2010年北京海淀数学一模试卷及答案

数 学

1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟. 考2．在答题卡上准确填写学校名称、班级名称、姓名. 生须3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效. 知 4．考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1．1的倒数是 211 D. 22A. 2 B.2 C.

2．2010年2月12日至28日，温哥华冬奥会官方网站的浏览量为275 000 000人次. 将 275 000 000用科学记数法表示为

A. 2.7510 B.27.510 C. 2.7510 D.0.27510 3．右图是某几何体的三视图，则这个几何体是

A. 圆柱 B. 正方体 C. 球 D. 圆锥

4．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为

A. 5 B.6 C. 7 D. 8

5．一个布袋中有4个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，1个红球．从袋中任意

摸出1个球是白球的概率是 A．

773121 B． C． D． 443326． 四名运动员参加了射击预选赛，他们成绩的平均环数x及其方差s如表所示．如果选

出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，那么应选

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

7．把代数式 3x36x2y3xy2分解因式，结果正确的是

1

A．x(3xy)(x3y) B．3x(x22xyy2) C．x(3xy)2 D．3x(xy)2

EA8. 如图,点E、 BC6. 点A、F是以线段BC为公共弦的两条圆弧的中点，FD分别为线段EF、BC上的动点. 连接AB、AD，设BDx，

BD22ABADy，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象是

C

A． B． C． D．

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数y3x1的自变量x的取值范围是 ．

10．如图, O的半径为2，点A为O上一点，OD弦BC于点D，

ABODCOD1,则BAC________．

11．若代数式x6xb可化为(xa)1，则ba的值是 ．

2212. 如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，

△B3D2C2的面积为S2，„，△Bn1DnCn的面积为Sn，则S2= ；Sn=____ （用含n的式子表示）．

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：122cos30(31)() ．

01212x32． x3x315. 如图, △OAB和△COD均为等腰直角三角形，AOBCOD90, 连接AC、BD.求证: ACBD.

14．解方程：

B C

DAO2

16． 已知：x3x10，求代数式(x2)x(x10)5的值.

2217. 已知：如图，一次函数y33的图象在第一象限的交点为xm与反比例函数y3xA(1，n)．

（1）求m与n的值；

（2）设一次函数的图像与x轴交于点B，连接OA，求BAO的度数．

18. 列方程（组）解应用题：

2009年12月联合国气候会议在哥本哈根召开．从某地到哥本哈根，若乘飞机需要3小时，若乘汽车需要9小时．这两种交通工具平均每小时二氧化碳的排放量之和为70千克，飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车的多千克，分别求飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量．

四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分） 19．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DCB90，ACBD于点O，

DC2,BC4，求AD的长.

AOD

20. 已知：如图，O为ABC的外接圆，BC为O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF，过点A作ADBF于点D.

（1） 求证：DA为O的切线； （2） 若BD1，tanBADBC

AFDBOC1，求O的半径. 2

3

21. 2009年秋季以来，我国西南地区遭受了严重的旱情,某校学生会自发组织了“保护水资源从我做起”的活动. 同学们采取问卷调查的方式，随机调查了本校150名同学家庭月人均用水量和节水措施情况.以下是根据调查结果做出的统计图的一部分.

图1 图2

请根据以上信息解答问题： （1）补全图1和图2；

（2）如果全校学生家庭总人数约为3000人，根据这150名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家庭月用水总量.

22．阅读：如图1，在ABC和DEF中，

ABCDEF90,ABDEa,BCEFb ab,B、C、D、 E四点都在

直线m上，点B与点D重合.

连接AE、FC，我们可以借助于SACE和SFCE的大小关系证明不等式：ab2ab（ba0）.

证明过程如下:

∵BCb,BEa,ECba.

22F11ECAB(ba)a, 2211SFCEECFE(ba)b.

22∵ba0,

∴SACE∴SFCESACE. 即

AB（D）E图1

CmF11(ba)b(ba)a. 2222A∴bababa. ∴ab2ab. 解决下列问题：

（1）现将△DEF沿直线m向右平移，设BDk(ba),

且0k1.如图2,当BDEC时, k .利用此图,仿照上述方法,证明不等式：ab2ab（ba0）.

4

2222BDE图2

Cm（2）用四个与ABC全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个示意图，并简要说明理由. ．．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．关于x的一元二次方程x4xc0有实数根，且c为正整数. （1）求c的值；

（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中,抛物线yx4xc与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C. 点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；

（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为m,n,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围.

