初中数学竞赛模拟试题

一、选择题〔每题6分,共30分〕

1的所有整数解的个数是〔 〕个 1．方程(xx1)〔A〕2 〔B〕3 〔C〕4 〔D〕5

2．设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且使四边形DECB的面积为

2x3AD1．假设在边AC上取一点E, AB33CE,那么的值为〔 〕 4EA1111〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕

2345DC3．如下图,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相切,假设BC＝2,DA＝3,那么AB的长〔 〕

O〔A〕等于4 〔B〕等于5 〔C〕等于6 〔D〕不能确定

A·B4．在直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点,称为整点.设k为整数,当直线yx2 与直线ykx4的交点为整点时,k的值可以取〔 〕个 〔A〕8个 〔B〕9个 〔C〕7个 〔D〕6个

5．世界杯足球赛小组赛,每个小组4个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得3分,败队得0分,平局时两队各得1分．小组赛完后,总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同,还有按净胜球数排序．一个队要保证出线,这个队至少要积〔 〕分． 〔A〕5 〔B〕6 〔C〕7 〔D〕8 二、填空题〔每题6分,共30分〕 6．当

x分别等于

111111,,,,,,2000,2001,2002,2003,2004,200520042003200220012000x2

的值,将所得的结果相加,其和等于 ． 2005时,计算代数式2

1x

57．关于x的不等式(2ab)x＞a2b的解是x＜,那么关于x的不等式axb＜0的解

2为 ．

8．方程xpxq0的两根都是非零整数,且

2AFBDECpq198,那么p＝ ．

9．如下图,四边形ADEF为正方形,ABCD为等腰直角三角形,D在BC边上,△ABC的面积等于98,BD∶DC＝2∶5．那么正方形ADEF的面积等于 ．

10．设有n个数x1,x2,…,xn,它们每个数的值只能取0,1,－2三个数中的一个,且

252519,那么x15x2…xn…xnx1x2…xn5,x12x2的值

是 ． 三、解做题〔每题15分,共60分〕

11．如图,凸五边形ABCDE中,S△ABC＝1,且EC∥AB,AD∥BC,BE∥CD, CA∥DE,DB∥EA．试求五边形ABCDE的面积．

DECFABx2kx33xk的解,求实数k的12．在正实数范围内,只存在一个数是关于x的方程

x1取值范围．

13．如图,一次函数的图象过点P〔2,3〕,交x轴的正半轴与A,交y轴的正半轴与B,求△AOB面积的最小值．

yBPOxA14．预计用1500元购置甲商品x个,乙商品y个,不料甲商品每个涨价1.5元,乙商品每个涨价1元,尽管购置甲商品的个数比预定数减少10个,总金额仍多用29元．又假设甲商品每个只涨价1元,并且购置甲商品的数量只比预定数少5个,那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．

〔1〕求x、y的关系式；

〔2〕假设预计购置甲商品的个数的2倍与预计购置乙商品的个数的和大于205,但小于210,求x、y的值．

参考答案

一、选择题

1．C 2．B 3．B 4．A 5．C 二、填空题

6．6 7．x8 8．－202 9．116 10．－125 三、解做题

11．∵ BE∥CD,CA∥DE,DB∥EA,EC∥AB,AD∥BC,

∴ S△BCD＝S△CDE＝S△DEA＝S△EAB＝S△ACB＝S△ACF＝1． 设S△AEF＝x,那么S△DEF＝1x,

又△AEF的边AF与△DEF的边DF上的高相等, 所以,

DE1x,而△DEF∽△ACF,那么有 AFx2SDEFDF(1x)21x． 2SACFAFx整理解得 x51． 255． 2212．原方程可化为2x3x(k3)0,①

333〔1〕当△＝0时,k,x1x2满足条件；

842〔2〕假设x1是方程①的根,得2131(k3)0,k4．此时方程①的

11

另一个根为,故原方程也只有一根x；

22

k3〔3〕当方程①有异号实根时,x1x20,得k3,此时原方程也只有一个正

2故SABCDE＝3S△ABC＋S△AEF＝实数根；

〔4〕当方程①有一个根为0时,k3,另一个根为x实根.

