天津天津市耀华中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

一、三角函数与解三角形多选题

1．已知函数f(x)(|sinx|cosx)(sinxcosx)，xR，则（ ）



A．fx在0,上单调递减

3

B．fx是周期为2的函数 D．函数fx在(0,2)上有3个零点

C．fx有对称轴 【答案】BD 【分析】

先判断出fx是周期为2的函数，再在给定的范围上研究fx的单调性和零点，从而可判断BCD的正误，再利用反证法可判断C不正确. 【详解】

因为f(x2)|sin(x2)|cos(x2)(sin(x2)cos(x2))fx， 故fx是周期为2的函数，故B正确. 当x0,22时，f(x)sinxcosxcos2x， 322ycosu2x0,因为在0,为增函数， ，而

33

故f(x)cos2x在0,为增函数，故A错误.

3

(sinxcosx)(sinxcosx)037由可得x或x或x，故D正确.

440x24若fx的图象有对称轴xa，因为fx的周期为2，故可设a0,2， 则fxf2ax对任意的xR恒成立，

所以f0f2a即1(|sin2a|cos2a)(sin2acos2a)①， 也有ff2a即1(|cos2a|sin2a)(cos2asin2a)②， 22也有ff2a即1(|cos2a|sin2a)(cos2asin2a)③， 22cos2asin2a0 ， 由②③可得cos2asin2acos2asin2a故sin2a0，由①②可得cos2a1，故a3π. 或a222若aπ，则213133f， 622222211313371f而f， 62222226319若a，则f262131331f 22226222这与fxf2ax对任意的xR恒成立矛盾， 故D不成立. 故选：BD. 【点睛】

方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究在一定的范围内进行讨论.

2．已知函数f(x)sinx（其中，0，||），2f0，83f(x)f恒成立，且f(x)在区间,上单调，则下列说法正确的是（ ）

12248A．存在，使得f(x)是偶函数 C．是奇数 【答案】BCD 【分析】

B．f(0)f34 D．的最大值为3

3f(x)f根据得到2k1，根据单调区间得到3，得到1或3，故

8CD正确，代入验证知fx不可能为偶函数，A错误，计算得到B正确，得到答案. 【详解】

31k3f0，f(x)fT，kN， ，则8882428故T2，2k1，kN， 2k1f0，则f(x)sin0，故k，k，

8888kZ，

当x,时，xk,k，kZ，

6122424T,上单调，故，故T，即8，

24128241224f(x)在区间0243，故

62，故3，

综上所述：1或3，故CD正确；

1或3，故误；

8k或3k，kZ，fx不可能为偶函数，A错8当1时，f(0)sinsink，83f433sinksinkf(0)f，故； 48843k， 8当3时，f(0)sinsin3f4393sinksinkf(0)f，故， 488434，B正确； 综上所述：f(0)f故选：BCD. 【点睛】

本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

3．在ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c.已知(bc):(ca):(ab)4:5:6，下列结论正确的是( ) A．a:b:c7:5:3 C．

B．ACAB0

D．若bc8，则ABC面积是

ABC 753153 4【答案】ABD 【分析】

设bc4k,ca5k,ab6k(k0)，求出a,b,c的值，可得A；由正弦定理，

sinA:sinB:sinCa:b:c7:5:3，可判定C，由余弦定理cosA，ACABbccosA0，可判定B；由bc8，结合A结论，可计算b,c, 1SABCbcsinA，可判定D

2【详解】

设bc4k,ca5k,ab6k(k0)，则a12753k,bk,ck ，故 222a:b:c7:5:3，即A选项正确；

25292492kkkbca1444，故ACABbccosA0，B选又cosA532bc22kk22项正确；

222由正弦定理，sinA:sinB:sinCa:b:c7:5:3，C选项错误； 若bc8，则k2，故b5,c3,A120，所以SABC项正确 故选：ABD 【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数算能力，属于较难题

o1153，D选bcsinA24

4．已知函数fxAsinxBA0,0,0π的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．

x π 33π 27π 12x fx 0 2 π 25 π 2π A．函数解析式为fx3sin2x5π2 62π 3B．函数fx图象的一条对称轴为xC．5π,0是函数fx图象的一个对称中心 12π个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 12D．函数fx的图象左平移【答案】ABD 【分析】

