＝ 数理化解题研究 ２０１ ７年第３１期总第３８０期 用构造法巧解不等式问题 母贺楠 （河北省唐山市乐亭县第一中学０６３６００） 摘 要：在高中三年的学习中，我们学到了许多数学知识．如何将知识转化为能力，成为我们解决问题的 工具，针对这一问题，本文仅就不等式问题的求解，谈些认识与体会． 关键词：构造法；不等式问题；模型 中图分类号：Ｇ６３２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—０３３３（２０１７）３１—００４６—０２ 构造法是对数学知识的开拓性、创造性运用，对发展 点评根据解题需要构造出相应的方程，是常用方 数学思维，提升数学素养有着重要的作用．本文仅就不等 法．构造的途径有利用根的定义，韦达定理，判别式等． 式（最值）的有关问题，说明构造数学模型的若干途径． 一三、构造三角式 例３ 已知ＡＣ、ＢＤ为圆０： ＋Ｙ ＝４的两条瓦相垂 、构造相应函数 例１ 当 ＞一１时，证明Ｉｎ（ ＋１）≥者・ 证明构造函数Ｌ厂（ ）＝Ｉｎ（ ＋１）一 ，则－厂 （ ）＝ 直的弦，垂足为 （１，√２），则四边形ＡＢＣＤ的面积的最大 值是—解． 作ＯＥ上ＢＤ于Ｅ，引入角变量 ＯＭＥ＝０，则ＯＥ ：２ 斋・可见 ∈（一 ，０）时，ｆ （ ）＜ｏ，－厂（ ）递减； ∈ ＝ＯＭｓｉｎ０＝ ｓｉｎ０，所以ＢＤ：２ＢＥ：２、 一３ｓｉｎ ０．同理可得ＡＣ＝２ 一３ｃｏｓ ０． （０，＋。。）时，＿厂 （ ）＞０，ｆ（ ）递增．故ｆ（Ｘ）的最小值是 ０）＝０，即恒有－厂（ ）≥０，从而得Ｉｎ（ ＋１）＞÷十Ｊ ． 点评函数是高中数学知识的主线．根据题目中式 ２ 所以四边形面积ｓ＝ １ ｘ ＡＣ ｘ ＢＤ＝ ／４＋ ｓｉｎ ≤ ｆ４ ９一＝５．填５． 点评本题的常规解法是用直线方程与圆的方程联 子的特征，构造相应的函数模型，利用函数的性质（单凋 性，奇偶性，最值）解题，是最基本最重要的方法． 立，求出弦长，再求面积的最大值，十分烦琐．而上述解法 恰当引入角变量０，转化为三角式问题，解法巧妙简捷． 二、构造方程 例２设 ，Ｙ为实数，若４ ＋Ｙ ＋ｘｙ＝１，则２ｘ＋Ｙ的 最大值为一解 四、构造数列 例４ 已知ｎ＞ｌ，肼 Ｎ 且ｎ≥２，求证 一１＜ ＿Ｉ． 令２ ＋Ｙ＝ ，即Ｙ：七一２ ，代人已知式，整理得 一１：０． ６ 一３ ＋ 分析 不等式等价 ａ ～ｌ√ 即 Ｊ一√ ａ 由 是实数，知上述方程有实根，故△＝（一３ｋ） 一２４ （ 一１）≥０．化为ｋ２≤ ，解得一 ≤ ≤ ．所以 左边是等比数列的前ｎ项和，这个等比数列是首项 为１，公比为 （＞１），因此从第二项起各项都大于１． 证明 知 ＞１． ：１＋ ＋（ ）ｚ＋…＋ ２ ＋ 的最大值是 ． 收稿日期：２０１７—０７—０１ 作者简介：母贺楠，河北省唐山市乐亭县第一中学，高三学生 一４６～ ２０１ ７年第３１期总第３８０期 （ ） ＞１＋１＋１＋…＋１＝ｎ，从而 一１＜ 数理化解题研究 ． ＝ 证明 构造两个向量口＝（—兰二， Ｙ ，—兰一）， ，／ｙ＋ｚ，／ｚ＋ ，／ｘ＋Ｙ 点评将待证式变形后，逆向思维，观察出分式是等 ｂ＝ ＋ｚ， ＋ ，ｖ ＋Ｙ），贝０有ａ・ｂ＝ ＋Ｙ＋ｚ， 比数列前ｎ项和，通过构造相关数列，使问题简捷获解． 五、构造二项式 例５ 求证２ ＞２ｎ＋１（ｎ∈Ｎ 且ｎＩ＞３）． ｌａｆ Ｉｂｆ＝ ＾√＋ ＋ ＋ｖ ｖ＋ｚ ｚ＋ ＿． ｒ＿— ————— —————厂 … 而≥，／３ ，所以 惫＋ ＋南≥ ＝ ， 证明２ ＝（１＋１） ＝Ｃ：＋ｃ ＋ｃ：＋…＋ｃ：一 ＋ｃ：． 由ｎＩ＞３知展开式至少有４项，故 ２ ≥Ｃ：＋ｃ ＋ｃ：一 ＋Ｃ：＝２（Ｃ ＋Ｃ ）＝２（１＋ｎ）＝２ｎ ＋２＞２ｎ＋１． 从而得彘＋ ＋ ≥÷． 构造法解题是以坚实的基础知识为根基的，通过敏 点评以上证明不用常规的数学归纳法，而巧构二 锐的观察，广泛的联想来实现的．这需要平时的积累． 项式，速证不等式． 参考文献： 六、构造向量 例６设 、Ｙ、ｚ＞０，ｘｙｚ＝１，求证 ［１］张志兵．例谈“构造法”在高中数学解题中的应用 ［Ｊ］．数学教学研究，２０１３（７）． ［２］苏亦亚．浅谈“构造法”在高中数学解题中的运用 ［Ｊ］．中学数学，２０１４（６）：６２～６３． 彘＋ ＋ ≥÷． 分析将左边各分式看成某式的平方，来构造两个 ［３］孙春生．构造法中的奇葩［Ｊ］．中学生数学，２０１０ （１１）：３９～４１． ［责任编辑：杨惠民］ 向量的模与数量积，然后利用模与数量积的不等式求解． 错题本在高中数学解题反思性学习中的运用 李仪珂 （山东省滨州市惠民县２０１５级２５１７００） 摘 要：学生在解题时不可能全都正确，解答错误的情况时有发生，尤其在高中阶段学生的数学题量大， 那么出错的题就会更多，如果每一道错题学生和教师都不在意，下次学生们再遇到这样的题目，就还是会出 镑因此现在许多教师都让学生准备错题本学生在整理错题，并改正错题的过程是一个反思的过程，这个过程不仅 仅会让学生将错题改正过来，同时还培养了学生的反思能力．这对高中生的数学学习有积极促进的作用． 关键词：错题本；高中数学；解题；反思 中图分类号：Ｇ６３２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—０３３３（２０１７）３１—００４７—０２ 教师、家长把学生的高中阶段看得特别重要，事实也 的确如此，许多人说高中是人生的转折，这句话有一定的 道理，因此在高中阶段家长、教师、学生对学生学习成绩 更加注重．高中数学在高考中也占有较大的比重，因此教 师除了上课时讲解知识、课后布置作业外还会让学生进 行大量的习题练习．然而我们可以看到现在的练习题模 收稿日期：２０１７—０７—０１ 作者简介：李４ＫＪｑ＂－（２０００．８一），女，山东省滨州人，高中在校生 ．．．．——４７．．．．——