3

,此时原方程也只有一个正2

33或k4或k3． 813．解：设一次函数解析式为ykxb,那么32kb,得b32k,令y0得

bbx,那么OA＝．

kk令x0得yb,那么OA＝b．

综上所述,满足条件的k的取值范围是kSAOB1b()b2k1(32k)22k14k212k9 2k213[(2k)24]2k12.所以,三角形AOB面积的最小值为12．

14．〔1〕设预计购置甲、乙商品的单价分别为a元和b元,那么原方案是

axby1500, ①

由甲商品单价上涨1. 5元、乙商品单价上涨1元,并且甲商品减少10个的情形,得 (a1.5)(x10)(b1)y1529．②

再由甲商品单价上涨1元,而数量比预计数少5个,乙商品单价上涨仍是1元的情形,得 (a1)(x5)(b1)y1563.5, ③ 由①、②、③得

1.5xy10a44, xy5a68.5.④－⑤×2并化简,得 x2y186．

④ ⑤

〔2〕依题意,有205＜2xy＜210及x2y186,54＜y＜55由y是整数,得y55,从而得x76． 答：〔1〕x、y的关系x2y186； 〔2〕预计购置甲商品76个,乙商品55个．

2, 3初中数学竞赛模拟试题(2)

一、选择题〔每题6分,共30分〕

1．ab4,abc240,那么ab＝〔 〕 〔A〕4 〔B〕0 〔C〕2 〔D〕－2 2．方程|x|43|x|的实根的个数为〔 〕 xx 〔A〕1 〔B〕2 〔C〕3 〔D〕4

3．梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于O,△AOD的面积为4, △BOC的面积为9,那么梯形ABCD的面积为〔 〕

〔A〕21 〔B〕22 〔C〕25 〔D〕26

4．⊙O1与⊙O2是平面上相切的半径均为1的两个圆,那么在这个平面上有〔 〕个半径为3的圆与它们都相切．

〔A〕2 〔B〕4 〔C〕5 〔D〕6

5．一个商人用m元〔m是正整数〕买来了n台〔n为质数〕电视机,其中有两台以本钱的一半价钱卖给某个慈善机构,其余的电视机在商店出售,每台盈利500元,结果该商人获得利润为5500元,那么n的最小值是〔 〕 〔A〕11 〔B〕13 〔C〕17 〔D〕19 二、填空题〔每题6分,共30分〕

6．等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O,假设底边BC＝8cm,那么△ABC的面积为 ．

7．△ABC的三边长a、b、c满足bc8,bca212a52,那么△ABC的周长等于 ．

8．假设x表示不超过x的最大整数,且满足方程3x5x490,那么x＝ ． 9．假设直线323x457y1103与直线177x543y897的交点坐标是〔a,b〕,那么

a22006b2的值是 ．

10．抛物线y2x4x5向左平移3个单位,再向上平移两个单位,得抛物线C,那么C关于y轴对称的抛物线解析式是 ．

三、解做题〔每题15分,共60分〕 11．如下图,在△ABC中,AC＝7,BC＝4,D为AB的中点,E为AC边上一点,且∠AED＝90°＋

21∠C,求CE的长． 2BDAEC

12．某公交公司停车场内有15辆车,从上午6时开始发车〔6时整第一辆车开出〕,以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场,以后每隔8分钟有一辆车进场,进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时,停车场内第一次出现无车辆？

13．一个两位数,其十位与个位数字分别为p、q,二次函数yxqxp的图象与x轴交于不同的两点A、B,顶点为C,且S△ABC≤1．

〔1〕求q4p的取值范围；〔2〕求出所有这样的两位数pq．

14．n是正整数,且2n1与3n1都是完全平方数．是否存在n,使得5n3是质数？如果存在,请求出所有n的值；如果不存在,请说明理由．

22参考答案

一、选择题

1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 二、填空题

6．8cm2或32cm2 7．14 8．

192 9．2022 10．y2x8x3 3三、解做题

11．作BF∥DE交AC于F,作∠ACB的平分线交AB于G,交BF于H．

那么∠AED＝∠AFB＝∠CHF＋由于∠AED＝90°＋

1∠C. 21∠C,所以∠CHF＝90°＝∠CHB. 2BDGH又∠FCH＝∠BCH,CH＝CH. ∴ △FCH≌△BCH.

