大学数学教案第8章

1、什么是微元法

为了说明积分的微元法，我们回顾一下第七章中讨论过的曲边梯形面积问题。

设f(x)在区间[a,b]上连续，且

确定部分面积Ai的近似值fixi是把曲边梯形面积A表示成定积分

baf(x)dx的关键。在实用时，这一步骤可以简化，具体如下：

（1）在[a,b]上任取一小区间x,xdx，A表示该小区间上所对应小曲边梯形的面积。 （2）取左端点x为i，以x处的函数值f(x)为高，底为f(x)，则 矩形面积Afxdx 定义：dAf(x)dx为面积微元 f(x)0，则以曲线y= f(x)为曲边，底为[a,b]

的曲边梯形的面积Abaf(x)dx

yy=f(x)Ai0xx+dxx （3）于是Alim0f(x)dxf(x)dx ab把这个面积A表示为定积分的步骤是：

（1）分割

baf(x)dx在区间a,b内插入n1个分点：

2、注意以下几点：

（1） 所求整体量（即面积）与自变量的

变化区间有关。

（2） 所求整体量对于区间[a,b]具有可加

性，就是说，如果把区间分成若干部分区间，则所求量相应地分成若

干部分量（即Ai)而所求量等于所有部分量之和，即

ax0x1xnb

将a,b分成了n个小区间，相应的面积

AAi

（3） 当Ai与fixi的差是Ai的高

阶无穷小时，才能用fixi近似代替部分量Ai，这时和式的极限，即

A1AiAn（AAi）

i1n（2）近似代替

Aifixi

（3）求和

AAifixi

i1i1nn

fxii1ni的极限值就是A的精确

（4）取极限

Alimfixifxdx

0i1anb值。在实际问题中，一般都满足这个要求，因此通常对此不做验证。 这种方法称为微元法

1

第二节 平面图形的面积 教学目标：利用微元法求解平面图形面积的方法

教学重点：微元法求平面图形面积 教学难点：公式的选取 教学过程：

1、 在直角坐标系中的计算方法 平面图形分类如下

解法一：定积分的几何意义

Af(x)dx—g(x)dx

aabb解法二：微元法

①任取x,xdxa,b

②面积微元dAfxgxdx， 表示以f(x)-g(x)为高，dx为底的矩形 ③A۩（1）由连续曲线y=f(x)（fx0），x

轴及二直线x=a、x=b所围成的曲边梯形面

积A的计算。

baf(x)gxdx……上—下

……………………………………（2）

yy=f(x)۩（3）设在区间a,b上，连续曲线

xy位于连续曲线xy右方，由

这两条曲线及直线yc,yd所围成的曲

Ai0xx+dxx 边梯形面积A的计算。

解法一：定积分的几何意义

Af(x)dx………………（1）

aby解法二：微元法 ①任取x,xdxa,b

②面积微元dA=f(x)dx，它表示高为f(x),底

边长为dx的一个矩形面积。 ③A

0解法一：微元法

x

baf(x)dx

۩（2）设在区间a,b上，连续曲线y=f(x)

位于连续曲线y=g(x)上方，由这两条曲线及直线x=a、x=b所围成的曲边梯形面积A的计算。

①任取y,ydyc,d ②面积微元dA=f(y)dy，它表示高为yy,底边长为dy的一个矩形面积。 ③Ayy=f(x)yydx…………右—ab左 ……………………………………（3） dA0xx+dxy=g(x)

x 2

۩ (4)如果曲边梯形的曲边由参数方程

xtt给出，且当x从a取到b时，ty从取到，

解法：代数变换（无需几何微元法）

Abydxat/tdt

……………………定积分换元法 …………………………（4） 总结： 由此可见，微元法可以解决平面图形面积求解问题。

例1：计算由两条抛物线y2x,yx2所围成的图形的面积。

例2：计算由yx2与直线y=x及y=2x所围成图形的面积。

例3：计算由抛物线y22x与直线

y4x所围成图形的面积。

4：计算椭圆x2y2例a2b21的面积A

例5：求抛物线Xy2 2x与直线yx4所

围成的图形的面积。

3

解一: 先画已知方程的图形,求出抛物线与直线的交点A(8,4),B(2,－2)。在这个例题中，将y 轴看作曲边梯形的底，可使计算简单些，所求的面积S是直

yx4和抛物线xy2线2分别与直

线y2,y4所围成的图形的面积之差。即

4y2S2y42dy

23(y24yy6)4218解二 则当然还是可以将x轴看作曲边梯形的底，则所围成的图形的面积可分为两部 分：

S22802xdx22xx4dx18（平方单位）

x2例6: 求曲线y2、y11x2与直线x3、x3所围成的图形

的面积，如图6-18阴影部分面积的总和。

解 由于图形对称于y轴，所以所求面积S是第一象限内两小块图形面积的两倍。两曲线交点P的横标为x=x1，于是

S211x23x201x22dx12 11xx2dx(arctanxx3)1x323606arctanx1 =133322.11 (平方单位)

