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《平面向量》综合测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.若 A（ 2，-1），B（-1，3），则 AB 的坐标是 A. (1, 2) B. (-3 , 4) C. (3, 2.与 a= ( 4, 5) 垂直的向量是 A. (-5k,4k)
（）
-4)
D.
以上都不对
()
, 2)
C.
（弍
B. (-10
,--)D. k k
()
(5k, -4 k)
3. △ ABC中 , BC =a, AC =b,则 AB等于
A. a+b
2
5
B.-(
12 3
a+b)
15
C. a-b
D.
b-a
4.化简-(a-b)—丄(2a+4b)+ 三(2a+13b)的结果是
A. _a b B.O
5
()
5
5
C.
11 11 11
5
a+_ b D.
5 5
a— b
5.已知 | p|= 2. 2 ,| q|=3. 条对角线长为 A.15 6.已知 A(2,-2),
B.
p与q的夹角为 ',则以a=5p+2q,b=p — 3q为邻边的平行四边形的一
()
•、15
C. 16
4
D.14
B（4,3）,向量p的坐标为（2 k-1,7）且p // AB,则k的值为
9
19
19
A.-
10
B.
10 C.
10
D.
10
7.已知△ ABC的三个顶点,
A B C及平面内一点P满足PA FB = AB，则点P与厶ABC
的关系是
A. P在厶ABC的内部
C. P是AB边上的一个三等分点
B.
D.
P在厶ABC的外部
P是AC边上的一个三等分点
,M是BC边上一点，且厶ABM勺面积
8. 已知△ ABC的三个顶点，A (1,5) , B(-2,4) , Q-6,-4) 是厶ABC面积的1 ,则线段AM的长度是
4
A.5
B. 85 C. D.
85
A. 3. 2 9.
B.9
0 0 _
C.
设e1, e2是夹角为45°的两个单位向量，且a=e1+2e2, b=2e1+e2,则| a+b|的值（） A.30
B.45
C.60
若 | a|=1, |b |= .2,( a- b)丄 a,则 a
18 9 一2 D. 3,2
10.
与 b 的夹角为
()
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0
D.75
0
11.把-
-个函数的图象按向量a=（二，-2）平移后，得到的图象对应的函数解析式为
3
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y=sin( x+ )-2,则原函数的解析式为
6
A. y=sinx
B.
()
C.
y=cosx y=sin x+2 D. y= -cos x
12. 在厶ABC中, AB=C, BC= a, CA=b,则下列推导中错误的是 A.若a • b<0,则厶ABC为钝角三角形
()
B. 若a • b=0,则厶ABC为直角三角形
C.若a • b=b • c,则厶ABC为等腰三角形 D. 若c • ( a +b+c)=0,则厶ABC为等腰三角形 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上 13. 在厶ABC中，已知|AB| =|Aq =4,且AB・AC =8,则这个三角形的形状是 14. 一艘船从A点出发以2.、3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶， 则船实际航行的速度的大小和方向是 _________ . ___
15. 若向量 a 二(3, _2),b =(21),c =(7,・)，现用 a、b 表示 c,则 c= _______ • 16. 给出下列命题：①若 a+b=0,则a=b=0;
2
2
)
同时河水的流速为2km/h ,
② 已知 A(x1,yJ,B(x2,y2),则 ^AB=(x 空，北 左)；
2 2 2 ③ 已知a, b, c是三个非零向量，若a+b=0,则| a -c|=| b -c |
④ 已知・1 .0, 2 0, e1, e2是一组基底，a=入e +入2^则a与e1不共线，a与◎也不共线； ⑤ 若a与b共线,则a -b=|a| - | b|.其中正确命题的序号是 ________________ . ______________ 三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分, 字说明、证明过程或演算步骤
22题14分，共74分，解答应写出文
)
M、N分别是DC,AB的中点，已知
M
17. 如图,ABCD是一个梯形，AB〃CD,|AB =2|Cq , AB 二a, AD 二b,试用 a、b 表示 DC , BC 和 MN .
D
N
18.设两个非零向量 e1、e2不共线.如果 AB =e1+e2, BC =2e1+8ez, CD =3(ei-e2) ⑴求证:A B D共线;
⑵试确定实数 k,使ke1+e2和8+ke2共线.
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19.
AD⑴求证:ABL AC⑵求点D与向 量AD的坐标.
已知△ ABC中，A(2,4), B(-1,-2), C(4,3), BC边上的高为
20. 已知△ ABC的三个顶点为 A(1,2), B(4,1), C(3,4).⑴求AB边上的中线CM的长；⑵在AB上
取一点P,使过P且平行与BC的直线PQ把 ABC的面积分成4:5两部分，求P点的坐标.
21.
R)垂直时，a+入b的模取得最小值
已知a、b是两个非零向量，证明：当 b与a+入b(入€
22.
f(x)对任意 x€ R,都有 f (1-x)=f (1 + x)成立，设向量 已知二次函数 a=(sin x,2),
b=(2sin x,),
1 2
C=(cos2x,1), d=(1,2)。
(1)分别求a • b和c • d的取值范围;
(2)当x € [0, n ]时，求不等式f(a・ b)>f (c • d)的解集
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参考答案
一、 1-5BCDBA ; 6-10DDADB ; 11-12BD
二、 13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为
— 1 — 1 — 1 1 ,
三、 17. - - DC =— AB =— a BC =b — — a , MN = — a— b
60; 15. a-2b; 16 .①③④
0
2 2' 2 4
18. ⑴••• BD =BC CD =58+5e2=5AB , ••• AB // BD 又有公共点 B, A A B D共线
⑵设存在实数 入 使ke1+e2 =入(er+ke?)
• k=入且k入=1
19. ⑴由 AB AC =0 可知 AB _AC 即 ABL AC ⑵• D( 7,5 ) AD =(?--)
2 2 2 2
20. ⑴ M(-,-/ CM =(2 2 2 2 2
—26
⑵设p( x,y ) 7 注上 电Q」,LA巳/ AP/TB
SBPQC 5 S止BC 9 | AB | 3
3
■ (x -1,y -2)
2 43 (3,-1) . P(3,=) 3
21. 当 b 与 a+入 b(入€ R)垂直时，b • (a+ 入b
| a +入 b |= J/?b2
+2^a_b +a2
=#b2
(&
当)2
+ a2
一(^)2
当入=-a2b
时，| a +入b |取得最小值.
b
•••当b与a+入b(入€ R)垂直时，a+入b的模取得最小值.
2 2
22. (1 ) a • b=2sin x+1 丄 1 c • d=2cos x+1 亠 1
(2)v f(1- x)=f (1 + x)
• f (x)图象关于 x=1 对称
当二次项系数m>0时,f(x)在(1,
•::)内单调递增，
由 f (a • b)>f (c • d) = a • b > c • d,即 2sin 2
x+1>2cos2
x+1 □ 一
一 兀3兀 又T x € [0, n ]
• x€ (—,)
4 4
当二次项系数m<0时,f(x)在(1，•二)内单调递减，
由 f (a • b)>f (c • d) = a • b > c • d,即 2sin 2
x+1<2cos2
x+1
3 ：：
.
又 T x € [0, n ] •- x € [0,)(,如、
4
4
故当n>0时不等式的解集为(一,—);当n<0时不等式的解集为
4 4
4 4
k==1
b)=0,J = -
a=b
•
「
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