∴ CF＝CB＝4,

∴ AF＝AC－CF＝7－4＝3. ∵ AD＝DB,BF∥DE,

∴ AE＝EF＝1.5, ∴ CE＝5.5．

12．设从6时起x分钟时停车场内第一次出现无车辆,此时总共出车S辆,进场车y辆,那么

x6(S1) Sy15

8yx3 ∴ 8(S15)6(S1)3, 解得 S55.5．

∵ S为正整数,∴ S＝56,即到第56辆车开出后,停车场内第一次出现无车

330辆．此时x6(561)330,6+=11.5〔时〕

60答：到11时30分时,停车场内第一次出现无车辆． 13．〔1〕设A〔x1,0〕,B〔x2,0〕,〔x1x2〕,那么x1、x2是方程

x2qxp0的两个不同的实根,所以

x1x2q,x1x2p,q24p0．

4pq2又yc〔yc表示点C的纵坐标〕,所以

41124pq2q4p1, S△ABC＝|x1x2||yc|2242从而(q4p)64,q4p4．

23故0＜q4p4．

〔2〕由〔1〕知,q4p1,2,3,4．

由于q被4除余数为0或1,故q4p被4除余数也是0或1,从而q4p1,或4．这两个方程中符合题意的整数解有22222p2p6p3,p5,p3p8 p4,p6.故所有两位数pq为23,65,34,86．

14．设2n1k2,3n1m2,其中k,m都是正整数,那么

5n34(2n1)(3n1)4k2m2(2km)(2km)．

假设2km1,那么5n3不是质数．

假设2km1,那么5n32km2m1,于是

(m1)2m22m1m2(2m1)2(3n1)(5n3)2 2n0,矛盾．

综上所述,不存在正整数n,使得5n3是质数．

初中数学竞赛模拟试题(3)

一、选择题〔每题6分,共30分〕

1.在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后,剩下的是一个内角和为2160°的多边形,那么n的值为〔 〕

〔A〕只能为12 〔B〕只能为13 〔C〕只能为14 〔D〕以上都不对 2.关于x的方程x6x(a2)|x3|92a0有两个不同的实数根,那么实数a 的取值范围是〔 〕

〔A〕a＝0 〔B〕a≥0 〔C〕a＝－2 〔D〕a＞0或a＝－2 3．假设正实数a、b满足abab3,那么a2b2的最小值为〔 〕

〔A〕－7 〔B〕0 〔C〕9 〔D〕18 4．如图,在△ABC中,∠C＝Rt∠,CD⊥AB,以下结论：〔1〕DC·AB＝AC·BC；

2AC2AD111〔2〕； 〔3〕；〔4〕AC＋BC＞CD＋AB． 2222BDBCACBCCD其中正确的个数是〔 〕

〔A〕4 〔B〕3 〔C〕2 〔D〕1

5．设n是正整数,0＜x≤1,在△ABC中,如果AB＝nx,BC＝n2x,CA＝n3x,BC边上的高AD＝n,那么,这样的三角形共有〔 〕

〔A〕10个 〔B〕11个 〔C〕12个 〔D〕无穷多个 二、填空题〔每题6分,共30分〕 6．实数x、y、z满足：xy为 ．

7．如果对于任意两个实数a、b,“〞为一种运算,定义为aba2b,那么函数

2,2xy22z210,那么xyz的值

yx2(2x)24〔－3≤x≤3〕的最大值与最小值的和为 ．

8．四个正数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d,它们两两的和依从小到大的次序分别是：23、26、29、93、x、y,那么xy的值为 ．

