希尔伯特几何公理

希尔伯特几何公理

佛山石门中学 高二（2） 邓乐涛

一、符号及一些说明

有三组不同的对象：点，直线，平面 点用A,B,C,D……来表示； 直线用a,b,c,d……来表示； 平面用α,β,γ,δ……来表示。

点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为立体几何的元素

那么点，几何元素之间又有一定的相互关系 ① 点A在直线a上：② 点A在平面α上：③ 直线a在平面α上：

（直线的每一点都在平面上）

（我自己规定的符号） （原书是用

号的，不过对于我们不常见，

④ 点B在点A与点C之间：⑤ 线段AB与CD相等：所以我用了=号） ⑥

与

相等：

等等……

（线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在叙述公理的时候再说）

在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的

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希尔伯特几何公理

最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”。最简单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对(x,y)，定义线是

，

其实在这个定义下，“几何”已经失去了“直观”的形式了，因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。

我这里的关系符号

，

，

并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们

本身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。

总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言，我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几何）

公理I关联公理

本组公理有，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：（为了方便论述，以后说二、三……点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或平面）

I1：对于两点A和B，恒有一直线a，使得I2：对于两点A和B，至多有一直线a，使得（对于1,2，我们可以说两点确定一直线）

I3：一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上； I4：对于不在同一直线的三点A,B和C，恒有一平面α，使得对于任一平面，恒有一点A，使得

；

；（唯一；（存在性）

（存在性）； （唯一性）；

I5：对于不在同一直线的三点A,B和C，至多有一平面α，使得

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性）

（对于4,5，我们可以说三点确定一平面） I6：若I7：若两平面

且

，则

；

有一个公共点A，则他们至少还有一个公共点B；

I8：至少有四点不在同一个平面上。 以上。

其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以放弃了。

公理II顺序公理

本组公理有四条，规定了“在……之间”这个关系。根据这个概念，直线上的，平面上的，空间上的点才有顺序可言。

II1：对于点A,B,C，如果也成立；（如图）

，则点A,B,C是直线上不同的三点；这时，

II2: 对于点

恒有一点

，使得

；（如上图）

II3:一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点间；

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根据上面，我们就可以定义线段了：

对于直线a和直线上的两点A,B；我们把这一点对{A,B}称为线段，用AB或BA表示。在A和B之间的点叫做线段AB的点；A点和B点叫做线段AB的端点。

II4:设A,B,C是不在同一个平面的三点：对于在平面ABC且不经过点A,B,C的直线a，若a交于线段AB的一点，则它必定交于线段AC或CB的一点（如图）

以上。 接下来定义射线

先定义同侧：设A,A’,O,B是直线a上的四点，而O在A,B之间，但不在A,A’之间，则A和A’称为在a上点O的同侧，而A,B两点称为异侧。

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那么射线就定义为直线a上点O同侧的点的全体。比如与上图关于点O与B同侧的射线我们记为OB（虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）

公理III合同公理

本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。

III1：对于线段AB和一点A’，恒有一点B’，使得线段AB与线段A’B’相等，记为

因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同：

III2：若

且

，则

；

与

等

（根据1,2，我们才能得到线段AB与自己相等，才能得到

价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等”。总而言之根据1,2我们才能得到线段相等的“反身性”，“对称性”，和“传递性”，这才说明这是一个等价关系。）

III3：线段AB，BC在同一直线a上，且无公共点；线段A’B’，B’C’在同一直线a’上，且也无公共点。如果

,则

这条公理还要求线段能够相加，可以定义AB+BC=AC（其中A,B,C共线）

相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。 我们先定义角的概念：

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对于不同一直线的三点O,A,B，射线OA，和射线OB的全体我们称为角，记为O称为。的顶点，射线OA，和射线OB称为的边。

同样与A,B的次序无关。

根据定义，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考虑的范围内。

III4：对于条射线O’B，使得

，和一条射线O’A’，在射线O’A’所在的一个平面内，有且只有一与

相等，记为

。而且有

。

如同线段一样，下面四条等式的意义是一样的

然后先定义三角形：线段AB,BC,CA所构成的图形，记为III5：若

与

，有下列等式

则有

。

这条公理可以理解为三角形全等（SAS），事实上SAS这个公理的直接推论。

公理IV平行公理

这条公理显得很苍白，但在历史上很重要…… 先定义平行：

对于同一平面上的两条直线线a和b，a与b无公共点，则称a与b平行，记为

.

