高一物理万有引力教案(老师用)(打印一份)

天体运动

【知识点整理】

一.开普勒运动定律（轨道、面积、比值）

二.万有引力定律

(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。

mm(2)公式：F＝G122,其中G6.671011Nm2/kg2，（称为为有引力恒量，由卡文特许扭称实

r验测出）。

(3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r是两球心间的距离． 说明:

(1)对万有引力定律公式中各量的意义一定要准确理解，尤其是距离r的取值，一定要搞清它是两质点之间的距离. 质量分布均匀的球体间的相互作用力，用万有引力公式计算，式中的r是两个球体球心间的距离．

(2)不能将公式中r作纯数学处理而违背物理事实，如认为r→0时，引力F→∞，这是错误的，

Gm1m2

因为当物体间的距离r→0时，物体不可以视为质点，所以公式F＝2就不能直接应用计算．

r

(3)物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等、方向相反的，遵循牛顿第三定律，因此谈不上质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力，更谈不上相互作用的一对物体间的引力是一对平衡力．

注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．

【例题分析】

1．下列说法符合史实的是 （ C ） A．牛顿发现了行星的运动规律 B．开普勒发现了万有引力定律

C．卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量 D．牛顿发现了海王星和冥王星

R32．关于开普勒行星运动的公式2＝k，以下理解正确的是

T （ AD ）

A．k是一个与行星无关的常量

B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的长半轴为R月，周期为T月，则

R地T地32R月T月32

C．T表示行星运动的自转周期 D．T表示行星运动的公转周期

3.下列关于万有引力定律说法正确的是( ABD )

A.万有引力定律是牛顿发现的 B.万有引力定律适用于质点间的相互作用

m1m2中的G是一个比例常数，没有单位 D.两个质量分布均匀的球体, r是两球心2r间的距离

C.FG4.如图6-2-1所示，两球的半径远小于R，而球质量均匀分布，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为（ D ）

A．Gm1m2 B.Gm1m2

2R12R2C.Gm1m2R1

R 图6-2-1

R2 R1R22 D.Gm1m2R1R2R2

5.引力常量很小，说明了（ C ）

A.万有引力很小 B.万有引力很大

C.很难观察到日常接触的物体间有万有引力，是因为它们的质量很小 D.只有当物体的质量大到一定程度时，物体之间才有万有引力

6.下列关于万有引力定律的适用范围说法正确的是（ D ）

A.只适用于天体，不适用于地面物体 B.只适用于质点，不适用于实际物体 C.只适用于球形物体，不适用与其他形状的物体 D.适用于自然界中任意两个物体之间

7.如果认为行星围绕太阳做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ D ） A.行星同时受到太阳的万有引力和向心力

B.行星受到太阳的万有引力，行星运动不需要向心力 C.行星受到太阳的万有引力与它运动的向心力不等

D.行星受到太阳的万有引力，万有引力提供行星圆周运动的向心力

8.苹果落向地球,而不是地球向上运动碰到苹果,产生这个现象的原因是( ) A.由于地球对苹果有引力，而苹果对地球没有引力造成的

B.由于苹果质量小，对地球的引力小，而地球质量大，对苹果的引力大造成的 C.苹果与地球间的相互引力是相等的，由于地球质量极大，不可能产生明显加速度 D.以上说法都不对

9.要使两物体间万有引力减小到原来的1/4,可采取的方法是( ABC )

A使两物体的质量各减少一半,距离保持不变 B使两物体间距离变为原来的2倍,质量不变 C使其中一个物体质量减为原来的1/4,距离不变 D使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的1/4

三．万有引力定律的应用

1、解决天体(卫星)运动问题的两种基本思路:

(一)、把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，即

Mmv242r2G2ma向mmrm2 rrT

Mm2mg从而得出 GMgR2R(二)、是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G(黄金代换)

