者的时间关系,根据两者的运动形式建立S=S1+S2方程; 二、追及问题 (1)、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。
若甲物体追赶前方的乙物体,若甲的速度大于乙的速度,则两者之间的距离 。 若甲的速度小于乙的速度,则两者之间的距离 。
若一段时间内两者速度相等,则两者之间的距离 。 2、追及问题的特征及处理方法:
“追及”主要条件是:两个物体在追赶过程中处在同一位置,常见的情形有三种:
⑴ 速度小者匀加速追速度大者,一定能追上,追上前有最大距离的条件:两物体速度 ,
即v甲v乙。
⑵ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙,存在一个能否追上的问题。 判断方法是:假定速度相等,从位置关系判断。
①若甲乙速度相等时,甲的位置在乙的后方,则追不上,此时两者之间的距离最小。 ②若甲乙速度相等时,甲的位置在乙的前方,则追上。
③若甲乙速度相等时,甲乙处于同一位置,则恰好追上,为临界状态。 解决问题时要注意二者是否同时出发,是否从同一地点出发。
⑶ 速度大者匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时,情形跟⑵类似。 三、分析追及问题的注意点:
⑴ 追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件,往往是解决问题的重要条件 ⑵若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶仔细审题,充分挖掘题目中的隐含条件,同时注意vt图象的应用。
例题分析:
1.一车处于静止状态,车后距车S0=25m处有一个人,当车以1m/s2的加速度开始起动时,人 以6m/s的速度匀速追车,能否追上?若追不上,人车之间最小距离是多少?
2.一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶,恰好此时一辆自行车以6m/s速度驶来,从后边超越汽车.试求:
① 汽车从路口开动后,追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?最远距离是多少?
1
② 经过多长时间汽车追上自行车,此时汽车的速度是多少?
3.公共汽车从车站开出以4m/s的速度沿平直公路行驶,2s后一辆摩托车从同一车站开出匀加速追赶,加速度为2m/s2。试问
(1)摩托车出发后,经多少时间追上汽车? (2)摩托车追上汽车时,离出发点多远? (3)摩托车追上汽车前,两者最大距离是多少?
4、火车以速度v1匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以速度v2做匀速运动,已知v1>v2司机立即以加速度a紧急刹车,要使两车不相撞,加速度a的大小应满足什么条件?
5、某人骑自行车以4m/s的速度匀速前进,某时刻在他前面7m处以10m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机,而以2m/s2的加速度减速前进,求:①自行车未追上前,两车的最远距离; ②自行车需要多长时间才能追上汽车.
6. 某人骑自行车以8m/s的速度匀速前进,某时刻在他前面8m处以10m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机,而以2m/s的加速度减速前进,求: ①自行车未追上前,两车的最远距离; ②自行车需要多长时间才能追上汽车.
课后练习:
1、 一列快车正以20m/s的速度在平直轨道上运动时,发现前方180m处有一货车正以6m/s速度匀
速同向行驶,快车立即制动,快车作匀减速运动,经40s才停止,问是否发生碰车事故?(会发生碰车事故)
2、 同一高度有AB两球,A球自由下落5米后,B球以12米/秒竖直投下,问B球开始运动后经过
多少时间追上A球。从B球投下时算起到追上A球时,AB下落的高度各为多少?(g=10m/s)(2.5秒;61.25米)
3、 如图所示,A、B两物体相距s=7m,物体A在水平拉力和摩擦力作用下,正以v1=4m/s的速
度向右运动,而物体B此时的速度v2=10m/s,由于摩擦力作用向右匀减速运动,加速度a=-2m/s2,求,物体A追上B所用的时间。(8s)
v
2
2
v1
2 A F B s 2
4、 羚羊从静止开始奔跑,经过50m能加速到最大速度25m/s,并能维持一段较长的时间;猎豹从静
止开始奔跑,经过60 m的距离能加速到最大速度30m/s,以后只能维持此速度4.0 s.设猎豹距离羚羊xm时开时攻击,羚羊则在猎豹开始攻击后1.0 s才开始奔跑,假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动,且均沿同一直线奔跑,求:猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊,x值应在什么范围?
