向量基底的选择

向量基底的选择

1. 以共点向量为基底

例1. 在△ABC内求一点P，使PA2PB2PC2的值最小。 解：如图1：

 设CAa，CBb，CPx，以a，b，x为一组基底，有：

 PAax，PBbx

222 故|PA||PB||PC|



22PAPBPC222(ax)(bx)x2

3x22(ab)·xa2b21123[x(ab)]a2b2(ab)2332221 所以，当x(ab)时，|PA||PB||PC|的值最小，此时，

3PAPBPC0，即P点为△ABC的重心，因此，当P为△ABC重心时，

PA2PB2PC2的值最小。

2. 以任一点为起点，相关顶点为终点的向量作基底

例2. 在四边形ABCD中，P、Q分别为对角线AC、BD的中点，E、G、F、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点，求证：EF、GH、PQ的中点重合。

 证明：以平面上任一点O为始点，设OAa，OBb，OCc，ODd，

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以a，b，c，d为基底，有：

11OE(ad)，OF(bc)2211 OG(ab)，OH(cd)2211OP(ac)，OQ(bd)22 设EF、GH、PQ的中点分别为M1、M2、M3，则

11OM1(OEOF)(abcd)2411 OM(OGOH)(abcd)22411PQ(OPOQ)(abcd)24 故M1、M2、M3重合，

即EF、GH、PQ的中点重合。

3. 以共点的单位向量为基底

例3. 如图3，在△ABC内任取一点O，△BOC、△AOC、△AOB的面积分别为

SA、SB、SC，证明：SA·OASB·OBSC·OC0。

 证明：设OA|OA|e1，OB|OB|e2，OC|OC|e3，以单位向量e1、e2、e3为

基底，并设∠BOC＝α，∠AOC＝β，∠AOB＝γ，则有：

1 SA|OC|·|OB|sin

21 所以，SA·OA|OA|·|OB|·|OC|e1sin

21 同理：SB·OB|OA|·|OB|·|OC|e2sin

21 S·OC|OA|·|OB||OC|e3sin C2 所以，SA·OASB·OBSC·OC

 1|OA|·|OB|·|OC|

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 (e1sine2sine3sin)

 在OA上取一点D，使ODe1sin，作DE∥OB交CO延长线于E，则

∠DEO＝180°－α

∠DOE＝180°－∠β，∠ODE＝180°－γ 在△DOE中，由正弦定理，得：

|OD||EO||DE| sinDEOsinODEsinDOE|e1sin||OD| 又1

sinDEOsin180 所以|EO|sin，|DE|sin

 故EOe3sin，DEe2sin

 因为ODDEEO0

 即e1sine2sine3sin0

 从而SA·OASB·OBSC·OC0

练习

1. △ABC中，AB＝AC，D是AB中点，O是△ABC的外心，E是△ACD的重心。 求证：OE⊥CD

2. 已知四边形ABCD，求证：AC⊥BD当且仅当ABCDBCDA。 3. 四边形ABCD的对角互补，AB、DC交于E，AD、BC交于F，EG平分∠AED交AD于G，FH平分∠AFB交AB于H，求证：EG⊥FH。 提示：

2222 1. 可选择OA、OB、OC作为基底。

 2. 在ABCD所在平面内任取点O，以OA、OB、OC、OD为基底。  3. 以EA、ED、FA、FB的单位向量为基底。

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