2、卫星的绕行角速度、周期与高度的关系: （1）由GmMrhmM2v2GMm，得v，∴当h↑，v↓

rhrh2

（2）由G

rhmM2=mω（r+h），得ω=

GMrh3，∴当h↑，ω↓

4242rh3m2rh，得T= （3）由G ∴当h↑，T↑

GMTrh2【例题分析】

1．2008年9月我国成功发射了“神州七号”载人飞船。为了观察

“神舟七号“的运行和宇航员仓外活动情况，飞船利用弹射装置发射一颗“伴星“。伴星经调整后，和”神舟七号”一样绕地球做匀速圆周运动，但比“神舟七号“离地面稍高一些，如图所示，那么（ A ）

A．伴星的运行周期比“神舟七号”稍大一些 B．伴星的运行速度比“神舟七号”稍大一些 C．伴星的运行角速度比“神舟七号”稍大一些 D．伴星的向心加速度比“神舟七号”稍大一些

2．卫星电话在抢险救灾中能发挥重要作用．第一代、第二代海事卫星只使用地球同步卫星，不

能覆盖地球上的高纬度地区．第三代海事卫星采用地球同步卫星和中轨道卫星结合的方案，它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星构成．中轨道卫星高度为10354千米，分布在几个轨道平面上(与赤道平面有一定的夹角)，在这个高度上，卫星沿轨道旋转一周的时间为6小时．则下列判断正确的是（ C ） A．中轨道卫星的线速度小于地球同步卫星 B．中轨道卫星的角速度小于地球同步卫星

C．在中轨道卫星经过地面某点正上方的一天后，该卫星仍在地面该点的正上方

D．如果某一时刻中轨道卫星、地球同步卫星与地球的球心在同一直线上，那么经过6小时它们仍在同一直线上

3．质量相等的甲、乙两颗卫星分别贴近某星球表面和地球表面围绕其做匀速圆周运动，已知该

星球和地球的密度相同，半径分别为R和r，则( A ) A．甲、乙两颗卫星的加速度之比等于R:r B．甲、乙两颗卫星所受的向心力之比等于1：l C．甲、乙两颗卫星的线速度之比等于1：1 D．甲、乙两颗卫星的周期之比等于R:r

4.2008年9月25日21时10年载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的神舟七号飞船在中

国酒泉卫星发射中心发射成功，9月27日翟志刚成功实施了太空行走，已知神舟七号飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，地球的质量和半径分别为M和R，万有引力常量为G，在该轨道上，神舟七号航天飞船( A )

GM2(Rh)A.线速度大小为 B.向心加速度大小

(Rh)TC．线速度等于第一宇宙速度 D.翟志刚太空行走时速度很小，可认为没有加速度

5．据美国媒体报道，美国和俄罗斯的两颗通信卫星今年2月11日在西伯利亚上空相撞。这是

人类有史以来的首次卫星碰撞事件。碰撞发生的地点位于西伯利亚上空490英里（约790公里），恰好比国际空间站的轨道高270英里（434公里）。这是一个非常用的轨道，是用来远距离探测地球和卫星电话的轨道。则以下相关说法中，正确的是：( A )

A．碰撞后的碎片若受到大气层的阻力作用，轨道半径将变小，则有可能与国际空间站相碰撞。

B．在碰撞轨道上运行的卫星的周期比国际空间站的周期小 C．发射一颗到碰撞轨道运行的卫星，则发射速度要大于11．2km/s

D．在同步轨道上，若后面的卫星一旦加速，将有可能与前面的卫星相碰撞。

6．我国已发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球

表面。已知月球的质量为地球质量的1/80，月球的半径约为地球半径的1/4，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为（ B ） A．0.4km/s B．1.8km/s C．11km/s D．36km/s

7．“神舟”六号载人飞船的成功发射和顺利返回，标志着我国航天事业又迈上了一个新的台阶。

为了比较该飞船和地球同步通信卫星的运行情况，某同学通过互联网了解到“神舟”六号在半径为343km圆周轨道上运行一周的时间大约是90min。由此可知（ D ） A．“神舟”六号在该圆周轨道上的运行周期比同步通信卫星的运行周期长 B．“神舟”六号在该圆周轨道上的运行速率比同步通信卫星的运行速率小 C．“神舟”六号在该圆周轨道上的运行加速度比同步通信卫星的运行加速度小 D．“神舟”六号的该圆周轨道距地面的高度比同步通信卫星轨道距地面的高度小