24. 点P为抛物线yx2mxm(m为常数，m0)上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90后得到的新图象与，点Q为点P旋y轴交于A、B两点（点A在点B的上方）转后的对应点.

（1）当m2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标； （2）设点Q(a,b)，用含m、b的代数式表示a； （3) 如图，点Q在第一象限内, 点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO 平分AQC，AQ2QC，当QDm时，求m的值.

25.已知：△AOB中，ABOB2，△COD中，CDOC3,∠ABO∠DCO. 连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.

2222 5

BMPONCABMOPANDD

C

图1 图2

(1) 如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO60，则△PMN的形状是________________，此时

AD________； BC(2) 如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO2，证明△PMN∽△BAO，并计算

AD的值（用含的式子表示）； BC(3) 在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值.

6

海淀区九年级第二学期期中测评

数学试卷答案及评分参考

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 答 案 1 B 2 C 3 D 4 B 5 A 6 B 7 D 8 C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

题 号 答 案 9 10 60 11 5 12 1x 3233n ,3n1三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：122cos30(31)().

0121解： 原式=232312----------------------------------4分 2 =31.---------------------------------5分 14．解方程：

2x32. x3x32解：去分母，得 2x(x3)3(x3)2(x9)． ---------------------------------1分

去括号，得2x6x3x92x18． ---------------------------------2分 解得 x1． ---------------------------------4分 经检验，x1是原方程的解．

∴ 原方程的解是x1． ---------------------------------5分 15．证明：∵ AOBCOD90,

∴ AOCBOD.---------------------------------1分 ∵ △OAB与△COD均为等腰三角形，

∴ OAOB,OCOD.---------------------------------3分 在△AOC和△BOD中，

22AOBO,AOCBOD, OCOD,

7

∴ △AOC≌△BOD.---------------------------------4分 ∴ ACBD.---------------------------------5分

16．解： 原式=x4x4x10x5---------------------------------2分 =2x6x1.---------------------------------3分 当x3x10时，

原式=2(x3x)1---------------------------------4分 210119.---------------------------------5分 17．解：（1）∵点A(1,n)在双曲线y222223上， x∴n3.---------------------------------1分

又∵A(1,3)在直线y3xm上， 3∴ m23.---------------------------------2分 3（2）过点A作AM⊥x轴于点M. ∵ 直线y323x与x轴交于点B， 33∴

323x0. 33 解得 x2. ∴ 点B的坐标为. （-2，0）∴ OB2.---------------------------------3分 ∵点A的坐标为(1,3)， ∴AM3,OM1.

在Rt△AOM中，AMO90, ∴tanAOMAM3. OM∴AOM60.---------------------------------4分

8

由勾股定理，得 OA2. ∴OAOB. ∴OBABAO. ∴BAO1AOM30.---------------------------------5分 218．解：设乘飞机和坐汽车每小时的二氧化碳排放量分别是x千克和y千克. „„„1分

依题意，得xy70,---------------------------------2分

3x9y.x57,解得----------------------------4分

y13.答: 飞机和汽车每小时的二氧化碳排放量分别是57千克和13千克. „„„5分 四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分） 19．解法一：过点D作DE//AC交BC的延长线于点E.---------------------------------1分

∴ BDEBOC. ∵ ACBD于点O, ∴ BOC90.

∴ BDE90. ---------------2分 ∵ AD//BC，

∴ 四边形ACED为平行四边形. ---------------3分 ∴ ADCE.

∵ BDE90,DCB90，

∴ DCBCCE.-------------------------------4分 ∵ DC2,BC4， ∴ CE1.

∴ AD1.---------------------------------5分 解法二： AD//BC，

2E ADCDCB180.

又 DCB90，

 ADC90. --------------------------------------------1分

9

 ACBD于点O,  BOC90.

 DBCACB90.  ACBACD90.

 DBCACD.------------------------------------------2分

 tanDBCtanACD.---------------------------------------------3分

CD在Rt△BCD中，tanDBC.

BCAD在Rt△ACD中，tanACD.

CDCDAD.------------------------------------------4分 

BCCD BC4,CD2，

 AD1. ---------------------------------------------5分

20. （1）证明：连接AO. ---------------------------------1分

∵ AOBO，

∴ 23. ∵ BA平分CBF， ∴ 12. ∴ 31 .