9．点P在直角坐标系中的坐标为〔0,1〕,O为坐标原点,∠QPO＝150°,且P到Q的距离为2,那么Q的坐标为 ．

10．在△ABC中,AB＝15,AC＝13,高AD＝12,设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R．那么R的最小值是 ．

三、解做题〔每题15分,共60分〕 11．实数x与y使得xy,xy,xy,性质的数对〔x,y〕．

12．如图,△ABC的面积为S,作直线l∥BC,分别交AB、AC与点D、E,假设△BED的面积为K．求证：K≤

x四个数中的三个有相同的数值,求出所有具有这样y1S． 4ADElBC

13．如图,在直角坐标系内有两个点A〔－1,－1〕,B〔2,3〕,假设M为x轴上一点,且使MB－MA最大,求M点的坐标,并说明理由． y

B3

2

1 -3-2-1123x A-1

14．在△ABC中,AB＝40,AC＝60,以A为圆心,AB长为半径作圆交BC与D,且D在BC边上,假设BD和DC的长均为正整数,求BC的长．

参考答案

一、选择题

1．D 2．D 3．D 4．B 5．C

一、填空题

6．0 7．37 8．195 9．〔1,13〕,〔－1,13〕 10．二、解做题

11．显然,y0,所以xyxy．

依题意,有xyxy6515或 82xx或xyxy,于是 yyxyxy,〔1〕 解得x0或y1． xxy.y当x0时,y0〔舍去〕； 当y1时,x1x,无解；

11x,当y1时,x1x,∴x,∴2

2y1.xxy,1yx,〔2〕 解得2

xyx.y1.y11故数对〔x,y〕为〔,－1〕,〔,－1〕．

22AD12．设x,

ABAEAD∵ l∥BC,∴ x,

ACABSAEx,得 由ABESABCAC∴SABESx． 又

SBDEBDAD11x． SABEABAB1211SS． 4413．作点A关于x轴的对称点A＇,作直线BA＇交x轴于点M,由对称性知MA＇＝

∴ K(1x)SxS(x2x)S(x)2MA,MB－MA＝MB－MA＇＝A＇B．

假设N是x轴上异于M的点,那么NA＇＝NA,这时NB－NA＝NB－NA＇＜ A＇B＝MB－MA．

所以,点M就是使MB－MA的最大的点,MB－MA的最大值为A＇B． 设直线A＇B的解析式为ykxb,那么

1kb,32kb, 解得k253,b3． 即直线A＇B的解析式为y23x53,令y0,得x52．

故M点的坐标为〔52,0〕．

y

3B

A＇2 Ｍ1 -3Ｎ-2-1Ｏ123x14．设BDA＝-1a,CD＝b,〔a,b为正整数〕 作AE⊥BD,垂足为E,那么AB＝AD＝40,BE＝DE＝a2． ∵ AE2402(a)2,AE2602(a22b)2, ∴ 402(a)2602(a22b)2,

∴ (ab)b20002453, ∵ 20＜ab＜100,

∴ 只有ab252,ab24525,或b3,b52.

故BC的长为50或80．

初中数学竞赛模拟试题(4)

一、选择题〔每题6分,共30分〕

1．假设a、b都是质数,且a2b2007,那么ab的值等于〔 〕

〔A〕2022 〔B〕2022 〔C〕2022 〔D〕2022 2．一个凸多边形恰好有三个内角是钝角,这样的多边形的边数的最大值是〔 〕 〔A〕5 〔B〕6 〔C〕7 〔D〕8

3．y|x1|2|x||x2|,且－2≤x≤1,那么y的最大值与最小值的和是〔

〕

〔A〕－1 〔B〕2 〔C〕4 〔D〕5 4．在△ABC中,假设∠A＝58°,AB＞BC,那么∠B的取值范围是〔 〕 〔A〕0°＜∠B＜64° 〔B〕58°＜∠B＜64° 〔C〕58°＜∠B＜122° 〔D〕64°＜∠B＜122° 5．直线y1B,如果S△AOB≤1,那么,k的取值范围是〔 〕 xk与x轴的交点分别为A、