8．如图，火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为在同一平面内的同方向的匀速圆周运动，

已知火星轨道半径r1=2.3×10m，地球轨道半径为r2=1.5×10m，根据你所掌握的物理和天文知识，估算火星与地球相邻两次相距最近的最短时间间隔约为（ B ）

A．1年 B．2年 C．3年 D．4年

9．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球

表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为 R星:R地1:4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g，空气阻力不计。则( D )

A．g：g=5：1 B．g：g=5：2 C．M星:M地1:20 D．M星:M地1:80

10．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学

探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环

r1 r2 11

11

绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度的表达式为(k为某个常数)( B ) A．kk2 B．kT C．kT D．2 TT3、宇宙速度

第一宇宙速度：V1=7.9km/s 第二宇宙速度：V2=11.2km/s 第三宇宙速度：V3=16.7km/s 注：（1）宇宙速度均指发射速度

（2）第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度

（3）.三种宇宙速度的对比：

以地球为例，三种宇宙速度和相应轨道间的关系如图所示．（1）当卫星在地面附近做圆周运动时，其运行速度即为第一宇宙速度7.9 km/s；（2）当卫星到达地面附近时，其速度介于7.9～11.2 km/s之间，则卫星沿椭圆轨道绕地球运动;(3)当卫星到达地面附近时，其速度介于11.2～16.7 km/s之间，则卫星沿椭圆轨道飞离地球，成为绕太阳运动的卫星；(4)当卫星到达地面附近时，其速度超过16.7 km/s，则卫星能飞出太阳系成为太阳系外的卫星．三种宇宙速度是指卫星发射的速度，而不是在轨道上的运行速度．

4、地球同步卫星（通讯卫星）

（1）运动周期与地球自转周期相同，且T=24h；

（2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期； （3）同步卫星高度不变，运行速率不变（因为T不变）； （4）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。

对同步卫星：

GMmv2222运动规律： mmrm()r2

GMGMrMv ，3 ， T=2 ，aG2.

rrGMr

3rrT由于同步卫星的运动周期确定（为T=24h），故而 其 r、 v、ω、T 、a 等均为定值。

【例题分析】

11．我国探月工程已进入实施阶段。已知月球半径与地球半径

的比值约为6 ：25，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度g的1/6，那么在月球上工作的宇航员要想坐飞

船脱离月球，飞船所需的最小发射速度为多少？（星球的第二宇宙速度2与第一宇宙速度

1的关系是( C )

221。已知地球的第一宇宙速度为

7.9km/s，不计其它星球的影响。）

A．7.9km/s B．11.2km/s C．2.2km/s D．1.6km/s

12．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其

他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在形式之一是：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每个星体的质量均为M，则（ C ）

A．环绕星运动的线速度为GMC．环绕星运动的周期为T4

13．“嫦娥一号”成功实现了绕月飞行。月球表面的环绕速度比地球表面的环绕速度要小，已知

月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6，而地球的半径是月球半径的4倍，则月球的密度与地球的密度之比以及月球表面物体的环绕速度与地球人造卫星的第一宇宙速度之比是( C ) A．1和

2124B．环绕星运动的线速度为2GM

R RR35GMD．环绕星运动的周期为T2R GM 3 B．

2和6C．2和6 D．2和1

212 312123

14．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点(如下图所示)．则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )

A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

C．卫星在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度

D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度 答案：BD

15．同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的为( )

A.＝ C.＝ a1ra2Rv1rv2RB.＝() D.＝a1a2v1v2

Rr2

R r解析：设地球质量为M，同步卫星质量为m1，地球赤道上的物体质量为m2，在地球表面运行的物体质量为m3，由于地球同步卫星周期与地球自转周期相同，则a1＝rω1，a2＝Rω2，ω1

2

2

a1rMm1v21

＝ω2.所以＝，故A选项正确．依据万有引力定律和向心力表达式可得：对m1：G2＝m1，

a2Rrr所以v1＝GM① rGM② RMm3v22

对m3：G2＝m3，所以v2＝

RR①式除以②式得：＝答案：AD 16.

