第５期 钱卫红：说题——数学教学研究的新视野 说题——数学教学研究的新视野 ●钱卫红 （嘉善高级中学 浙江嘉善３１４１００） 为了加强教师专业修炼、厚实数学功底、提升 一线教师的教学能力，浙江省教育厅教研室于 ２０１０年１１月举办了“新课程背景下高中数学教师 教学能力评比与观摩活动”．比赛分综合能力测 试、说题、上课３个环节．本文就围绕“说题”谈几 点个人思考． 随着高中数学新课程实验的深人实施，数学学 科教研活动的内容和方式在不断发生变化．尤其在 “说”的活动上，由原来的“说课”到“说教学片 段”，再到当前悄然兴起的“说题”．这些变化的一 个显著特点是“说”的内容范围逐步变小．“说题” 活动更能扼住教师有效教学的咽喉所在，牵引有效 教学的方向，体现去虚务实的教研理念，以期更好 地促进教师的专业化发展． １“说题”给谁听 有位选手是这样开始说题的：“如果有学生来 问我这样一道题目，我怎么回答他？第一步，去绝 对值……”说题是说给学生听吗？不是的．说题是 教师以教育教学理论为指导，在精心备题的基础 上，面对同行用语言阐述对某一题目的理解和把 握．“说题”是说给教师、教学研究人员或领导听 的，而不是说给学生听的．本次比赛是把说题作为 教师教学能力评比的一个项目，对教师运用教育教 学理论的能力、解题能力、演讲能力和随机应变的 能力等作出客观、公正评判的活动方式，因此本次 说题是说给评委和观摩教师听的（本次评委由教 学专家、大学教授、教学研究人员等组成）． ２“说题”说什么 说题比赛先从现场抽取题目，准备３Ｏ分钟后， 参赛者上台解渎该题的解法、背景、对思维培养方 面的作用及不足等内容．以题１为例（有４位选手 抽到该题）． 题１ 已知二次函数， （ ）＝ＯｔＸ， ＋ ＋Ｃ，Ⅱ∈ Ｎ ，ｃ≥１，０＋ｂ＋ｃ≥１，方程ｎ ＋６ ＋ｃ：０有２个 小于１的不等正根，求。的最小值． 选手１：先说题理．本题的主要条件如题目中 所说，要解决的问题是求ｎ的最小值，它涉及到二 次函数、不等式、方程、根的分布等知识．注重对数 形结合、转化能力以及学生分析与解决问题能力的 考查．其中，难点和关键点是ｎ∈Ｎ ，２个小于ｌ的 不等正根．然后说思维．说了探索解题途径的４种 常用方法（化整为零、化归思想、分析综合、直觉思 维）．再说解法．根据题目的特征及以上分析，可采 用化归的思想对２个小于１的不等正根及不等式 的条件加以合理转化和拆分，把问题转化为熟悉的 不等式问题加以解决． 解法１：因为方程有２个小于１的不等正根， 所以Ａ＞０ ０）＞０ １）＞０，０＜一 ＜１． 同时，结合题中的条件０＋ｂ＋ｃ≥Ｉ，Ｃ≥Ｉ，Ⅱ∈Ｎ’， 通过对这个组合的分析，可得 ｂ 一４ａｃ＞０，ｃ≥１，Ⅱ＋ｂ＋ｃ≥１，一２ａ＜ｂ＜０， 对这个条件再进一步分析，得 ０＞ｃ≥１． 因此 ０…＝２． 解法２：这个问题还可以这样求解．先把这个 不等式条件放宽松一些，可得ｆ 兰６＜０，然后 令 ＝０，这样是不是可以把它转化为二元线性规 划问题加以解决． 感悟从内容看，本题以大家熟悉的二次函数 和一元二次方程根与系数的关系为知识载体，让人 产生“似曾相识燕归来，小园香径独徘徊”的感觉． 人手容易，解决却困难．选手ｌ先说题理，挖掘本题 的难点和关键点，再说探索解题途径的常用方法， 最后说解法．说题思路明确、框架成熟．遗憾的是， ３０分钟的准备时间对选手来说是比较紧张的．选 手１对解法的准备不够充裕．事实上，他的解法１ 只是作了一步转化，把已知条件转化成了数学式 子．然而最关键的解法并未说出，给出的答案也是 不正确的．而解法２更抽象，本题不但字母多，而且 是非线性的，选手用疑问的语气说“是不是可以把 它转化为二元线性规划问题加以解决”，显然是不 合适的．到底是能还是不能，应该给出一个明确答 案． 