IV（欧几里得平行公理）：设a是任意一条直线，A是a外的任意一点，在a和A所决定的平面上，至多有一条直线b，使得

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且。

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根据这个公理，我们可以得到平行线内错角，同位角相等；反之也成立。

公理V连续公理

V1（阿基米德原理）：对于线段AB,CD，则必定存在一个数n，使得沿着射线AB，自A作首尾相连的n个线段CD，必将越过B点。

在这里必须说下数的阿基米德原理：任意给定两个数a,bn，使na>b

V2（直线完备公理）：将直线截成两段a,b(不是直线)，对于任意的A∈a，B∈b，则总存在一个点C，C∈AB。

也就是说，不再存在一点不在直线上，把这点添加到直线上之后，仍满足前面的公理I~IV的

（书上的描述太笼统，我还是用我自己的话说了）

，必存在正整数要注意的是直线完备公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！

二、公理的相容性

这里所谓的相容性，就是这五组公理是互不矛盾的。也就是说，不能从这些公理推导到相矛盾的结果。但是，如果直接从公理出发证明相容性几乎是一件不可能的事情（而且如果一个公理体系含有皮亚诺算术公理的话，这还是一个不可能的事情，这

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是根据哥德尔不完全定理得到的），那么我们应该如何来证明呢？希尔伯特将方向转向了“数”。

我们只说明平面几何（因为好说明），立体几何类似。。

我们考虑的是实数域R。 ① 点我们用实数对

；

② 直线我们用

来表示： 。

两条直线

③ 点在直线上：④ 点

在点

与点

之间：

；

⑤ 对于点，线的平移，对称，旋转的变换，我们用一个变换来表达：

，

平行，当且仅当

来表示：

，其中

然后如果线段相等就是，两线段在以上的坐标变换中能重合，角亦然。 （PS把线段和角也看做点的集合，定义懒得写了） 那么用以上规定几何对象

公理I（关联公理）显然都是成立的，只需要用到①②③规定。 公理II（顺序公理）显然也都是成立的，再加上④规定。

公理III（合同公理）也是成立的，加上规定⑤。需要一点点论述，就是点与直线

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在经过⑥的变换后仍然是我们所研究的几何对象（也就是说x’,y’都还是实数，其实就是要说明

形的数还是实数，这是显然的）

公理IV（平行公理）在直线的这种规定下是成立的。

公理V（连续公理）根据实数的完备性，还有实数是阿基米德域这一性质可以直接得到。

也就是说我们所做的规定都是满足“称为几何”的性质的，我们便可以将这些实数，实数对作为几何对象。

那么这样，就把这五组公理的相容性就与算术的相容性联系在了一起了。那么只需要证明算术的相容性就可以了。

关于算术的相容性，这里是对于实数理论，但是其相容性能在自身证明（这是个完备的公理系统）。但是按照希尔伯特的意愿一般来说指的是皮亚诺算术公理的相容性，不过根据哥德尔不完备定理，这是在算术公理内是无法自证的，只能根据另外一个跟更强的公理系统（比如说集合论ZFC公理）来证明，可是这“另外一个公理系统”的相容性，又不能用自身证明了= =（根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性）。