首先根据表格，利用最值求A和B，再根据周期求，以及根据最小值点求，求得函数的解析式，再分别代入x的解析式. 【详解】

25和x，判断BC选项，最后根据平移规律求平移后

123由表格可知，B2， 函数的最大值是5，所以ABA25，即A3， 当x

3

时，函数取得最小值，

最小值点和相邻的零点间的距离是当x712，所以2， 1234443

时，23352k,kZ，解得：2k，0， 262，故A正确； 55，所以函数fx3sin2x66B.当x22时，23325x，能使函数取得最小值，所以是函数623的一条对称轴，故B正确； C.当x55550y2时，2，此时，所以,2是函数的一个对称126121212中心，故C不正确； D.函数向左平移

个单位后，再向下平移2个单位后，得

5y3sin2x223sin2x3sin2x，函数是奇函数，故D正

126确.

故选：ABD 【点睛】

思路点睛：本题考查yAsinωxφ的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数yAsinωxφ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线xx0或点x0,0是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证fx0的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x的范围，验证次区间是否是函数ysinx的增或减区间．

5．对于函数f(x)sinxcosx2sinxcosx，下列结论正确的是（ ） A．把函数f(x)的图象上的各点的横坐标变为原来的象，则是函数y=g(x)的一个周期

3B．对x1,x2,，若x1x2，则fx1fx2

21倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图2C．对xR,fxfx成立 44D．当且仅当x【答案】AC 【分析】

4k,kZ时，f(x)取得最大值21

tsinxcosx2sinx根据三角函数的变换规则化简即可判断A；令，

4ftt2t1，判断函数的单调性，即可判断B；代入直接利用诱导公式化简即可；首

先求出ft的最大值，从而得到x的取值； 【详解】

解：因为f(x)sinxcosx2sinxcosxsinxcosxsinxcosx1，令

2tsinxcosx2sinx，所以t2,2，所以ftt2t1， 4对于A：将f(x)sinxcosx2sinxcosx图象上的各点的横坐标变为原来的

1倍，则2g(x)sin2xcos2x2sin2xcos2x，所以

gxsin2xcos2x2sin2xcos2x

sin2xcos2x2sin2xcos2xgx，所以是函数y=g(x)的一个周期，故A正确；

对于B：因为x,则t3257x,，所以， 44452sinx2,1在,4453,上单调递减，在上单调递增， 421215又fttt1t，对称轴为t，开口向上，函数fttt122422在2,1上单调递减， 所以函数f(x)在,故B错误； 对于C：f5453,上单调递增，在上单调递减， 42xsinxcosx2sinxcosx 44444fxsinxcosx2sinxcosx 44444sinxcosx2sinxcosx

24242424sinxcosx2sinxcosxfx，故C正确；

44444152,2因为fttt1t，t，当t2时ft取得最大值2422ftmax21，令t2sinx2，则sinx1，所以

44x422k,kZ，解得x42k,kZ，即当x42k,kZ时，函数

fx取得最大值21，故D错误；

故选：AC 【点睛】

本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令tsinxcosx，将函数转化为二次函数；

6．已知函数f(x)2sin2x，则（ ） 6B．f(x)的图像关于直线x

A．函数f(x)的最小正周期为 C．f(x)的图象关于点【答案】ABD 【分析】

借助于f(x)2sin2x对于A：利用T6

对称

,0对称 3D．f(x)在区间(0,)上有两个零点

的图像及y=sinx的性质，对ABCD四个选项一一验证： 62求周期；

对于B：利用图像观察，也可以根据f()2判断；

6对于C：利用图像观察，也可以根据f()1否定结论；

3对于D：利用图像观察，可以得到f(x)在区间(0,)上有两个零点. 【详解】

对于A：函数yfx的周期T对于B：∵ f()2sin222故A正确； 2662，∴f(x)的图像关于直线x对称，故B正66

1，故f(x)的图像不经过点确；

对于C：∵ f()2sin23352sin66,0，,0也不是其对称中心，故C错误； 33对于C：由图像显然可以观察出，f(x)在区间(0,)上有两个零点.也可以令

511fx00x，即2sin2x0，解得：x或，故f(x)在区间

61212(0,)上有两个零点，故D正确.

故选：ABD 【点睛】

三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即yAsinxB的结构：

（1）画出图像，利用图像分析性质；

（2）用tx借助于ysinx或ycosx的性质解题.

