最好2015届高三数学期末考试试卷

数 学

注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟， 全卷满分为160分．一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）

1．已知复数为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限．

2．已知全集，，则的子集个数为▲ ．

3．若是定义在R上的函数，则“”是“函数为奇函数”的 ▲ 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）．4．某班要选1名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为 ▲ ．

5．执行如图所示的程序框图,若输出的值为11,则输入自然数的值是 ▲．

6． 直线和函数的图象公共点的个数为▲ ．

7．已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则 ▲ ．

8．若一直角三角形的三边长构成公差为2的等差数列，则该直角三角形

的周长为 ▲ ．

9．将函数的图象向左平移个单位，可得到函数的图象，则的最小值为▲ ．

10．已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为▲ ．

11． 已知函数 则函数的值域为 ▲ ．

12．若点满足约束条件 且点所形成区域的面积为，则实数的值为 ▲ ．13．若函数与函数的定义域为，它们在同一点有相同的最小值，则 ▲ ．

14．已知实数，若以为三边长能构成一个三角形，则实数的范围为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

15．已知，与的夹角为．（1）求的值；

（2）若为实数，求的最小值．

16．在正四面体ABCD中，点F在CD上，点E在AD上，且DF∶FC=DE∶EA=2∶3．

证明：（1）EF∥平面ABC；

（2）直线BD⊥直线EF．

17．已知函数，．

（1）若，求函数的单调增区间；

（2）若时，函数的最大值为3，最小值为，求的值．

18．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，其前项和为，且．

（1）求数列和数列的通项；

（2）问是否存在正整数，使得成立？如果存在，请求出的关系式；如果不存在，请说明理由．

19．如图，ABC为一直角三角形草坪，其中米，米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案二

方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C；

方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C．

（1）求方案一中三角形DEF面积的最小值；（2）求方案二中三角形DEF面积的最大值．

20．已知函数．

（1）求的单调增区间和最小值；

（2）若函数与函数在交点处存在公共切线，求实数的值；（3）若时，函数的图象恰好位于两条平行直线；之间，当与间的距离最小时，求实数的值．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．一 2．2 3．必要不充分 4． 5．4 6．17． 8．24 9． 10． 11．

12． 13． 14．

二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）

15．解：因为…………………………………………3分 ． ………………………………………………6分（2） ……………………………………………………8分 ．…………………………………………………………10分

当时，的最小值为1，………………………………………………………12分

即的最小值为1． …………………………………………………………14分

16．证：（1）因为点F在CD上，点E在AD上，且DF∶FC=DH∶HA=2∶3， ……1分所以EF∥AC，

………………………………………………………………………………3分

又EF平面ABC，AC平面ABC，

所以EF∥平面ABC．

…………………………………………………………………………6分（2）取BD的中点M，连AM，CM，

因为ABCD为正四面体，所以AM⊥BD，CM⊥BD，……………………………………8分又AMCM=M，所以BD⊥平面AMC，

………………………………………………10分又AC平面AMC，所以BD⊥AC，

……………………………………………………12分又HF∥AC，

所以直线BD⊥直线HF．

……………………………………………………………………14分17．解：（1）因为

…………………………………………2分

． …………………………………………………… 4分且，所以函数的单调增区间为． ………………6分（2）当时，，， ……8分

则当时，函数的最大值为，最小值为．

所以解得． …………………………………10分当时，函数的最大值为，最小值为．

所以 解得． ……………………………………12分综上，或．……………………………………………14分18．解：设等差数列的公差为，则

………………………………………………………2分

解得． …………………………………………………………………4分所以． …………………………………………………………6分（2）因为， ………………………………………7分所以有．………（*）

若，则，（*）不成立，所以，．………9分

若为奇数，①当时，，不成立， …………………………………10分②当时，设，则 ……12分若为偶数，设，则，

因为，所以．……………………………………………………14分综上所述，只有当为大于1的奇数时，．当为偶数时，不存在．

…………………………………………………………16分19．解：（1）在方案一：在三角形AFC中，设，则， …………………………………………2分因为DE∥AC，所以，，

且，即， …………………………………4分

解得， ………………………………………………………………6分所以，

所以当，即时，有最小值． …………………………8分（2）在方案二：在三角形DBA中，设，则，

解得， ……………………………………………………10分三角形CBE中，有，解得， ……………………12分则等边三角形的边长为，…14分

所以边长的最大值为，所以面积的最大值为．……16分20．解（1）因为，由，得，

所以的单调增区间为，……………………………………………………2分

又当时，，则在上单调减，当时，，则在上单调增，

所以的最小值为． …………………………………………………5分（2）因为，，

设公切点处的横坐标为，则与相切的直线方程为：，与相切的直线方程为：，

所以 …………………………………………………………8分解之得，由（1）知，所以． …………………………10分（3）若直线过，则，此时有（为切点处的横坐标），

所以，， ………………………………………………………………11分当时，有，，且，

所以两平行线间的距离，………………………………………12分令，因为，

所以当时，，则在上单调减；当时，，则在上单调增，

所以有最小值，即函数的图象均在的上方，………………13分令，则，

所以当时，，………………………………………………………15分所以当最小时，，．…………………………………………………16分