简短提一下的是，这个几何公理系统不仅是相容的，而且是完备的（就是这个公理的任一语句都能在这个公理系统内证明，即确定其真值）

三、平行公理的性（非欧几何）

我们知道了公理的相容性之后，其实还有一个有趣的问题是公理的性，虽然

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这并不影响论证（多些方便的公理还方便于论证呢），但是数学家们总喜欢简洁的东西……额不说了。什么是性？就是一个公理不能是其他公理的逻辑推论。如何证明这里某个公理性？一个办法就是剔除掉这个公理，然后根据其它公理构建一个新的模型，使得被剔除掉的公理不满足于这个模型。

历史上最令人争议的就是平行公理了，也就是用欧几里得提出的公理来证明平行公设……当然都失败了。之后，人们就发现了非欧几何。

什么是非欧几何学？其实就是满足以上除了平行公理的所有公理的几何模型。既然有了非欧几何，那么平行公里的性就不证自明了。现在主要是分成两种，一个是黎曼几何，一个是罗氏几何。

然而黎曼几何我不清楚（手头的书也没有），所以我不提……

对于罗氏几何，来代替原来平行公理的公理描述如下：

如果b是任一直线，且A是不在b上，则过点A有不在同一直线的两条射线a1，a2，它们与b都不相交，而且在a1，a2所成角内的任一射线都与b都相交。

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那么a1，a2所在的直线称为与b平行

然后非欧几何学最简单的一个特例就是球面几何，连高中选修都会讲到

只需要定义“直线”为大圆便好…… 我就不深入了。

四、合同公理的性

相对平行公理来说，合同公理的性并没有在历史上并没有引起太大的争议。因为合同公理1~4并没有什么卵用，所以我们只需要说明公理III5(可以说是三角形全等的SAS)具有性就好。

一般来说，我们定义线段相等就是长度相等，角相等就是角度相等，而我们所说的长度，比如对

,

，

，这个可以

在前面在规定坐标变换中得到。

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接下来我们便抛弃这个“长度”的设定（就是抛弃上面规定⑥中线段相等的定义），噢，要保留原来角相等的设定。

我们新定义一个长度： 对于

,

，

规定线段相等就是长度相等。

在这个规定下验算公理I,II,III1~4,IV,V都是成立的。只不过唯独对于III5就不一定成立了。举一个反例：

显然定下显然

，OA=OC=OB。按照公理III5。

，但是在这种规

从而证明了公理III5的性。

五、连续公理的性

这是我们要叙述性的最后一组公理（其他的没必要）。

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同上面的方法一样，我们又得找一个数学对象只满足公理I~IV了。我们又是要把研究的方向转向了数。

其实在说明五组公理的相容性的时候我们是用了实数域R来构建几何，其实域有许许多多，而实数恰好又满足众多域不满足的性质：完备性，阿基米德原理。那么其实我们只要找一个域不满足这两个性质的就好，然而这样的域又有许许多多。（域通俗来说就是满足加减乘除的东西的集合，当然还要满足乘法交换率）

首先我们很容易就构建一个域F，从1开始，其加减乘除，还有过这五种运算的结果）的得到的所有结果都放在F里。

那么这个域的数字构造的几何对象满足公理I~IV，但是因为其自身并不满足完备性（也就是画出来的数轴有“洞”），比如说

，也就从而说明了完备性的性。

（是经

题外话，这个域F其实挺重要的，在证明尺规作图的可行性就是基于这个域。

然后是非阿基米德域，也就是不满足阿基米德原理的数域，举个最简单的例子，一个集合

，可以验证其加减乘除都在

里，所以这是一

个域。这是实数的一个子集，我们一般描述这个集合里这些数的序关系是最简单的 大小 关系，比如说

。

是一个非阿

然后我们要构建一个新的描述这些数的序关系，在这个序关系下基米德域。

定义序关系举个例子大小.

那么在这个顺序关系下，

；

等等。也就是优先比较的

并不满足阿基米德原理（由读者自己验证），所以

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这是一个非阿基米德域。

当然非阿基米德域还有好多好多，比如说上面的域F，也可以找一个类似的序关系来代替掉大小关系（这种序关系），使得F是一个非阿基米德域。再构造几何对象，那就是一个除了连续公理（完备性和阿基米德原理两个个都不满足）的几何体系了。

不过值得注意的是同时满足阿基米德原理和完备性的就只有实数R了。这点也说明了希尔伯特几何的唯一性。

六、一些补充

皮亚诺算术公理

1. 2.