7．设函数f(x)sin(x论成立的有（ ）

42有且仅有5个零点，则下列结)(0)，已知f(x)在0，2有且仅有2个零点 A．yf(x)1在0，B．f(x)在0，单调递增

23C．的取值范围是，

88D．将f(x)的图象先右移

1923个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数41g(x)sin(x)

2【答案】BC 【分析】

2有且仅有5个零点，求得的首先利用图象直接判断A选项；再利用函数f(x)在0，范围，并利用整体代入的方法判断B选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】

A.如图，0,2上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是

yfx1在0,2上的3个零点；

B.x0,2时，tx点，

则52,2 若函数f(x)在0，2有且仅有5个零4441923，当x0，时，tx,，

448882346，得

此时函数单调递增，故BC正确； D. 函数fx的图象先右移

个单位后得到4ysinxsinx，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到

44441gxsinx，故D不正确；

244故选：BC 【点睛】

关键点点睛：本题的关键是求出的取值范围，首先根据函数在区间0,2有5个零点，

首先求tx4的范围，再分析ysint的图象，求得的范围.

8．已知函数f(x)(sinxcosx)22cos2x，则（ ） A．f(x)的最小正周期是 B．f(x)的图像可由函数g(x)C．x

2sin2x2的图像向左平移

个单位而得到 84

是f(x)的一条对称轴

D．f(x)的一个对称中心是,0

8【答案】AB 【分析】

首先化简函数fx法判断选项. 【详解】

2sin2x2，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方

4fx1sin2xcos2x12sin2x2，

4A.函数的最小正周期T2，故A正确； 2B.根据图象的平移变换规律，可知函数g(x)到fxC.当x

2sin2x2的图像向左平移

个单位而得82sin2x22sin2x2，故B正确；

84时，24

443，不是函数的对称轴，故C不正确； 4D.当x2时，0，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是

884,2，故D不正确. 8故选：AB 【点睛】

思路点睛：本题考查yAsinωxφ的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数yAsinωxφ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线xx0或点x0,0是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证fx0的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数

的单调区间时，也可以求x的范围，验证此区间是否是函数ysinx的增或减区间.

二、数列多选题

9．设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是（ ） A．若d0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d0

C．若对任意nN*，均有Sn0，则数列{Sn}是递增数列 D．若数列{Sn}是递增数列，则对任意nN*，均有Sn0 【答案】ABC 【分析】

由等差数列的求和公式可得Snna1nn1dddn2a1n，可看作关于n的二222次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得. 【详解】

由等差数列的求和公式可得Snna1nn1dddn2a1n， 222选项A，若d0，由二次函数的性质可得数列Sn有最大项，故正确； 选项B，若数列Sn有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d0，故正确； 选项C，若对任意nN*，均有Sn0，对应抛物线开口向上，d0， 可得数列Sn是递增数列，故正确；

选项D，若数列Sn是递增数列，则对应抛物线开口向上， 但不一定有任意nN*，均有Sn0，故错误. 故选：ABC. 【点睛】

nn1dddn2a1n可看成本题考查等差数列的求和公式的应用，Snna1222是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.

12*aaaanNa10．（多选题）数列n满足n1，10,，则以下说法正确nn2的为（ ） A．0an1an

2222B．a1a2a3ana1

C．对任意正数b，都存在正整数m使得

1111b成立 1a11a21a31am1 n1【答案】ABCD 【分析】

D．an对于A，结合二次函数的特点可确定正误；

对于B，将原式化简为a1an1a1，由an10得到结果； 对于C，结合a1范围和A中结论可确定果；

对于D，利用数学归纳法可证得结论. 【详解】

211112aa0,对于A，an1an，若，则anann1n0,， 2424111n，由此判断得到结1a11a21an又a10,1，可知an0，an10， 22又an1anan0，0an1an，A正确； 2对于B，由已知得：ananan1，

22a12a2ana1a2a2a3anan1a1an1a1，B正确；

对于C，由a10,11112， 1a1A及中结论得：，n1an22111n，显然对任意的正数b，在在正整数m，使得mb，1a11a21an1111b成立，C正确； 此时

1a11a21a31am对于D，（i）当n1时，由已知知：a1（ii）假设当nkkN1成立， 2时，a2n1成立， n1211112则an1an， anan24n1n1又1n121111110，即， 22n1n2n2n1n1n1n2an11， n2综上所述：当nN时，an1故选：ABCD. 【点睛】

1，D正确. n2关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键在于能够熟练应用不等式的性质与函数的性质进行化简辨析，同时对于数列中的不等式证明问题，可采用数学归纳法进行证明.