・２０・ 第３９卷第２１期 ２ ０ １ ３年７月 ＳＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩＴＥＣＴＵＲＥ 山 西 建 筑 Ｖｏ１．３９ Ｎｏ．２１ Ｊｕ１． ２０１３ ・结构・抗震・ 文章编号：１００９—６８２５（２０１３）２１・００２０—０３ 振动体系固有频率计算公式分析★ 冷冰林 颜祥程 林可心 （１．广州军区空军后勤部机营处，广东广州 ５１００５２； ２．空军工程大学航空航天工程学院，陕西西安７１００３８） 摘要：在总结以往理论研究成果的基础上，分析了几个计算振动体系固有频率的计算公式，并且结合实际例题进行对比，得出了 有一定优越性的计算公式，对实际工程中振动体系固有频率的计算有重要的意义。 关键词：振动体系，固有频率，计算公式 中图分类号：ＴＵ３１１．１ 文献标识码：Ａ ０ 引言 便得多。用瑞利法求固有频率，必需知道振型函数Ｕ（ ），而精确 ）来进行计 在结构振动体系问题的研究中，计算系统的各阶固有频率， 的Ｖ（ｘ）事先往往不知道，所以必须先假定一个Ｕ（尤其是基本固有频率，是十分重要的。相应的计算多自由度振动 算，由此得到的结果就有一定的近似性。一般来说，很难精确地 故利用假设高阶振型的方法用上式求得的 系统的固有频率方法有很多种，主要有矩阵迭代法、瑞利法、邓柯 假设出高阶振型函数，往往误差较大，因此瑞利法通常只计算基本频率。通常 莱法、传递矩阵法、变换法（Ｊａｃｏｂｉ法、Ｇｉｖｅｎｓ法、ＱＲ法）、子空间迭 高阶频率，代法、模态综合法等…。由于计算机和有限元软件的快速发展， 情况下可以取结构在某种静荷载作用下的挠曲线（弹性曲线）作为 振型曲线。 虽然目前我们可以借助于它们计算很复杂的结构，但是在某些场 合基频的计算仍使用一些简单的方法。比如，在实用中经常需要 １．２邓柯莱法 邓柯莱法主要用于计算系统的第一频率，对于ｎ个自由度体 迅速得到近似结果，作为初步设计和精确计算的依据。因此，寻 邓柯莱公式的一般形式为 ： 求简捷而又具有一定精度的近似计算方法具有十分重要的实际 系，意义。 １ 一∑６一ｍ （２） １计算公式分析 １．１ 瑞利法 其中，６ 为系统的柔度系数。动力分析中常常要求在改变体 系的质量、刚度参数时，对系统的基频做出迅速的估算，邓柯莱 瑞利法是根据能量守恒定律建立起来的，故也称能量法。如 公式对此给出方便的计算。设原多自由度体系的基频为ｇｏ ，各 果体系上有ｎ个集中质量ｍ，设以Ｖ（ｘ ）表示 点的振幅，则振型 质点质量的增量为Ａｍ ，则按邓柯莱公式质量增加后体系的基 函数可表示为： 频ｇｏ １为： Ｉ Ｅｌ［ （ ）］ ｄｘ， 甜 ＝＿—— ——— ———一 甜 ————————— ——一 （１）Ｌ Ｊ 去 ＋Ａｍ ） 击＋ Ａｍ （３） Ｊ ｍ（ ） （ ）ｏｋ＋∑ （ ） 其中， 为抗弯刚度；ｏ为固有频率。由上式计算固有频率 ｇ从上式可以看出，邓柯莱公式是在左端略去高频项得到的， 因而它给出的基频将低于实际值。 ３文献［４］计算方法 时，仅涉及到积分和求和，所以比直接求解自由振动微分方程方 １．３）规划构建了高中压成环的高效、安全的供气系统，提高了 城乡人民生活水平，为实现城市现代化奠定了基础。 参考文献： 规划［Ｚ］． 供气保障率，方便了城乡居民生活，改善了城乡居住环境，提高了 ［３］ 山西省城乡规划设计研究院．临汾市城市燃气专项规划［ｚ］． ［４］ 资源型城市转型发展中的城乡空间统筹规划研究［Ｍ］．太 原：山西经济出版社。２００９． ［１］ 中国城市规划设计研究院、临汾市．临汾市城市总 ［５］ 中国能源发展报告［Ｍ］．北京：社会科学文献出版社，２０１０． 体规划［ｚ］． ［２］ 山西省发展和改革委员会．山西省“四气”产业一体化发展 ［６］ “西气东输”中天然气合理应用方式研究［Ｍ］．北京：中国建 筑工业出版社．