0不是任何数的后继数

x与y的后继数相等，则x与y相等

，

这个就是数学归纳法 4.

存在零元和幺元 5.

加法的定义 6.

乘法的定义

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3. 为算术公理的任一公式

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这里就是后继数，比如1的后继数就是2.

这里的公理3,5,6决定了皮亚诺公理的不完备性，具体怎样就不说了，哥德尔不完备定理的证明用的是递归函数，然后递归函数又是以公理3,5,6所定义的。

实数公理

约定，所有实数记为，一部分实数X，记为;X中存在实数x，则记为1. 加法公理 1)

零元存在性 2)

存在相反数 3)

加法结合律 4)

加法交换律 2. 乘法公理 1)

幺元存在性 2)

存在倒数 3)

乘法结合律 4)

乘法交换律 3. 乘法对加法的分配率 1)

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4. 序公理 1) 反身性 2)

反对称性 3) 传递性 4)

任意两个实数都能比较大小

5. 加法和乘法与序的关系 1)

不等式两端同时加上一个实数，不等号方向不改变 2)

正数之积为正数 6. 完备公理 1)

对于任意的两部分实数X,Y，满足对于任意实数则存在一个实数c，使得

对于完备公理，要说明一下，这里用的是二阶逻辑来写的。还有只有才满足。举个例子。如果自然数，满足完备公理，我把自然数分成两部分：

，那么不存在一个数

数就是

.

（

,

，）,这个

。

,

，有

，

这里对应的就是直线的完备公理。

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关于公理系统

什么是公理系统？

一个公理系统可以这样理解：它是一个形式化的语言，由字符表（比如几何公理中用A，a，α表示的点线面），形成规则（逻辑公理，就是推理的规则，还有非逻辑公理，就是我们给出的公理，比如说完备公理），还有公式（按照形成规则构成的字符串）组成。

他们没有任何含义，就像一部按规则摆弄拼凑字符的机器罢了，它们给出的只是语法。而给出一个公理系统实际意义的，称为模型。比如实数1,2,3等等还有其加法乘法，就是上面实数公理的实际体现（把符号x,y,z映射到1,2,3，把符号+映射到“加法”这一概念上）。再比如说，这里几何公理中A,B,C映射到真的点上等等。当然一个任何一个实际对象都可以放在公理系统中研究，只不过有时候会很难找到对应的实际意义。

总而言之满足实数公理的对象，称作实数模型；满足几何公理的对象，称为几何模型。等等

而公理系统有几个特征：

1. 相容性：对于公理系统内任一语句A，A和

不能同时成立；

2. 完备性：对于公理系统内任一语句A，其真值都能得到判定； 3. 性：每一条非逻辑公理都不是其他非逻辑公理的推论。

性没什么好讲的。在历史上引起巨大反响的是公理系统的相容性，还有性。

其中最出名的是哥德尔不完备定理：

一、任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题，因此通过推演不能得到所有真命题

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二、任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性

举个例子，比如说集合论里面连续统假设还有良序定理都是ZF公理里面无法证明其真伪的。

不过实数公理还有几何公理都不蕴含皮亚诺算数公理，他们的完备性和相容性又得另当别论了。还好实数公理还有几何公理都是相容且完备的。

事实上不完备的系统也不一定要蕴含皮亚诺公理，比如说上面的几何公理中去掉了平行公理就不是一个完备的公理体系了：比如过点A与线a不相交的直线有且只有一条。这个命题承认或者不承认都与另外几条公理没有任何矛盾的地方。

参考书籍：

《希尔伯特几何基础》【德】希尔伯特 《数学分析》【苏联】卓里奇

《数理逻辑与集合论》清华大学出版社 Wiki

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