解析:先分析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度所用的时间,再分析猎豹追上羚羊前,两者所发生的位移之差的最大值,即可求x的范围。设猎豹从静止开始匀加速奔跑60m达到最大速度
s1v22v12t1t12s1v1260304s用时间t2,则,t2羚羊从静止开始匀加速奔跑50m达到最大速度用4s时间t1,则
s2t22s2v225025,猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊,则猎豹减速
前的匀速运动时间最多4s,而羚羊最多匀速3s而被追上,此x值为最大值,即x=S豹-S羊=[(60+30×4)-(50+25×3)]=55m,所以应取x<55m。
5、 高为h的电梯正以加速度a匀加速上升,忽然天花板上一颗螺钉脱落.螺钉落到电梯底板上所用的时间是多少?
解析:此题为追及类问题,依题意画出反映这一过程的示意图,如图2— 27所示.这样至少不会误认为螺钉作自由落体运动,实际上螺钉作竖直上抛运动.从示意图还可以 看出,电梯与螺钉的位移关系:
S梯一S钉= h 式中S梯=vt十½at2,S钉=vt-½gt2 可得t=
2h/ga 错误:学生把相遇过程示意图画成如下图,则会出现S
V0、a 梯+S钉= h
式中S梯=v0t十½at2,S钉=v0t-½gt2
这样得到v0t十½at2+v0t-½gt2=h,即½(a-g)t2+2v0t-h=0
由于未知v0,无法解得结果。判别方法是对上述方程分析,应该是对任何时间t,都能相遇,即上式中的Δ=4v02+2(a-g)h≥0 也就是v0≥
agh/2,这就对a与g关系有了,而事实上不应有这样的的。
3
参: 1、
S人-S车=S0 ∴ v人t-at/2=S0 即t-12t+50=0
Δ=b2-4ac=122-4×50=-56<0 ∴ 方程无解.人追不上车 当v人=v车=at时,人车距离最小 t=6/1=6s ΔSmin=S0+S车-S人=25+1×62/2-6×6=7m 2、
1.解一:速度关系,位移关系v汽atv自 t=2s
sv自t12at22
2
62123226(m)
解二:极值法 (1)sv自t12at26t32t
2由二次函数的极值条件可知 t62(3/2)322s时,s最大
sm62226(m)
(2)汽车追上自行车时,二车位移相等
vt''12at''2 t'2vt2634s
vat3412m/s
解三:用相对运动求解
选匀速运动的自行车位参照物,则从运动开始到相距最远,这段时间内,起初相对此参照物的各个物理量为
初速 v0v汽初v自066m/s 末速 vtv汽末v自660
2加速度 aa汽a自303m/s
相距最远 svtv02a220(6)2326m (负号表示汽车落后)
解四:图象求解
v v 6
V汽 (1) tv自a1263at2s
2V自
svt62123226m
4
t t’ t (2) t'2t4s v'2v自12m/s
3、
解:开始一段时间内汽车的速度大,摩托车的速度小,汽车和摩托车的距离逐渐增大,当摩托车的速度大于汽车的速度后,汽车和摩托车的距离逐渐减小,直到追上,显然,在上述过程中,摩托车的速度等于汽车速度时,它们间的距离最大。(1)摩托车追上汽车时,两者位移相等,即
v(t+2)=
12at
2
解得摩托车追上汽车经历的时间为t=5.46s (2)摩托车追上汽车时通过的位移为
s=
12vaat2=29.9m
(3)摩托车追上汽车前,两车速度相等时相距最远,即v=at/
t=
/
=2s
/
最大距离为△s=v(t+2)-
12at=12m
/2
小结:求解追及问题要注意明确三个关系:时间关系、位移关系、速度关系,这是我们求解列方程的依据,涉及临界问题时要抓住临界条件。 4、
解法一:由分析运动过程入手