v1

v2R，故D选项正确． r江苏模拟纵观月球探测的历程，人类对月球探索认识可分为三大步——“探、登、

驻”．我国为探月活动确定的三小步是：“绕、落、回”，目前正在进行的是其中的第一步——绕月探测工程.2007年10月24日18时05分，“嫦娥一号”卫星的成功发射标志着我国探月工程迈出了关键的一步．我们可以假想人类不断向月球“移民”，经过较长时间后，月球和地球仍可视为均匀球体，地球的总质量仍大于月球的总质量，月球仍按原轨道运行，以下说法正确的是( )

A．月地之间的万有引力将变小 B．月球绕地球运动的周期将变大 C．月球绕地球运动的向心加速度将变小 D．月球表面的重力加速度将变大

解析：设移民质量为Δm，未移民时的万有引力F引＝GMm与移民后的万有引力F引′＝r2

GM－Δmr′＝G2m＋Δm比较可知，由于M比m大，所以F引′>F引；由于地球的质量变小，由F2π2

＝(m＋Δm)r()＝(m＋Δm)a可知，月球绕地球运动的周期将

M－Δmr2

m＋Δm引

T变大，月球绕地球运动的向心加速度将变小；由月球对其表面物体的万有引力等于其重力可知，由于月球质量变大，因而月球表面的重力加速度将变大．

答案：BCD

17．(2011·广东理综)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是( )

3GMT2

A．卫星距地面的高度为 2

4πB．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C．卫星运行时受到的向心力大小为G2

D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 解析：卫星受到的万有引力提供向心力，大小为G4π

2

MmRMmR＋h2

，选项C错误；由GMmR＋hv2

2

＝

3GMT2Mmm2(R＋h)可得卫星距地面的高度h＝2－R，选项A错误；由GT4πR＋h星的运行速度v＝2

＝mR＋h2

可得卫GM，而第一宇宙速度v1＝R＋hGMR＋h2

GMMm，选项B正确；由GRR＋hGMR＝ma可得

卫星的向心加速度a＝

，而地球表面的重力加速度g＝2，选项D正确．

18．(2013·广东深圳一模)如下图所示，从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，假设导弹仅在地球引力作用下，沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B，C为轨道的远地点，距地面高度为h.已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G.则下列结论正确的是( )

A．导弹在C点的速度大于

3

B．导弹在C点的速度等于C．导弹在C点的加速度等于D．导弹在C点的加速度大于

GM R＋hGM R＋hGMR＋hGMR＋h2

2

解析：导弹在C点，由牛顿第二定律，加速度a＝GMR＋h2

，则C选项正确；若导弹在C点的速度v＝

GM，导弹将做半径为R＋h的圆周运动，若在C点的速度v>R＋hGM，将做离R＋h心运动，则A、B选项错误．

5、两种最常见的卫星 ⑴近地卫星。

近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，由式②可得其线速度大小为v1=7.9×33

10m/s；由式③可得其周期为T=5.06×10s=84min。由②、③式可知，它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。

神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km，线速度约7.6km/s，周期约90min。

⑵同步卫星。

“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期，即T=24h。由式G

mMv242GMT23=m= m2（r+h）可得，同步卫星离地面高度为 h＝－r＝3·58

rhT424

rh27

×10 m即其轨道半径是唯一确定的离地面的高度h=3.6×10km，而且该轨道必须在地球赤道

的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东。如果仅与地球自转周期相同而不定点于赤道上空，该卫星就不能与地面保持相对静止。因为卫星轨道所在平面必然和地球绕日公转轨道平面重合，同步卫星的线速度 v=

GM3

=3.07×10m/s rh通讯卫星可以实现全球的电视转播，从图可知，如果能发射三颗相对地面静止的卫星（即同步卫星）并相互联网，即可覆盖全球的每个角落。由于通讯卫星都必须位于赤道上空3.6×7

10m处，各卫星之间又不能相距太近，所以，通讯卫星的总数是有限的。设想在赤道所在平面

0

内，以地球中心为圆心隔5放置一颗通讯卫星，全球通讯卫星的总数应为72个。

***同步卫星、近地卫星及赤道上物体的区别 <1>.同步卫星“同步”的含义是它绕地心匀速圆周运动的角速度跟地球自转的角速度相同，且圆轨道平面跟赤道平面重合，即静止在赤道正上方. 万有引力为它提供向心力，其向心加速度等于轨道处的重力加速度，比地面处的重力加速度小的多，运行周期T＝24小时．

<2>．近地卫星可看做绕地球表面运行的卫星．

近地卫星由于离开了地球，它只受到一个万有引力的作用，万有引力全部充当向心力，其向心加速度近似等于地面上的重力加速度，即a＝g.

