追击相遇问题

追及与相遇问题

追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，它往往涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同.对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景.借助于v－t图象来分析和求解往往可使解题过程简捷明了.

知识要点：

一、相遇是指两物体分别从相距S的两地相向运动到同一位置，它的特点是：两物体运动的距离之和等于S，分析时要注意： （1）、两物体是否同时开始运动，两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系； （2）、两物体各做什么形式的运动； （3）、由两者的时间关系，根据两者的运动形式建立S=S1+S2方程； 二、追及问题 （1）、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。

若甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离 。 若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离 。

若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离 。 2、追及问题的特征及处理方法：

“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：

⑴ 速度小者匀加速追速度大者,一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度 ，

即v甲v乙。

⑵ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。

①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。 ②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上。

③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。 解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。

⑶ 速度大者匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟⑵类似。 三、分析追及问题的注意点：

⑴ 追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，往往是解决问题的重要条件 ⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意vt图象的应用。

例题分析：

1．一车处于静止状态,车后距车S0=25m处有一个人,当车以1m/s2的加速度开始起动时,人 以6m/s的速度匀速追车,能否追上?若追不上,人车之间最小距离是多少?

2．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以３m/s２的加速度开始行驶，恰好此时一辆自行车以６m/s速度驶来，从后边超越汽车．试求：

① 汽车从路口开动后，追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？

1

② 经过多长时间汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？

3．公共汽车从车站开出以4m/s的速度沿平直公路行驶，2s后一辆摩托车从同一车站开出匀加速追赶，加速度为2m/s2。试问

（1）摩托车出发后，经多少时间追上汽车？ （2）摩托车追上汽车时，离出发点多远？ （3）摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少？

4、火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以速度v2做匀速运动，已知v1＞v2司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，加速度a的大小应满足什么条件？

5、某人骑自行车以4m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面７m处以10m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以２m/s2的加速度减速前进，求：①自行车未追上前，两车的最远距离； ②自行车需要多长时间才能追上汽车．

6. 某人骑自行车以8m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面8m处以10m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以２m/s的加速度减速前进，求： ①自行车未追上前，两车的最远距离； ②自行车需要多长时间才能追上汽车．

课后练习：

1、 一列快车正以20m/s的速度在平直轨道上运动时，发现前方180m处有一货车正以6m/s速度匀

速同向行驶，快车立即制动，快车作匀减速运动，经40s才停止，问是否发生碰车事故？（会发生碰车事故）

2、 同一高度有AB两球，A球自由下落5米后，B球以12米/秒竖直投下，问B球开始运动后经过

多少时间追上A球。从B球投下时算起到追上A球时，AB下落的高度各为多少？（g=10m/s）（2.5秒；61.25米）

3、 如图所示，A、B两物体相距ｓ＝7ｍ，物体A在水平拉力和摩擦力作用下，正以ｖ1＝4m/s的速

度向右运动，而物体B此时的速度ｖ２＝10ｍ/ｓ，由于摩擦力作用向右匀减速运动，加速度a＝－2m/s2，求，物体A追上B所用的时间。（8s）

ｖ

2

2

ｖ１

２ Ａ Ｆ Ｂ ｓ 2

4、 羚羊从静止开始奔跑，经过50m能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静

止开始奔跑，经过60 m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持此速度4.0 s.设猎豹距离羚羊xm时开时攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0 s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？

解析：先分析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度所用的时间，再分析猎豹追上羚羊前，两者所发生的位移之差的最大值，即可求x的范围。设猎豹从静止开始匀加速奔跑60m达到最大速度

s1v22v12t1t12s1v1260304s用时间t2，则，t2羚羊从静止开始匀加速奔跑50m达到最大速度用4s时间t1，则

s2t22s2v225025，猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，则猎豹减速

前的匀速运动时间最多4s，而羚羊最多匀速3s而被追上，此x值为最大值，即x=S豹－S羊=[（60＋30×4）－（50＋25×3）]=55m，所以应取x<55m。

5、 高为h的电梯正以加速度a匀加速上升，忽然天花板上一颗螺钉脱落．螺钉落到电梯底板上所用的时间是多少？

解析：此题为追及类问题，依题意画出反映这一过程的示意图，如图2— 27所示．这样至少不会误认为螺钉作自由落体运动，实际上螺钉作竖直上抛运动．从示意图还可以 看出，电梯与螺钉的位移关系：

S梯一S钉= h 式中S梯＝vt十½at2，S钉＝vt－½gt2 可得t=

2h/ga 错误：学生把相遇过程示意图画成如下图，则会出现S

V0、a 梯＋S钉= h

式中S梯＝v0t十½at2，S钉＝v0t－½gt2

这样得到v0t十½at2＋v0t－½gt2=h，即½（a－g）t2＋2v0t－h=0

由于未知v0，无法解得结果。判别方法是对上述方程分析，应该是对任何时间t，都能相遇，即上式中的Δ＝4v02＋2（a－g）h≥0 也就是v0≥

agh/2，这就对a与g关系有了，而事实上不应有这样的的。

3

参： 1、

S人-S车=S0 ∴ v人t-at/2=S0 即t-12t+50=0

Δ=b2-4ac=122-4×50=-56<0 ∴ 方程无解.人追不上车 当v人=v车=at时,人车距离最小 t=6/1=6s ΔSmin=S0+S车-S人=25+1×62/2-6×6=7m 2、

1．解一：速度关系，位移关系v汽atv自 t=2s

sv自t12at22

2

62123226(m)