选手２：题目考查的是二次函数，条件ｃ≥ｌ铮 ・２・ 中学教研（数学） ０）≥１，ａ＋ｂ＋Ｃ≥１乍 １）≥１，求ａ的最小值．这 可从ａ的几何意义人手．ａ越小，抛物线开口越大， 开口最大的情况为 ０）＝１ １）＝１，且抛物线与 轴相切．此时ｎ的值最小，当然这个值是取不到 的，这是临界状态．所以ａ＞４，ａ ｉ ：５． 从而 ａ＞４，ａ…＝５． 感悟选手４能在这么短的时间里，用２种方 法优美地解决着实不易，而且处理得特别好．先利 用不等式性质得出范围，然后验证，避免扩大范围． 看问题的角度不同，思路也就会不一样．选手 感悟真是“众里寻他千百度，蓦然回首，那 ３对问题的分析多了一份理性的思考；选手２利用 极限思想另辟蹊径；选手４解题策略丰富，善于转 换思维角度，用不同的方法完美解决问题． ３“说题”还说什么 人却在灯火阑珊处”！选手２抓住图形分析，做到 处变不惊．因为抛物线必须和 轴有公共点，若 ，（０）＞１ １）＞１，或抛物线的顶点往下平移，则抛 物线开口必然会小起来，从而从抛物线开口最大 高中数学教师说题比赛在浙江省是第一次．本 （指相同自变量范围内）的极端位置人手，利用极 限思想漂亮地解决了问题，干净利落地出现了我们 所期待的结果． 选手３：因为方程ａｘ， ＋ ＋ｃ＝０有２个小于１ 的不等正根，所以 ０）＝ｃ≥１； １）＝ａ＋ｂ＋Ｃ≥１； Ｊｌ ０＜一 ＾ ＜１； 【△：ｂ２ 一０． 减少变量，分离ｂ．因为ａ＞０，所以 一２ａ＜ｂ＜０． 由ｂ 一４ａｃ＞０，得～ｂ＞２ 口 又由 厂（１）＝ａ＋ｂ ４－Ｃ≥１， 得 ０≥１一ｂ—ｃ＞１十２￣，／口ｃ—Ｃ， 所以口一２ ＋ｃ＞１，（ 一 ＞１， 一 ＞１， 于是 ＞１＋ ≥２， 即 ａ＞４，ａ ｉ ＝５． 感悟选手３理性的思考、严密的推理令人佩 服，可惜的是选手３只是给出了本题的一种解答． 解法不是解答，解法是解答问题的方法．因此“说 解法”也不是“说解答”，而是在给出简要解答过程 的同时着重说明解答的思路．解答是对解法的验 证，证明这种解法是可行的． 选手４：和前几位选手一样列出不等式组，消 去ｂ，得ａ＞４ｃ．猜想ａ ＝５．然后特殊值验证：令 ，（Ｏ）：１ １）＝１，得ｂ＝一５，Ｃ：１，经检验符合题 意． 进一步地，设ｆ（ ）：ａ（ — ）（ — ）．由 Ｏ）≥１ １）≥１得 厂（０）・，（１）＝ａｘ１ ２・ａ（１一 １）（１一 ２）≥１， ＞ ｊｂ，， 次比赛的说题要求是“说解法、背景、对思维培养 方面的作用及不足等”，然而选手宝贵的３０分种 准备时间基本都用在解法的考虑上了，说题也主要 说了该题的解答．笔者认为说题还可以从以下几个 方面去展开． ３．１说题目 因为听题的人事先不知道说题者所说的题目， 所以首先要介绍所要说题的题目．说题目不是读 题，而是介绍一道题目，笔者认为可以先说问题的 属性，再说已知条件、求解目标在说法上既要讲得 明白，又不要罗嗦． 譬如题１可以这么说：这是一个一元二次问 题，同时又是一个最值问题．条件ｃ≥ｌ 厂（０）≥ｌ， ａ＋ｂ＋ｃ≥１铮厂（１）≥ｌ，方程ａｘ ＋ ＋ｃ＝０有２个 小于ｌ的不等正根，问题的目标是求正整数口的最 小值，ａ是二次函数的二次项系数，它与抛物线开 口大小有关． ３．２说背景 背景，从字面意义上来理解，与前景相对应，就 是背后的衬托物之意（百度百科）．说题目的背景 就是说这道题目背后的东西，它可以是之前的题 目、一般的问题、相关的知识、普适的方法，因此可 以从题目与问题的背景、知识与方法的背景这２个 方面来说． （１）说题目与问题的背景． 例如题１的不等式问题背景比较明显，已知关 于３个参变量ａ，ｂ，Ｃ的３个约束条件，一般来说可 以求任何一个变量的取值范围．题１实际上还具有 高等数学知识的命题背景，如果删除条件ａ∈Ｎ’， 那么ａ具有下确界４．