∴ DB∥AO.--------------------------2分 ∵ ADDB, ∴ BDA90. ∴ DAO90. ∵ AO是⊙O半径，

∴ DA为⊙O的切线. ---------------------------------3分 （2） ∵ ADDB,BD1，tanBAD∴ AD2.

由勾股定理，得AB5. --------------------------------4分

AFDB4312OC1， 2∴ sin45. 5

10

∵ BC是⊙O直径， ∴ BAC90. ∴ C290.

又∵ 4190, 21, ∴ 4C. 在Rt△ABC中，BCABABsinC=sin4=5. ∴ O的半径为52.-------------------------5分 21. 解：(1)

50-------------------------2分

--------------------------4分

(2) 全体学生家庭月人均用水量为

3000101422503324165150--------------------------5分9040（吨）.

答：全校学生家庭月用水量约为 9040吨.--------------------------6分

22．（1）k12；--------------------------1分 证明：连接AD、BF.

可得BD12(ba).

11

1111BDABbaaaba， 22241111SFBDBDFEbabbba.

2224∵ ba0，

∴ SABD∴ SABDSFBD， 即

F11ababba. 4422∴ ababab.

∴ ab2ab.--------------------------2分 （2）答案不唯一，图1分，理由1分. 举例：如图，理由： 延长BA、FE交于点I. ∵ ba0，

∴ S矩形IBCES矩形ABCD， 即 b(ba)a(ba). ∴ bababa.

∴ ab2ab.--------------------------4分 举例：如图，理由：

四个直角三角形的面积和S14大正方形的面积S2ab. ∵ ba0， ∴ S2S1.

∴ ab2ab.--------------------------4分

2222A22BDECmIEFADHGm22BC221ab2ab， 2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵关于x的一元二次方程x4xc0有实数根，

∴ △=164c0.

∴ c4.-----------------------1分 又∵ c为正整数，

∴ c1,2,3,4. ------------------- 2分 （2）∵ 方程两根均为整数，

12

2∴ c3,4.---------------3分

又∵ 抛物线与x轴交于A、B两点， ∴ c3.

∴ 抛物线的解析式为yx4x3.--------------4分

∴ 抛物线的对称轴为x2.

∵ 四边形OBPC为直角梯形，且COB90， ∴ PC∥BO.

∵ P点在对称轴上，

∴ PC2.--------------5分

（3）2m0或2m4.----------- 7分（写对一个给1分）

24. 解：（1）当m=2时，y(x2)，则G(2,0)，P(4,4). --------------------1分

如图，连接QG、PG,过点Q作QFx轴于F,过点P作PEx轴于E. 依题意,可得△GQF≌△PGE. 则FQEG2,FGEP4, ∴ FO2.

∴ Q2,2. ------------------2分

（2）用含m,b的代数式表示a：amb. ------4分 （3）如图，延长QC到点E，使CECQ,连接OE. ∵ C为OD中点,

∴ OCCD. ∵ ECOQCD, ∴ △ECO≌△QCD.

∴ OEDQm. ------------------5分 ∵ AQ2QC, ∴ AQQE. ∵ QO平分AQC, ∴ 12.

∴ △AQO≌△EQO. ------------------6分

222 13

∴ AOEOm.

∴ A0,m.------------------7分 ∵ A0,m在新的图象上, ∴ 0mm.

∴ m11，m20（舍）.

∴ m1. ------------------8分

25. 解：(1)等边三角形，1；(每空1分) ------------------------2分

（2）证明：连接BM、CN.

由题意，得BMOA，CNOD,AOBCOD90. ∵ A、O、C三点在同一直线上， B∴ B、O、D三点在同一直线上.

∴ ∠BMC∠CNB90. ∵ P为BC中点，

2AMOND1∴ 在Rt△BMC中，PMBC.

21在Rt△BNC中，PNBC.

2∴ PMPN.---------------------------3分

∴ B、C、N、M四点都在以P为圆心，∴ ∠MPN2∠MBN.

PC1BC为半径的圆上. 21ABO， 2∴ ∠MPNABO.

∴ △PMN∽△BAO. ----------------------------------4分

MNAO∴ . PMBA11由题意，MNAD，又PMBC.

22ADMN∴ .------------------------------------5分 BCPMADAO∴ . BCBAAM在Rt△BMA中，sin.

AB∵ AO2AM，

AO∴ 2sin.

BA又∵ MBN 14

AD2sin.------------------------------6分 BC5（3）.--------------------------------7分

2∴

(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)

15