解二：极值法 (1)sv自t12at26t32t

2由二次函数的极值条件可知 t62(3/2)322s时，s最大

sm62226(m)

(2)汽车追上自行车时，二车位移相等

vt''12at''2 t'2vt2634s

vat3412m/s

解三：用相对运动求解

选匀速运动的自行车位参照物，则从运动开始到相距最远,这段时间内,起初相对此参照物的各个物理量为

初速 v0v汽初v自066m/s 末速 vtv汽末v自660

2加速度 aa汽a自303m/s

相距最远 svtv02a220(6)2326m (负号表示汽车落后)

解四：图象求解

v v 6

V汽 (1) tv自a1263at2s

2V自

svt62123226m

4

t t’ t (2) t'2t4s v'2v自12m/s

3、

解：开始一段时间内汽车的速度大，摩托车的速度小，汽车和摩托车的距离逐渐增大，当摩托车的速度大于汽车的速度后，汽车和摩托车的距离逐渐减小，直到追上，显然，在上述过程中，摩托车的速度等于汽车速度时，它们间的距离最大。（1）摩托车追上汽车时，两者位移相等，即

v(t+2)=

12at

2

解得摩托车追上汽车经历的时间为t=5.46s (2)摩托车追上汽车时通过的位移为

s=

12vaat2=29.9m

(3)摩托车追上汽车前，两车速度相等时相距最远，即v=at/

t=

/

=2s

/

最大距离为△s=v(t+2)-

12at=12m

/2

小结：求解追及问题要注意明确三个关系：时间关系、位移关系、速度关系，这是我们求解列方程的依据，涉及临界问题时要抓住临界条件。 4、

解法一：由分析运动过程入手

后车刹车后虽做匀减速运动，但在速度减小到和v2相等之前，两车的距离将逐渐减小；当后车速度减小到小于前车速度，两车距离将逐渐增大。可见，当两车速度相等时，两车距离最近。若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍为追上前车，若后车加速度大小为某一值时，恰能使两车速度相等时后车追上前车，这是两车不相撞的临界条件，其实对应的加速度即为两车不相撞的临界最小加速度。 综合以上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列方程：

v1t-

12a0t2= v2t+s vt-a0t=v2

(v2v1)2s2

联立上式可解得：a0= 所以不 a ≥

(v2v1)2s2时时两车即不会相撞。

解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为

v1t-1即

12at2≤s+ v2t

2at2+(v2-v1)t+s≥0

对于位移s和时间t,上面不等式都成立的条件为

5

△=(v2-v1)2-2as≤0 由此得a≥

(v2v1)2s2

解法三：以前车为参考系，刹车后后车相对于前车做初速度v0=v1-v2、加速度为a的匀减速直

线运动，当后车相对前车的速度为零时，若相对位移s/≤s时，则不会相撞。

v02

由s=

/

2a=

(v2v1)2a2≤s 得a≥

(v2v1)2s2

小结：上述三种解法中，解法一注重了对物体运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度

应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次不等到式（一元二次方程）运用数学知识，利用根的判别式△=b2-4ac来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过巧妙选取参考系，使两车的运动变为后车相对于前车的运动，运算简明。 5、

解：①当v汽＝v车时，有最远距离

s7s汽s自716100224410216m

②s自s汽7

v1tv0t12at27 （错解）５s末汽车已停下

t1=7s 应判断在追上前汽车是否已经停下 t1＇=－１s(舍)

经５s汽车停下且走了２５m，而s自=20m, 20<7+25

相遇是在汽车停止后，s自＝７＋２５＝３２（m）

t＝３２／４＝８（s）

若s自＝８m/s，s＝８m，何时相遇，相遇时v汽＝？

s自s汽s t=4s

v汽＝２m/s

8t=10t－t2+8 t=－2s(舍) 6、

6、解：①当v汽＝v车时，有最远距离

s7s汽s自716100224410216m

②s自s汽7

v1tv0t12at27 （错解）５s末汽车已停下

t1=7s 应判断在追上前汽车是否已经停下 t1＇=－１s(舍)

6

经５s汽车停下且走了２５m，而s自=20m, 20<7+25

相遇是在汽车停止后，s自＝７＋２５＝３２（m）

t＝３２／４＝８（s） 7、在平直公路上，一辆摩托车从静止出发追赶正前方100m处正以v0=10m/s的速度速度前进的卡车，若摩托车的最大速度为20m/s,现要摩托车在2min内追上上卡车，求摩托车的加速度为多大？ 解析：设摩托车在2min内一直加速追上了卡车，它的位移s1同汽车的位移s2的关系为

s1= s2+s0

1

即2a/t2= v0t+ s0

其中t=2min=120s, vo=10m/s, s0=100m

13

解得a/=72m/s2

13

若以加速度运动2min,摩托车的未速度为v= a/t=72×120m/s=21.7m ＞vm=20m/s

这说明摩托车应先做匀加加速运动，达到最大速度vm后，再做匀速运动运动去追赶卡车。根据

上述分析可得

1

2at12+vm(t-t1)=so+vot

vm=at1

vm2 解得a=

2(vmtvotso) 202

（20120　10120100）　=2m/s 2

≈0.18m/s 2

这就是摩托车的加速度。

小结：上述解得应用了假设法，这是一种重要的思维方法，当物理过程或物理状态有多种可能性时，运用它排除谬误，辩明真为是比较方便的。

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