高考专题训练专题复习——求轨迹方程人教版

本周教学内容： 专题复习一一求轨迹方程 〔一〕求轨迹方程的一般方法：

1,待定系数法：如果动点 P的运动规律符合我们的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、 抛物线〕的定义,那么可先设出轨迹方程,再根据条件,待定方程中的常数,即可得到轨 迹方程,也有人将此方法称为定义法.

2,直译法：如果动点 P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点 P满足的等量关系易于建立,那么可以先表示出点

坐标〔x, y〕表示该等量关系式,即可得到轨迹方程.

3 .参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,那么可寻求引发动点 量t,以此量作为参变数,分别建立 〔t〕,进而通过消参化为轨迹的普通方程

F 〔x, y〕 =0.

P运动的某个几何

P点坐标x, y与该参数t的函数关系x=f 〔t〕, y= g

P所满足的几何上的等量关系,再用点 P的

4 .代入法〔相关点法〕：如果动点P的运动是由另外某一点 P'的运动引发的,而该点的 运动规律,〔该点坐标满足某曲线方程〕,那么可以设出 P 〔x, y〕,用〔x, y〕表示 出相关点P'的坐标,然后把 P'的坐标代入曲线方程,即可得到动点 〔二〕求轨迹方程的考前须知：

1 .求轨迹方程的夫〞在纷繁复杂的运动变化中,发现动点 的等量关P的运动规律,即 P点满足 系,因此要学会动中求静,变中求不变.

2 .轨迹方程既可用普通方程F〔x,y〕 0表示,又可用参数方程x \"\"〔t为参数〕 y g〔t〕 来表示,假设要判断轨迹方程表示何种曲线,那么往往需将参数方程化为普通方程. 3 .求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,

既要检验是否增解,〔即以该方程的某

些解为坐标的点不在轨迹上〕,又要检验是否丢解.〔即轨迹上的某些点未能用所求的方程表 示〕,出现增解那么要舍去,出现丢解,那么需补充.检验方法：研究运动中的特殊情形或极端 情形. 【典型例题】

P的轨迹方程.

2 2

例1.点B是椭圆彳 4 1上的动点,A 〔2a,0〕为定点,求线段AB的中点M的 a b

轨迹方程.

分析：题中涉及了三个点 A B、M,其中A为定点,而B、M为动点,且点 B的运动是 有规律的,显然 M的运动是由B的运动而引发的,可见 M B为相关点,故采用相关点法求 动点M的轨迹方程.

解：设动点M的坐标为〔x, y〕,而设B点坐标为〔xo, yo〕 那么由M为线段AB中点,可得

X 2a - x 2 V.y 0 F

x0 2x 2a V. 2y

即点B坐标可表为(2x-2a, 2y) 又点B(x.,y0)在椭圆勺4 1上 a b

2

2

x. a

2

2

至1 b

2

2

(2x 2a)2

从而有 - ---- —

(2y)2

a 4(x a)2

2 a

1 1

整理,得动点M的轨迹方程为

动点M的轨迹是以(a,0)为

长半轴为亘,短半轴为b的椭圆

2 2

例2.动椭圆过定点M(1,2),并且以y轴为准线,离心率为工,求椭圆的左顶

2

点A的轨迹方程.

分析：先画出示意图,如下图：根据条件：动椭圆过 点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率.

M (1, 2)且以y轴为其准

即可发现间接涉及动顶点 A的等量

线,可见该椭圆位于 y轴右侧,注意到点 M在椭圆上,故联想到椭圆的几何性质：椭圆上任 一点到焦关系.只需用 A的坐标先表示出左焦点 F的坐标,即可列出轨迹方程.

斛：设A(x, y),左焦点为F (x0, y),那么由离心率e 一,及点A在椭圆上,

1

2

| AF | 1

1

L

x0 x 1 2 x 2

可得 ----- 即 ------------

|AK|

x0

3 3 、

-x, F(-x, y) 2 2

又; M在椭圆上,

3

IMF| 1 即』2x) (2 y) 1 |MN | 2

2 2

----- 即 --------- -------------------- —,

1 2 (x 2)2 9

, I

1

4

3

c

化简,得 9(x |)2 4(y 2)2 1,即 一13— (y 1 )

该方程表示以(2,2)为,长半轴为 1,短半轴为1的椭圆

3

例3.过点P (2, 点,求线4)作两条互相垂直的直线

段AB的中点 M的轨迹方程.