2、 在极坐标系中的计算方法

某些平面图形的面积，用极坐标来计算比较简便。 图形：

0设x

0在，上连续，

①任取，d,

（1）定义：

在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。

对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。

图形轨迹方程 例：1 ②求面积微元： 相应的窄曲边扇形面积可以用处的极径作为半径，d作为圆心角的扇形面积近似代替，即面积微元为 dA111Lrr22d 222 ③积分： A

12d……………………2（5） 例7：计算圆2cos介于x轴与射线



3间的部分图形的面积。

3s co（2）与直角坐标系的转换

xcos2xy22 ysin

（3）极坐标系下面积微元法 定义：曲边扇形

由，,所围成平面图形。

解：A3012cos2d3 234例8：计算圆1与心形线1cos所围成公共面积。

解： y

4

0x

所求面积为极轴上半部分2倍 由

旋转轴。（母线）

（2）利用微元法求旋转体体积

1与1cos联立得2（i）设函数y=f(x)在a,b上连续，且

1122A2d1cosd

0222fx0，求由yfx,xa,xb，x

轴所围成图形绕x轴旋转一周的体积

=2

例9：求三叶玫瑰线asin3所围成部分的面积。

解：如图

①任取x,xdxa,b ②体积微元dVf2xdx， 表示：以x处fx为底圆半径，dx为-a一瓣对应从0到

  3高的圆柱体体积作为该小段旋转体体积的近似值，即体积微元。 ③积分：V12所以A33asin3d

02 

第三节 体积

教学目标：微元法体积的求解 教学重点：体积公式的掌握 教学难点：体积公式的推导 教学过程：

1、 旋转体的体积 （1）定义：

一个平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周而成的立体教做旋转体，这条直线教

fxdx……（1） 2ab（ii）设函数xy在c,d上连续，求由xy,yc,yd，y轴所围成图形绕y轴旋转一周的体积。

2a 4ydc0微元法得

x

Vy2dy………………（2） ab

5

x2y2例1：计算由椭圆221所围成图形

ab绕x轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭

球体）的体积。

图：

axx+dxbx

x2y2例2：计算由椭圆221所围成的图

ab形绕y轴而成的旋转体的体积。

例3：求由曲线yx与直线x=2及y=0所围成的图形分别绕x轴和y轴一周所产生的旋转体的体积。

2、 截面面积为已知函数的立体的体积

设立体在垂直于x轴的两个平面

3

例4：一立体的底面为一半径为5的圆，已知垂直于底面的一条固定直径的截面都是等边三角形，求立体体积。

例5：一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。

xa,xb(ab)之间，并设过a,b内任

一点x且垂直于x轴的截面面积A(x)为x的已知连续函数，求此立体体积。

①任取x,xdxa,b

②体积微元dVA(x)dx，

b ③积分：VA(x)dx a

6



第四节 平面曲线的弧长

教学目标：微元法求平面曲线的弧长 教学重点：弧长公式的掌握 教学难点：弧长公式的推导 教学过程：

1、设函数y=f（x）在区间a,b上有一阶连续导数，现用微元法求这条曲线上相应x从a到b的一段弧的长度L。

2、设曲线由参数方程xttyt给出，且/t,/t在相应,上连续，求弧长。

解：代数转化法（定积分换元）

dL(dx)2dy/222tdttdt/

/2t/2dt

解：微元法

（1）任取x,xdxa,b （2）求相应小段上弧长微元

用点x,fx处的切线长度代替

L

/2t/2tdt

3xacost例2：求星形线（0t2）3yasinta>0的全长。

dLdx2dy2dy1dx

dx

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21y/dx

（3）取积分 L

ba21y/dx

22例1：计算曲线yx2上相应于x从3到

38的一段弧的长度。

3第五节 定积分在物理学中的应用 教学目标：定积分在物理学中的应用 教学重点：公式的应用 教学难点：公式的推导 教学过程： 1、 变力作功

例1：一根弹簧原长为0.5米，1牛顿的力能使弹簧伸长0.01米，求把这根弹簧由原长拉长到0.6米所做的功。

例2：一个圆柱形蓄水桶，桶口直径为6米，桶深为5米，桶中盛满了水，欲将桶内的水全部抽出桶外，问需作多少功？

2、 液体压力

例3：有一矩形水闸门，宽20米，高16米，水面与闸门顶齐，求闸门一侧所受的压力。

例4：底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在上，底与水面平行，顶点离水面3厘米，试求它每个侧面所受的压力。

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3、 连续函数的平均数 n个数值的算术平均数

1nyyi

ni1_下面我们计算一下连续函数y=f(x)在[a,b]上的平均值。

ylimn_fii1nn因为y=f(x)在[a,b]上连

续，所以y=f(x)在[a,b]上可积，且

baf(x)dxlimfixi

ni1n1nbaylimfinbani1_n1limfixi于是bani11bf(x)dxaba

例5：正弦交流电的电流iImsint ，其中Im是电流的最大值，叫角频率，求i在半周期0,

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内的平均值。 

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