２００８． Ｓｔｕｄｙ ｏｎ Ｌｉｎｆｅｎ ｕｒｂａｎ－ｒｕｒａｌ ｇａｓ ｐｌａｎｎｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ＬＵ Ｇｕａｎｇ－ｙｉｎｇ （Ｓｈａｎｘｉ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆＵｒｂａｎ—Ｒｕｒａｌ Ｐｌａｎｎｉｎｇ＆Ｄｅｓｉｇｎ，Ｔａｉｙｕａｎ ０３０００１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｔａｒｔｉｎｇ ｆｒｏｍ ａｓｐｅｃｔｓ ｏｆ ｒｅｇｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ，ｕｒｂａｎｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ ｈｅａｌｔｈ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ，ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｄｅｓｃｒｉｂｅｓ ｔｈｅ ｇａｓ ｓｔａｔｕｓ ｉｎ Ｌｉｎ－ ｆｅｎ ｃｉｔｙ，ａｎａｌｙｚｅｓ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｉｎ ｇａｓ ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ，ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ｓｃａｌｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ，ｇａｓ ｓｏｕｒｃｅ ｐｌａｎｎｉｎｇ ａｎｄ ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ ｓｙｓ— ｔｅｍ ｐｌａｎｎｉｎｇ，ａｎｄ ｆｉｎａｌｌｙ ｄｒａｗｓ ｓｏｍｅ ｂｅｎｅｆｉｃｉａｌ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｇａｓ ｐｌａｎｎｉｎｇ，ｒｅｓｏｕｒｃｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｃｉｔｙ，ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ，ｕｒｂａｎ—ｒｕｒａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ 收稿日期：２０１３－０５—１８★：陕西省自然科学基金资助项目（项目编号：ＳＪ０８Ｅ １０） 作者简介：冷冰林（１９８４．），男，硕士；颜祥程（１９８４－），男，在读硕士；林可心（１９８６－），女，硕士 第３９卷第２１期 ２ ０ １ ３年７月 冷冰林等：振动体系固有频率计算公式分析 ・２１・ 该种计算系统固有频率方法的表达式如下 ： Ｏ ∞。 ／【 ｄＩ 一（ｎ一１）（∑ ／ｍ） （４） ［ｍ］ ２ｍ ０ 其中， 为刚度矩阵的对角元素；ｄｉ，ｉ为系统柔度矩阵的对角 元素；ｎ为自由度。这种方法同时需要刚度矩阵和柔度矩阵的对 角元素，因而使用起来不是很方便。虽然当刚度矩阵和柔度矩阵 ＝ 均为已知时，乘法运算量为２ｎ＋１个，但是从刚度矩阵变到柔度 下∑ Ｊｌ ９ １ｌ６ｌ 矩阵或者相反过程，其计算量都很大。 一 １．４文献［５］计算方法 一 Ｉ ２３ —２２ ９ Ｉ ３２－２２通过查阅文献［５］，可以得到计算系统固有频率的计算公式 ９ ２３ 如下 ： Ｉ 一２２ ｌｌ 。 （５） 其中，ｄｉ． 系统柔度矩阵的元素；ｍ 为系统在第ｉ个节点的 表１ 算例的各种计算方法结果的比较 质量，ｍ ＝ｍ“。用此公式计算基频时，不要选择基频振型，也不 方法 精确解 瑞利法 邓柯莱法 文献［４］法 文献［５］法 文献［６］法 文献［７］法 ４．０２４ ８ ４．０６８ ４ ３．９１９ ２ ３．９９２ ０ ４．０２２ ９ ４．０２５ ６ ４．Ｏ３８ ０ 要对挠度矩阵求逆，它所需要的计算量为ｎ ＋ｒｔ＋１。 频率 ０ 瓜 １．５文献［６］计算方法 ３ ＾、／瓜 √ 匾 √ 陌 √ 匾 厦３ 文献［６］提供的算法是基于瑞利法而导出的计算多自由度系 误差／％ １．１ ２．６ ０．８２ Ｏ．０５ ０．０２ ０．３２ 统振动基频的新算法，计算公式如下 ： 从表１的计算结果可以看出，以上所列的计算公式都能很好 的计算出系统的振动频率，其中文献［５］和文献［６］所计算的结果 （６） 非常接近实际，误差范围在０．ｏ５％以内。瑞利法以及文献［４］和 文献［７］所示的计算方法也能较好的算出系统的频率，误差范围 其中， ＝∑ ｄｉｄ，ｄ √为系统柔度矩阵的元素； 为系统在 在１％左右。邓柯莱法的误差稍微大点，但也没有超过３％。因 第ｉ个节点的质量，／／＇Ｚ ＝ｍ“。