2

l 1, 12,假设l 1交x轴于A点,l 2交y轴于B

分析1:设M (x, v),由11-L 12,联想到两直线垂直的充要条件： 的坐标之间的联系.

解法 1 :设 M (x, v),: M为 AB中点,・•. A (2x, 0), B (0, 2y). 又1 1, 1 2过点P (2, 4),且1」1 2

PA! PB,从而 kPA- kPB= — 1, 而kpA

kk2=—1,即可

列出轨迹方程,关键是如何用 M点坐标表示A、B两点坐标.事实上,由 M为AB的中点,易 找出它们

4 2y PB

2 2x 4 4 2y ----------------- -- ----------------- 2 2x 2

2 0

2y 5 0

1,化简,得x

注意到11,x轴时, 12,y 轴,此时 A (2, 0), B (0, 4)

中点M (1, 2),经检验,它也满足方程 x+ 2y-5=0 综上可知,点 M的轨迹方程为x+2y —5=0.

分析2：解法1中在利用k1k2=- 1时,需注意k1、k2是否存在,故而分情形讨论,能 否避开讨论呢？只需利用^ PAB为直角三角形的几何特性：

_ |MP|

1 , _ . |AB| 2

PAB为直角三角形

解法 2:设 M (x, y),连结 MP 那么 A (2x, 0), B (0, 2y), •••1」12,

(x 2)2 (y 4)2

1 , 由直角二角形的性质,| MP | — | AB | 2 1

. (2x)2 (2y)2 2

化简,得x+2y-5=0,此即M的轨迹方程. 分析3:从运动的角度观察发现,点

M的运动是由直线li引发的,可设出li的斜率k

作为参数,建立动点 M坐标(x, y)满足的参数方程.

解法3:设M (x, y),设直线li的方程为y-4=k (x-2), (kw.) 由li

l2,那么直线l2的方程为y 4 i(x 2)

1 k

・•.M为AB的中点,

4〜

li与x轴交点A的坐标为(2 -,0), k

2 、

%与y轴交点B的坐标为(0,4 -), k

2

k

(k为参数)

消去 k,得 x + 2y —5=0.

另外,当k=0时,AB中点为M (1, 2),满足上述轨迹方程; 当k不存在时,AB中点为M (1, 2),也满足上述轨迹方程.

综上所述,M的轨迹方程为x+2y-5=0o

例4.定点 A (2, 0),点Q是圆x2+y2=1的动点,/ AOQ勺平分线交 AQ于M当 Q点在圆上移动时,求动点

M的轨迹方程.

分析1：由三角形的内角平分线的性质,知上幽理|

|MQ | |OQ|

而 |OA| 2,|OQ| 1,故曲山 2, |MQ | 即点M分AQ成比为

2,

Q的坐标,因 Q M为相关点,(Q

假设设出M (x, y),那么由分点坐标公式,可表示出点 点运动导致点M运动),可采用相关点法求点 M的轨迹方程.

程.

解法1:设M (x, y),

由三角形内角平分线性 质定理,得 口四 空J 2, |MQ| |OQ| . M在AQ上,

・,点M分AQ成比为

2,

又A(2,0)假设设点Q的坐标为(x0, y0),那么

2 2 Xo

x

1 2 0 2 yo y

1 2

3x 2 Xo

2 3y y. 2

而点Q(x.,y0)在圆x2 y2 1上

x.2 y°2 1,即(3^)2 (当2 1,化简,得(x -)2 y2 2 点M的轨迹方程为(x 2)2 y2 4.

3 9

2 3

分析2：由三角形的内角平分线 性质,知四」 91 2, |QM | |QO|

\"一 心 、 / w | AN | | AM |

1

假设过 M 作 MN //OQ 交 OA 于 N,那么^ -- ------ 2,

|ON| |QM |

2 小 * | MN | | AM | 2 一

L j

-,|OQ| 1, 3 从而 N (一 ,0),而 -----

-----------------------

1

3 |OQ | | AQ |

| MN | - |OQ | 2为定值,可见动点M到定点N的距离为定值

3 3

2

因此M的轨迹是以N为圆心,半径为2的圆,

3

一、 2 9 O 4

其方程为(x ―)2 y2 ―, 3 9

而当/AOQ= 180°时,其角分线为 y轴,它与AQ交点为原点 O,显然, 述轨迹方该点也满足上 注：此种解法为定义法.