2〔A〕k≤1 〔B〕0＜k≤1 〔C〕－1≤k≤1 〔D〕k≤－1或k≥1

二、填空题〔每题6分,共30分〕

6．假设实数a满足a3＜a＜a2,那么不等式xa＞1ax的解集为 ． 7．设x1、x2是方程x2(k1)xk20的两个实根,且(x11)(x21)8．那么

22k的值是 ．

8．在直角坐标系中,x轴上的动点M〔x,0〕到定点P〔5,5〕、Q〔2,1〕的距离分别为MP和MQ,那么当MP＋MQ取最小值时,点M的横坐标x＝ ．

9．从等边三角形内一点向三边作垂线,这三条垂线的长分别为1,3,5．那么这个等边三角形的面积是 ．

10．假设正整数a、b、c满足abbc518,abac360,那么abc的最大值是 ．

三、解做题〔每题15分,共60分〕

11．甲、乙两个蔬菜基地,分别向A、B、C三个农贸市场提供同品种蔬菜,按签订的合同规定向A提供45t,向B提供75t,向提供40t．甲基地可安排60t,乙基地可安排100t．甲、乙与A、B、C的距离千米数如表1,设运费为1元／〔km·t〕．问如何安排使总运费最低？求出最小的总运费值．

12．p为质数,使二次方程x2pxp5p10的两根都是整数．求出p的所有可能值．

22 甲 乙 A 10 4 B 5 8 C 6 15

13．CA＝CB＝CD,过A,C,D三点的圆交AB于点F．求证：CF为∠DCB的平分线．

A D

14．一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km的速度前进,沿河岸向上游行进假设干天后到达目的地,然后在生态区考察了假设干天,完成任务后以每天25km的速度返回．在出发后的第60天,考察队行进了24km后回到出发点．试问：科学考察队在生态区考察了多少天？

FCB参考答案

一、选择题

1．C 2．B 3．B 4．A 5．C 二、填空题

6．x1a5 7．1 8． 9．273 10．1008． 1a2三、解做题

11．设乙基地向A提供xt,向B提供yt,向C提供[100(xy)]t,那么甲基地向A提供(45x)t,向B提供(75y)t,向C提供[40(100xy)][(xy)60]t．

依题意,总运费为

w10(45x)5(75y)6[(xy)60]4x8y15[100(xy)] 10653[2(xy)3x]．

∵0≤xy≤100,0≤x≤45,当且仅当xy100,x45时,w有最小值,那么 w最小19653(200135)960〔元〕．

答：安排甲基地向A提供0t,向B提供20t,向C提供40t；安排乙基地向A提供45t,向B提供55t,向C提供0t,可使总运费最低,最小的总运费为960元．

12．由于的整系数二次方程有整数根,所以

△＝4p4(p5p1)4(5p1)为完全平方数,

从而,5p1为完全平方数．

设5p1n,注意到p2,故n4,且n为整数．

于是,5p(n1)(n1),那么n1,n1中至少有一个是5的倍数,即 ． n5k1〔k为正整数〕

因此,5p125k10k1,pk(5k2)． 由p是质数,5k1＞1,知k1,p3或7．

当p3时,方程变为x26x70,解得x11,x27； 当p7时,方程变为x214x130,解得x11,x213． 所以p3或p7．

13．连结DF,BD, ∵ AC＝CB＝CD,

∴∠A＝∠2,∠CDB＝∠CBD,

∵∠A＝∠1,∴∠1＝∠2,∴∠FDB＝∠FBD,∴DF＝BF． 又∠1＝∠2,CD＝CB,∴△DCF≌△BCF,∴∠DCF＝∠BCF． 即CF为∠DCB的平分线． A 2222

12DFBC

14．设考察队到生态区用了x天,考察了y天,那么 17x25(60xy)1,即42x25y1499．

x25t3, ∴  〔t为整数〕

y6542t.25t30,35 由解得t,所以t1．

2536542t0,x22, 于是,

y23. 答：科学考察队在生态区考察了23天．