近地卫星的线速度为第一宇宙速度7.9 km/s，远大于地面赤道上物体的速度．其运行周期

2

Mm4π

可由方程G2＝m2R求出，T＝84 min，远小于地球同步卫星的周期．

RT

<3>．放在赤道上的物体随地球自转时受到两个力的作用，一个是万有引力，另一个是地面对物体的支持力，其合力提供了物体做圆周运动的向心力，即

Mm2

G2－FN＝mωR.(FN＝mg)． R

由于物体的向心加速度远小于地面的重力加速度，因此在近似计算中常忽略地球自转影响，而认为物体的重力与物体受到的万有引力相等(这在前面已经提到过)．但在研究它随地球的自转而做匀速圆周运动时，应另当别论，此时它的周期及轨道半径分别等于地球自转周期24小时及地球半径．

通过以上讨论可以看出，放在赤道上的物体与近地卫星有着显著的区别. 首先两者的受力不同，前者受到的万有引力只有一小部分充当向心力，绝大多数作为重力使得物体紧压地面；

而后者受到的万有引力全部充当向心力，它们的运动周期和速度也不同，并且有很大的差异．赤道上的物体相对地球保持静止，而近地卫星相对于地球而言处于高速旋转状态. 而同步卫星和近地卫星都只受万有引力，全部提供向心力，研究方法相同．

【例题分析】

19．已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为( )

A．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时

20.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )

A.轨道半径变小 B.向心加速度变小 C.线速度变小 D.角速度变小

21．发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图这样选址的优点是，在赤道附近( ) A．地球的引力较大 B．地球自转线速度较大 C．重力加速度较大 D．地球自转角速度较大

22．宇宙飞船在半径为R。的轨道上运行，变轨后的半径为R2，R1>R2。宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，则变轨后宇宙飞船的( ) A．线速度变小 B．角速度变小 C．周期变大 D．向心加速度变大

23. 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( )

A. 甲的运行周期一定比乙的长 B. 甲距地面的高度一定比乙的高 C. 甲的向心力一定比乙的小 D. 甲的加速度一定比乙的大

24．2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行轨道2 并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米

轨道1 处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞

Q P船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是( )

A．飞船变轨前后的机械能相等 地球 B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度

D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度

26.“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时( ) A.r、v都将略为减小 B.r、v都将保持不变

C.r将略为减小，v将略为增大 D. r将略为增大，v将略为减小

27．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( ) A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大

C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异

28 假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是( )

Ａ、地球的向心力变为缩小前的一半 Ｂ、地球的向心力变为缩小前的

1 16Ｃ、地球绕太阳公转周期与缩小前的相同 Ｄ、地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半

29 天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出( )

A．行星的质量 B．行星的半径 C．恒星的质量 D．恒星的半径

B A B D D BC C AD BC C

6.求天体的加速度、质量、密度 1.加速度：

G表面上 非表面 GGMMmgmg得 22RRGMMma得 ma22RhRh2.中心天体质量M（或密度ρ）的估算 法一：利用表面物体GMmmg 2R ，得到M=

法二：设行星m绕天体M做半径r、周期T的匀速圆周运动。

则GMmr24242r3= m r2，所以M=

TGT23GT2

对“近地”行星，r=R (R表示天体的半径） M=ρ（4πR3/3）所以ρ=

G法三：

Mmmr22r

Mmv2G2mr r法四：

总结：只要知道环绕天体的，线速度V，角速度w,轨道半径r，公转周期T，任意两个，就可以求得中心天体质量，但是知道w和T除外。

例题1、下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G是已知的）（ CD ）

A.地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离r B.月球绕地球运行的周期T和地球的半径r

C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r D.月球绕地球运动的周期T和轨道半径r

例题2、如图21所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是( D )