后车刹车后虽做匀减速运动,但在速度减小到和v2相等之前,两车的距离将逐渐减小;当后车速度减小到小于前车速度,两车距离将逐渐增大。可见,当两车速度相等时,两车距离最近。若后车减速的加速度过小,则会出现后车速度减为和前车速度相等即追上前车,发生撞车事故;若后车加速度过大,则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍为追上前车,若后车加速度大小为某一值时,恰能使两车速度相等时后车追上前车,这是两车不相撞的临界条件,其实对应的加速度即为两车不相撞的临界最小加速度。 综合以上分析可知,两车恰不相撞时应满足下列方程:
v1t-
12a0t2= v2t+s vt-a0t=v2
(v2v1)2s2
联立上式可解得:a0= 所以不 a ≥
(v2v1)2s2时时两车即不会相撞。
解法二:要使两车不相撞,其位移关系应为
v1t-1即
12at2≤s+ v2t
2at2+(v2-v1)t+s≥0
对于位移s和时间t,上面不等式都成立的条件为
5
△=(v2-v1)2-2as≤0 由此得a≥
(v2v1)2s2
解法三:以前车为参考系,刹车后后车相对于前车做初速度v0=v1-v2、加速度为a的匀减速直
线运动,当后车相对前车的速度为零时,若相对位移s/≤s时,则不会相撞。
v02
由s=
/
2a=
(v2v1)2a2≤s 得a≥
(v2v1)2s2
小结:上述三种解法中,解法一注重了对物体运动过程的分析,抓住两车间距离有极值时速度
应相等这一关键条件来求解;解法二中由位移关系得到一元二次不等到式(一元二次方程)运用数学知识,利用根的判别式△=b2-4ac来确定方程中各系数间的关系,这也是中学物理中常用的数学方法;解法三通过巧妙选取参考系,使两车的运动变为后车相对于前车的运动,运算简明。 5、
解:①当v汽=v车时,有最远距离
s7s汽s自716100224410216m
②s自s汽7
v1tv0t12at27 (错解)5s末汽车已停下
t1=7s 应判断在追上前汽车是否已经停下 t1'=-1s(舍)
经5s汽车停下且走了25m,而s自=20m, 20<7+25
相遇是在汽车停止后,s自=7+25=32(m)
t=32/4=8(s)
若s自=8m/s,s=8m,何时相遇,相遇时v汽=?
s自s汽s t=4s
v汽=2m/s
8t=10t-t2+8 t=-2s(舍) 6、
6、解:①当v汽=v车时,有最远距离
s7s汽s自716100224410216m
②s自s汽7
v1tv0t12at27 (错解)5s末汽车已停下
t1=7s 应判断在追上前汽车是否已经停下 t1'=-1s(舍)
6
经5s汽车停下且走了25m,而s自=20m, 20<7+25
相遇是在汽车停止后,s自=7+25=32(m)
t=32/4=8(s) 7、在平直公路上,一辆摩托车从静止出发追赶正前方100m处正以v0=10m/s的速度速度前进的卡车,若摩托车的最大速度为20m/s,现要摩托车在2min内追上上卡车,求摩托车的加速度为多大? 解析:设摩托车在2min内一直加速追上了卡车,它的位移s1同汽车的位移s2的关系为
s1= s2+s0
1
即2a/t2= v0t+ s0
其中t=2min=120s, vo=10m/s, s0=100m
13
解得a/=72m/s2
13
若以加速度运动2min,摩托车的未速度为v= a/t=72×120m/s=21.7m >vm=20m/s
这说明摩托车应先做匀加加速运动,达到最大速度vm后,再做匀速运动运动去追赶卡车。根据
上述分析可得
1
2at12+vm(t-t1)=so+vot
vm=at1
vm2 解得a=
2(vmtvotso) 202
(20120 10120100) =2m/s 2
≈0.18m/s 2
这就是摩托车的加速度。
小结:上述解得应用了假设法,这是一种重要的思维方法,当物理过程或物理状态有多种可能性时,运用它排除谬误,辩明真为是比较方便的。
7
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