所谓ａ具有下确界４，是指ｎ 大于４，且无限逼近于４． （２）说知识与方法的背景． 题ｌ的几何背景非常明显 ）的图像是一条 第５期 陈建走：在探究中升华数学习题的价值 ・３・ 与 轴有２个不同交点的抛物线，２个交点的横坐 正意义，不是单纯的传授知识，而是启迪思维，使学 标是小于１的正数，抛物线与Ｙ轴及直线 ＝ｌ的 生学到解决问题的办法和获得知识的方法． 交点均在直线Ｙ＝１的上方（包括直线上）．求正整 若题１作为训练题，则利用一题多解可以培养 数ｎ的范围，其实是求抛物线开口的大小． 学生思维的深刻性和灵活性．数学是思维的体操， 另外，本题是求正整数ｎ的最小值，我们说。 数学思维需要通过解题训练来达成．认真审题，全 的最小值为ｍ，是指ｎ≥ｍ且ａ能取到ｍ．求最值 面、深刻理解问题的条件和结论以及它们之间的关 可以利用不等式的性质进行放缩，防止扩大范围， 联，是培养学生思维深刻性的一个重要途径．若将 放缩后要验证这个值是可以取到的．这一点选手４ 题１作为试题，则可以说是用数学中最本质的内容 做得特别好，在得出ｎ＞４后，利用特例进行了验 考查学生最基本的数学素养，将很好地考查数学中 证． 一些基本的数学思想和方法．譬如数形结合的思 ３．３说功能 想、函数与方程的思想、化归与转化的思想等，能有 对培养学生思维能力的作用可以从题目的功 效检测学生的推理论证、合情猜想，以及灵活运用 能来说，可以说一说作为例题的教学功能、作为习 知识分析、解决问题的能力． 题的训练功能、作为试题的检测功能． 总而言之，说题要注意说的艺术性，表达清楚、 还是以题１为例，题１语言平实、朴素、简洁， 内容科学、见解深刻、语言优美．说题目，语言的概 真可谓是“平凡中见真谛，朴素中显能力”．如果这 括性是关键；说解法是在给出简要解答过程的同 道题作为教学例题，可以培养学生从多角度考虑问 时，着重说明解答的思路；说背景可以从题目与问 题，抓住问题的基本特征与特殊因素，在教学中可 题的背景、知识与方法的背景这２个方面人手；说 以设置以下问题：“你是怎样想的？为什么要这样 功能要实事求是，要善于挖掘但不要牵强附会． 做？你的理由是什么？”——了解知识发生的过 程；“你还有别的方法吗？”——求异思维；“你有别 参考文献 的看法吗？有更快捷的办法吗？”——联想、发散、 创造；“你能总结这类题的解法吗？”——抽象概 括；“如果要这样的话，必须要……？”——假设、想 甘志国．湖北卷理１５的“名题”背案［Ｊ］．中 象．如此放开思路探索问题解法的多样性，进而培 学数学，２００９（７）：４１． 养学生思维的广阔性和灵活性． ［２］ 鄢雪清．浅析学生难以提出“问题”的原因及 “教的最终目的是为了不教”，教师工作的真 对策［Ｊ］．中学数学教学，２００９（３）：３－５． 在探究中升华数学习题的价值 ●陈建美 （瓶窑中学浙江杭州３１１１１５） 荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾说过：“数学教 的再创造，培养学生的数学思考能力．如何对习题 学方法的核心是学生的‘再创造”’．数学教学不仅 进行探究呢？通常可以改变命题的条件或结论，在 要让学生获得知识，更重要的是让学生拥有智慧、 类比中引导学生的探究过程． Ｌ 学会思考和再创造．知识关乎事物，智慧关乎人生， 例１ 已知双曲线方程 知识能看到一块石头就是一块石头，一粒沙子就是 ２ ２ ＾．为 一 ＝１（Ⅱ＞０，ｂ＞０）， 一粒沙子，做一道习题算一道习题，智慧则能从石 ｎ Ｄ ）＼ 头和沙子中看到风景，从习题中得到启发，获得创 过双曲线上任一点Ｐ作双曲 新的灵感． 线的渐进线的平行线，与２条 数学探究是高中数学新课程中引入的一种新 渐进线构成平行四边形，求平 图】 的学习方法，通过对习题的探究，有助于实现知识 行四边形的面积．