A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度；

B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度；

C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c； D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。

例题3、某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重160N，把此物体放在航天器中，若航天器以加速度ag（g为地球表面的重力加速度）垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计测2得物体的重力为90N，忽略地球自转的影响，已知地球半径R，求此航天器距地面的高度。

解析：物体在地球表面时，重力为mg160N ①根据万有引力定律，在地面附近有

mgGMm ② R2在距地面某一高度h时，由牛顿定律得FNmgma ③根据万有引力定律，得

mgGMm ④①②③④式并代入数据解得h3R。 2(Rh)

经典练习1

1、已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量（引力常量G已知）（ ）

A．月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1 B．地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2

C．人造卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3 D．地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4

2如图，a、b、c是在地球大气层外同一平面内的圆形轨道上运动的三颗卫星，下列说法正确的是 （ D ）

a A．若由于某种原因，a的轨道半径缓慢减小，则其线速度将减小。 b B．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度

地球 c 图21

C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D．若b、c绕地球转动的方向相同，则它们的距离保持不变

3宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M和密度ρ.

[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．

根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为y12gt 22222设初始平抛小球的初速度为v，则水平位移为x=vt．有(gt)(vt)L ○1

1212Mm在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G2 ③

R2222当以2v的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt．所以有(gt)(2vt)(3L) ②

23LR2联立以上三个方程解得M 23Gt而天体的体积为V43M3LR，由密度公式得天体的密度为。 3V2Gt2R

7.双星问题精析

一、 要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源

双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提 供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

二、 要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系

两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等 的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。

三、 要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角 速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：

M1： GM1M2Mv1Mr2

11112Lr12M2：

MMv22 G122M22M2r22Lr2ω1 M1 r1 r2 M2

L ω

2

【例题1】两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是：( ) A、它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比。

B、它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比。 C、它们做圆周运动的半径与其质量成正比。 D、它们做圆周运动的半径与其质量成反比。

解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等。由v=rω得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的。因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向M1M22222心力大小相等，由GM1M，MrGM2r22可知：M1r1M2r2，所以它们的轨1122LL道半径与它们的质量是成反比的。而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也

是成反比的。正确答案为：BD。

【例题2】月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，他们都围绕月球连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动生物线速度大小之比约为

A．1：6400 B.1:80 C. 80:1 D:6400:1 【答案】C

【解析】月球和地球绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等。且月球和地球和O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有

m2rM2R，所以

vrM，线速度和质量成反比，正确答案C。 VRm【例题3】．我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，

两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由于文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为D （ ）

42r2(rr1)GT2A．

42r132B．GT

42r3C．GT2

42r2r12D．GT

【例题4】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略

其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G．关于四星系统，下列说法错误的是 ．．( B )

A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B．四颗星的轨道半径均为

a 2m 2R C．四颗星表面的重力加速度均为GD．四颗星的周期均为2a2a42Gm

【例题5】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T,S1到C点的距离为r1,S1和S2的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出S2的质

量为 （ ）

4π2r2(rr1)A.

GT2

4π2r13B.

GT2

4π2r3C.

GT2

4π2r2r1D.

GT2

答案 D

解析 双星的运动周期是一样的,选S1为研究对象,

Gm1m24π2r2r14π2m1r12,则m2=.故正确选项D正确. 22GTrT

【例题6】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑

洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云 时,发现了LMCX-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成. 两星 视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运 动,它们之间的距离保持不变,如图所示.引力常量为G,由观测能够得到可见星 A的速率v和运行周期T.

(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视 为质点）对它的引力,设A和B的质量分别为m1、m2,试求m′(用m1、m2表示);

（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1

（3）恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量ms的2倍,它将有可能成为黑洞.若可见星A

5 4

的速率v=2.7×10m/s,运行周期T=4.7π×10s,质量m1=6 ms,试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

-11 2230

(G=6.67×10N·m/kg,ms=2.0×10kg)

3m2答案 (1)