估计系统基频时首先计算 ，然后 此，我们在实际工程中可以运用以上所列的各种计算方法来估算 代入上式进行计算。不计算最后一个开方，它所需要的计算量为 振动系统的固有频率。 ｎ ＋ｎ＋１。这种方法具有计算简便，无需假定振型的优点，特别 ３结语 适用于容易得到柔度矩阵的情形。 通过对以上几个计算公式的分析以及计算结果的对比，我们 １．６文献［７］计算方法 可以得到以下结论： 文献［７］是对多自由度无阻线性正定系统固有频率的特征方 １）每种计算方法各有其特点。瑞利法需要假设振型函数，所 程利用根与系数的关系，推导出来的一个计算多自由度系统／＇ｇ阶 得的计算结果都比精确值偏大，这是能量法的一个特点；邓柯莱 固有频率的简便公式，其表达式为 ： 法公式是略去了高频项得到的，计算结果低于实际值；文献［４］计 ２ｎｔ 丁１［骞鲁 鲁） 一４骞（ 一笠ｍｌｍｊｌ１ 算公式同时需要刚度矩阵和柔度矩阵的对角元素，计算量比较 大；文献［５］计算基频时不要选择基频振型，也不要对挠度矩阵求 逆；文献［６］的计算公式特别适用于容易得到柔度矩阵的情形；文 （７） 献［７］的计算公式可以计算多阶自由振动系统的固有频率。 其中，Ｐ为系统的固有频率；ｋｏ为系统刚度矩阵的元素；ｍ 为 ２）用以上的计算公式计算系统的固有频率，所得的结果都很 质量矩阵的元素，其中质量阵为一对角阵，刚度阵为一对称阵。 接近实际情况，虽然有些公式计算起来比较麻烦，但也是在可以 上式根号前取正号为ｎ阶，根号前取负号为／－ｇ一１阶。当ｎ＝２时 接受的范围之内。 即为二自由度振动系统固有频率的精确计算公式。当ｎ＝３时， ３）从以上的计算结果我们还可以看出，尽管存在一定的误 利用上式可以计算出二、三阶固有频率。 差，但相对而言，文献［５］和文献［６］所计算的结果非常接近实际 ２算例分析与讨论 情况，尤其是文献［６］计算的结果误差更小，精度很高。 如图１所示为简支梁，在四等分处有三个圆盘，质量分别为 参考文献： ｍ，２ｍ，３ｍ。已知轴长为ｆ，弯曲刚度为 ，忽略轴质量和圆盘转动 ［１］ 郑兆昌．机械振动（上册）［Ｍ］．北京：机械工业出版社， 惯量，求梁横向振动的基频。 １９８０：１８８—３１０． ［２］ 刘晶波．结构动力学（土木工程研究生系列教材）［Ｍ］．北 京：机械工业出版社。２００５． ［３］ 徐赵东，马乐为．结构动力学［Ｍ］．北京：科学出版社，２００７． ［４］ 张春良．一种计算固有频率的新方法［Ｊ］．机械，１９９５，１２ （５）：２４＿２７． ［５］ 郭志勇，鹿洪禹，李建安，等．计算基频的一个简便公式［Ｊ］． 图１简支梁模型 西安矿业学院学报，１９９９，１９（４）：３６８－３７０． 由题目可以算得振动系统的质量矩阵［ｍ］、柔度矩阵［ｄ］、刚 ［６］ 陈奎孚，张森文．估计多自由度系统振动基频的一个算法 度矩阵［ｋ］分别为： ［Ｊ］．机械强度，２００３，２５（２）：１４１－１４３． ・２２・ 第３９卷第２１期 ２ ０ １ ３年７月 山 西 建 筑 ＳＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨⅡ ＣＴＵＲＥ Ｖｏ１．３９ Ｎｏ．２１ Ｊｕ１． ２０１３ 文章编号：１００９－６８２５（２０１３）２１—００２２－０３ 清河文化展览馆结构设计 陈 飞 李中军 张金库摘邢福国 １１６０２３） （大连理工大学土木建筑设计研究院有限公司，辽宁大连要：从基础选型、结构布置、计算分析、构造措施等方面，介绍了清河文化展览馆结构设计的主要内容，对文化展览馆与影剧院 类重要部位的选型与构造提出了见解，并建议对此类结构进行罕遇地震作用下的弹塑性分析，以加强多遇地震结构设计中的薄弱 环节。 关键词：展览馆，框架一剪力墙，弹塑性分析 中图分类号：ＴＵ３１８．１ 文献标识码：Ａ １ 工程概况 ２结构方案 基础方案 清河文化艺术体育中心位于羊绒之都——河北省邢台市清 ２．１根据地勘报告，结合本工程的实际情况及当地习惯与经济 河，是由体育馆、图书档案馆与博物馆、文化展览馆三部分组成的 本工程采用长螺旋泵压混凝土灌注成桩复合地基，桩身混凝 综合性建筑群。本文主要介绍其中文化展览馆的结构设计。文 性，桩径４００ ｌａｉｎ，有效桩长１８．０ ｍ，桩顶褥垫层采用厚度 化展览馆建筑面积１８ ０００ ｒｎ２，包括１ ５００个固定座席的剧场和会 土强度Ｃ２０，ｎ、级配砂石最大粒径不大于３０ ｍｍ的碎石，地基持力层为 议场馆两部分，地下１层，地上３层，其中门厅、观众厅、舞台多处 为２００ Ｂｉ０ ｋＰａ），桩端持力层为④层粉土（－ ＝１３０ ｋＰａ）， 空旷，侧台上方错层，大会议室、观众厅处均为跨层斜板，如图１ ①层粉土Ｏ ＝１１所示。