例5.如图,给出定点 A (a, 0), (a>0)与定直线 l : x= — 1,点 B是 l

上动点,/ BOA a值关系.

的角平分线交 AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与

分析：由OC是/AOB的平分线,可联想到如下结论: (1)点C到/AOB的两边OA OB的距离相等; (2) OC与OA OB所成的角相等. 吗 |AO|o

|BC| |BO|

对于(1)、(2)、(3),假设再注意到点 C在直线AB上,那么可求得轨迹方程.因此,此题 从不同角度入手,那么有不同解法.

解法 1:设 B (― 1, b), C (x, y),直线 OB的方程为 y= - bx,即 bx + y=0, •・•.什分/ AOB ••点C到角的两边距离相等.

I bx_y | b2 1

kAC kAB,即

AC AB

|y|

又•.•点C在直线AB上,,A、B、C三点共线

—b—,

②

x a 1 a

由②得b 2上 ③ a x

由①得b(x2 y2) 2 xy 0 把③代入④,得 2

(1 a)y(x y)2

④

(0 x a)

2xy 0 a x

yw 0时,(1 a) • (x2 y2) 2x(a x) 0,即(a 1)x2 (a 1)y2 2ax 0 (0 x a)

y =0时,b=0, Z AOB= 180° ,点C坐标为(0, 0),满足上述方程. 故方程(a—1) x2—(a + 1)y 2+2ax = 0是点C的轨迹方程. 当a= 1时,方程为y2 = x, (0Wx<1),它表示抛物线的一段；

/

(x

--)

当a 1时,方程为——

a

\\ 2

2

1 a

2

1,(0 x a) a (六)2 1 a

,01时,轨迹为双曲线弧.

解法 2：设 B(—1, b), C (x, y)

y ,

那么 kOA 0, he — , he

.

b

x

•. 0什分/ AOB .•./ AOC= / COB ,tg ZAOC= tg / COB

2 0 b 2 b

------ ---------- J,整理,得, 也』,①

1 y - 0 1 ( b) - - x

x a 1 a

x by x

x

a x

又上 b b (a 1)y,代入①式,消去b,得

(1 a)y(x2 y2) 2xy(a x) 0,(0 x a)

以下略,(见解法1的相应局部)

解法 3:设 B (― 1, b), C (x, y),又 A (a, 0)

|AC| (a 1)2 b2,|BC| (x 1)2 (y b)2,|AO| a,|BO| . b2 1

•・•.什分/ AOB由三角形内角平分线性质,得

2

. 2

|AC | | AO| 即 J(a. b |BC| |BO|' (x 1)2 (y b)2

整理,得(b2+ 1) - [(a +1)2+ b] = a[(x +1)2+ (y — b)]

2

2

2

又由kAC

kAB得b 曳&代入上式,整理,得

a x

(1 a)y(x2 y2) 2xy(a x) 0,(0 x a)

以下略.(同解法1的相应局部) 【模拟试题】

1. 长为3a (a>0)的线段AB的两端点A、B分别在y轴、x轴上运动,P点分线段AB或 正比2: 1,求点P的轨迹方程.

2. △ ABC的顶点B、C 双曲线 —— 、一1的焦点,点C在抛物线y=4x上运动,求 9

2

2

x

2

16

△ ABC的重心 G的轨迹方程.

3 .自双曲线x2 y2 1上的动点A引直线x+y=2的垂线,垂足为B,求线段AB中点M 的轨迹方程.

4 .定点 A( — 1, 0), B (2, 0), P为动点,且/ PB好2/PAR求动点P的轨迹方程.

5 .以双曲线x2 y2 2的右准线l为左准线,以双曲线的右焦点 的短轴顶点为B,求BF中点M的轨迹方程.

F为左焦点的椭圆

【试题答案】 1. 2. 3.

x 4y 4a

2 / 2 / 2

y 12x , (x 0, y 0)

2x2 2y2 2x 2y 1 0, (x 5, y -)

2

2

4 4

4. 5.

x2 — 1, (x 1)

3 y2

1(

x 2) (x 1) 2