(m1m2)2

3m2v3T(2) (m1m2)22πG(3)暗星B有可能是黑洞

解析 （1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2,由题意知,A、B做匀速圆周运动的角速度

相同,设其为ω.由牛顿运动定律,有

2

FA=m1ωr1

2

FB=m2ωr2 FA=FB

设A、B之间的距离为r,又r =r1+r2, r =

m1m2r1 m2m1m2 r2

由万有引力定律,有 FA=G3m1m2将①代入得FA=G 22(m1m2)r1

令FA=Gm1m' r12

②

3m2比较可得m′= 2(m1m2)m1m'v2（2）由牛顿第二定律,有G2m1

r1r1又可见星A的轨道半径r1=

③

vT 2π ④

3m2v3T由②③④式解得 (m1m2)22πG ⑤

（3）将m1=6 ms代入⑤式,得

3m2v3T2(6msm2)2πG

代入数据得

3m23.5ms

(6msm2)2 ⑥

设m2=nms(n > 0),将其代入⑥式,得

3m2nms3.5ms

(6msm2)2(61)2n ⑦

3m2可见,的值随n的增大而增大,试令n=2, 2(6msm2)得

n6(1)2nms0.125ms3.5ms

⑧

若使⑦式成立,则n必大于2,即暗星B的质量m2必大于2ms,由此得出结论：暗星B有可能是黑洞.

【例题7】如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

(1)求两星球做圆周运动的周期。

(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和

2422

月球的质量分别为5.98×10kg 和 7.35 ×10kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）

L3【答案】⑴T2 ⑵1.01

G(Mm)【解析】 ⑴A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此有

MmL L，rmMmMGMm22Mm()L 对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得

TMmL2m2rM2R，rRL，连立解得RL3化简得 T2

G(Mm)L3⑵将地月看成双星，由⑴得T12

G(Mm)将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得

GMm22m()L 2TLL3化简得 T22

GMT22mM5.9810247.351022所以两种周期的平方比值为()1.01 24T1M5.9810

【例题8】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.双星系统在

银河系中很普遍.利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量.已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动,周期均为T,两颗恒星之间的距离为r,试推算这个双星系统的总质量.（万有引力常量为G）

4π23答案 2r

TG解析 设两颗恒星的质量分别为m1、m2,做圆周运动的半径分别为r1、r2,角速度分别为ω1、ω2.根据题意有

ω1=ω2 ① r1+r2=r ② 根据万有引力定律和牛顿运动定律,有

GGm1m22mr1 112rm1m22m22r2 2r

③

④

联立以上各式解得

m1m212(r1r2)r2/G

⑤

122π T ⑥

4π23m1 + m2 =2r

TG

万有引力课后习题：

一、选择题：

1．关于公式R3/T2=k,下列说法中正确的是（ ） A．围绕同一星球运行的行星或卫星，k值不相等 B．不同星球的行星或卫星，k值均相等 C．公式只适用于围绕太阳运行的行星 D．以上说法均错

2．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g/2，则该处距地面球表面的高度为：（ ） A．（2—1）R B．R C．

2R D．2R

3．2005 年北京时间7 月4 日13 时52 分，美国宇航局“深度撞击”号探测器释放的撞击器“击中”目标——“坦普尔一号”彗星．假设“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，其轨道周期为5 . 74 年，则关于“坦普尔一号”彗星的下列说法中正确的是（ ） A．绕太阳运动的角速度不变

B．近日点处线速度大于远日点处线速度 C．近日点处加速度大于远日点处加速度

D．其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个与太阳质量有关的常数

4．设月球绕地球运动的周期为27天,则地球的同步卫星到地球中心的距离r与月球中心到地球中心的距离R之比r/R为（ ）

A． 1:3 B． 1:9 C． 1:27 D．1:18

5.如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火将卫星送入椭圆轨道2，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是（ ） A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度

C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过 Q点时的加速度

D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过 P点时的加速度

6．同步卫星在赤道上空同步轨道上定位以后，由于受到太阳、月球及其他天体的引力作用影响，会产生漂移运动而偏离原来的位置，当偏离达到一定程度，就要发动卫星上的小发动机进行修正。图中实线A为同步轨道，若B和C为两个已经偏离轨道但仍在赤道平面内运行的同步卫星，要使它们回到正确的同步轨道上来，应（ ）