本工程抗震设防烈度６度，抗震设计地震分组属第三组， 地基处理的素混凝土桩置换率为７．５％，单桩承载力特征值不低 ｋＮ，复合地基承载力特征值不小于３００ ｋＰａ。 场地土类别Ⅲ类，抗震设防类别为乙类，基本风压：‰＝０．３０ ｋＮ／ｌｌｌ２， 于４７５地面粗糙度类别：Ｂ类。 ２．２主体结构方案 文化展览馆较多区域楼板开洞、错层、跨层，楼板不连续；房 间功能复杂，荷载大小不一且分布不均，刚质偏心、扭转不规则； 同时，前厅与大厅、大厅与舞台连接处的横墙，应加强侧向刚度， 设置一定数量的钢筋混凝土抗震墙 ｊ。综上，本工程采用钢筋混 凝土框架一剪力墙结构，以改善抗震性能。剪力墙设置在建筑物 外围楼梯间与建筑错层、开大洞部位周边，以提高结构抗扭刚度， 增强结构薄弱部位连接，同时又保证建筑开大洞形成的各分块结 构中剪力墙的均匀布置。 ａ）二层建筑平面图 图２是一个典型的结构平面布置图。 ２．３屋面结构方案 大会议室、观众厅上方屋面采用上弦支承网架，屋面采用金 属轻质材料，舞台上方为实腹式变截面钢梁，铺设轻钢檩条彩色 压型钢板屋面。 ３结构计算 ｂ）建筑主剖面图 鉴于本工程的复杂性，采用ＰＭＳＡＰ进行整体结构计算，同时 采用ＰＫ辅助计算，并采用ＥＰＤＡ＆ＰＵＳＨ对结构进行罕遇地震作用 学院学报，２００３（３）：９ 图１建筑布置图 ［７］ 郭志勇．计算ｎ阶固有频率的一个简便公式［Ｊ］．西安科技 Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ★ ＬＥＮＧ Ｂｉｎｇ－ｌｉｎ。 ＹＡＮ Ｘｉａｎｇ－ｃｈｅｎｇ ＬＩＮ Ｋｅ－ｘｉｎ。 （１．Ｍａｃｈｉｎｅ ｃｎ Ｐｌｃｅ，Ｇｕａｎａｇｚｈｏｕ Ｍｉｌｉｔａｒｙ Ｒｅｇｉｏｎ Ａｉｒ Ｆｏｒｃｅ Ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ ５１００５２，Ｃｈｉｎａ； ２．Ａｅｒｏｓｐａｃｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ａｉｒ Ｆｏｒｃｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， ’ａｎ ７１００３８，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｓｕｍｍａｒｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ，ａｎｄ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｗｉｔｈ ａｃｔｕａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｍａｄｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ，ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｗｉｔｈ ｃｅｒｔａｉｎ ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ，ｈａｄ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｃｅ ｔｏ ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆ ｏｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎ ａｃｔｕａｌ ｐｒｏｊｅｃｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ，ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ，ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ 收稿日期：２０１３—０５—１５ 作者简介：陈飞（１９８２．），男，硕士，工程师：李中军（１９５８一），男，博士，研究员；张金库（１９６９－），男，博士，高级工程师 邢福国（１９７５－），男，高级工程师