A．开动B的小发动机向前喷气，使B适当减速 B．开动B的小发动机向后喷气，使B适当加速 C．开动C的小发动机向前喷气，使C适当减速 D．开动C的小发动机向后喷气，使C适当加速

7．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1:m2=3:2,则可知（ ）

A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3：2 B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3：2

2C．m1做圆周运动的半径为L

52D．m2做圆周运动的半径为L

5

8．三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知RA＜RB＜RC 。若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，

如图所示。那么再经过卫星A的四分之一周期时，卫星A、B、C的位置可能是

A B C 地地地地地 A B A A A B C B C C B C A B C D

9．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1，绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受的向心力为F2，向心加速度为a2,线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3,线速度为v3，角速度为ω3；地球表面

重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则 A. F1=F2＞F3 B. ω1=ω3＜ω2 C. v1=v2=v＞v3 D. a1=a2=g＞a3

二、填空题：

10．一颗人造卫星环绕某行星作匀速圆周运动，经过时间t，卫星运行的路程为s，卫星与行星的中心连线转过的角度是 θ 弧度（θ < 2π）。那么该卫星环绕行星运动的线速度大小v =_______，该行星的质量M=_ ___ 。（万有引力恒量为G）

11．已知绕中心天体做匀速圆周运动的星体的轨道半径r，运动周期为T。 (1)若中心天体的半径为R，则其平均密度ρ=_______

(2) 已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力恒量为 G，如果不考虑地球自转的影响，用以上各量表示地球的平均密度为__________

12．宇宙飞船正在离地面高度H=R的轨道上绕地球做匀速圆周运动，宇宙飞船的向心加速度为_________g，在飞船内用弹簧秤悬挂一个质量为m的物体，则弹簧秤的读数为 。

13．如图所示，在距一质量为M、半径为R、密度均匀的球体R处有一质量为m的质点，此时球体对质点的万有引力为F1.当从球体中挖去一半径为R/2的球体时，剩下部分对质点的万有引力为F2， 则F1:F2=

三．计算题：

514．在某个半径为R10m的行星表面，对于一个质量m=1Kg的砝码，用弹簧称量，

其重力的大小为G=1.6N。请计算该星球的第一宇宙速度v1是多大？

15．宇航员在月球表面附近自h高处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L，已知月球半径为R，若在月球上发射一颗卫星，它在月球表面附近绕月球作圆周运动的周期多大?

16、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至距地面高度为h1的近地轨道上，在卫星经过A点时点火，实施变轨，进入远地点为B的椭圆轨道上，最后在B点再次点火，将卫星送入同步轨道，如图所示。已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，求：

同步轨道

（1）卫星在近地点A的加速度大小； （2）远地点B距地面的高度。

17、火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器，如图所示。

g火箭从地面起飞时，以加速度o竖直向上做匀加速直线运动(g0为地面附近的重力

2加速度)，已知地球半径为R。

17(1)升到某一高度时，测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的，求此时火箭离

18地面的高度h；

(2)探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T0，试问：该行星的平均密度为多少？ (假定行星为球体，且已知万有引力常量为G)

18如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），

B 地球 A PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常

（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在与k（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

答案：1、D 2、A 3、BCD 4、B 5、D 6、AD 7C 8、C 10、 v = s/t，M= s3/Gθt2

112、．

13、．4 ，0 14、 9:7

15、．设月面重力加速度力

g月,h1g22月t Lvot

g2hv2o由以上两式得

月L2

由牛顿定律得

mg月m(2T)2R

TL 在月面附近绕月球作圆周运动的周期

vRhoh2

R2g23gRT216. ⑴a=(Rh1)2 ⑵h2=42R

17．解析：由重量和质量的关系知：Gmg

gG所以

m1.6m/s2

9、B

设：环绕该行星作近地飞行的卫星，其质量为m′，所以，应用牛顿第二定律有：

v12m gm R

解得：v1Rg 代入数值得第一宇宙速度：v1400 m

18．解析：(1)起飞前N1mg0 起飞后

Nmgmg0N222N17118GMm(Rh)2mg

hR联立以上各式解得

2

(2)设行星半径为r，质量为M1，密度为

，则

GM1mr2mr(2π2T)0

M1

V3πGT20

GMmR2mg0 。