中考第一轮专题复习7

第三单元（四）四边形（2）—梯形

普陀区课题组

一、 知识梳理：

平行四边形 四边形 梯形 梯形中位线 等腰梯形 直角梯形 1.梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形

A2.特殊的梯形：等腰梯形、直角梯形

3.等腰梯形：

（1）定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （2）性质：

①等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等；

BDC问题1：可能是等腰梯形ABCD的四个内角∠A、∠B、∠C、∠D的比是（ ）

（A）1:2:1:2；（B）1:1:2:2；（C）1:2:2:4 ；（D）1:2:3:4．

②等腰梯形的两条对角线相等；

③等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴． 4.梯形的判定： ①梯形的定义.

②判定定理1：在同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形． ③判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形．

5.梯性的中位线定理：梯形的中位线平行于上下两底并且等于上下两底和的一半.

ADFCEB1(ADBC) 22EFADBC EF问题2：梯形上底4，下底为6，则中位线夹在两对角线间的线段长为（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

6梯形中常用的辅助线：

EADADA D ABDCCBBCEEF 作高 平移腰 平移对角线

ADADACD B延腰 EF E C CCBBB 连中位线 连对角线 连一腰中点并延长

EF二、例题分析：

例1．已知：如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM的中点，AM=AC，AE∥BC．

求证：四边形EBCA是等腰梯形．

分析：1）根据已知条件，观察图形，你能找到哪些基本图形？

DEAE A D B EDM AC

EA

BMCBMCBMCBMC2）结合图中的基本图形，怎样证明四边形EBCA是等腰梯形？ 两腰相等的梯形是等腰梯形.

证明：AE∥BC且D是线段AM的中点 AM=AC

  1 ,即ED=DC EB=AC  DMDCADED AM是△ABC的中线， AE∥BC且 EB与AC不平行  DM是△CEB的中位线. 四边形EBCA是梯形  AM∥EB  EB=AC

AE∥BC 四边形EBCA是等腰梯形．

四边形EBMA是平行四边形

 AM=EB

小结：要证明一个四边形是等腰梯形，先要证明它是一个梯形.

例2．（学科基本要求P109 例3）

已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC,点E是边CD的中点，点F在边BC上 ，

EF//AB. AD1求证：BF(ADBC).

2EBCF分析：方法一，由点E是CD的中点及待证结论，

联想梯形的中位线性质，从而取AB中点M，只要证明ME=BF

方法二，由结论想到作一条长度等于AD+BC的线段，于是考虑把AD平移到与BC

相接的位置，（可通过联结AE并延长交BC的延长线于G来实现）这样就只要证明F是线段BG的中点即可.

AD2 证明：（方法二）联结AE并延长交BC的延长线于点G

EAD//BC

D1,2G

E是CD的中点，可知，DE=EC

BF1 CGADEGCE AD=CG,AE=EG BG=BC+CG, BG=AD+BC

在ABG中，EF//AB AEBF EGFG11BF=FG,即BF=BG=(ADBC)

22说明：解决有关梯形的问题时，常要通过添加辅助线构造三角形或平行四边形将问题

转化，本题还可如方法三所示添加辅助线，构造全等三角形，进而证明结论.

AG方法三：考虑把FC平移到与AD相接的位置， D（可通过延长FE交AD的延长线于G来实现） E这样就只要证明DG=FC即可.

B变式1：（已知不变，改变结论） CF已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC,点E是边CD的中点，点F在边BC上 ，

EF//AB.

AD求证：CFBFAD. 2 E

1 分析：这个结论用上面提到的证法二、三都可证明，

BCF如方法二中，在三角形全等基础上，得到AD=CG,AE=EG

再利用平行，得到BF=FG,由于CF=FG-CG等量代换后此题得证.

AD但也可选择如下做法：

考虑把AD平移到与BF重合的位置， E即过点D做DG//AB,交BC于点G,

BGCF则需证明F为CG的中点即可.

变式2：如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，DE:EC1:2，点F在边BC上 ，EF//AB.

试说明.BF与AD、BC的数量关系.

分析：由于此时E是腰DC的中点这一条件变为点E分DC为1:2两部分，则考虑利用平行线构成的基本图形将AD、BC建立联系，进而找出数量关系 答：BFG1(BC2AD) 32证明：（方法二）联结AE并延长交BC的延长线于点G

AAD//BC

DE1AEDEAD EGECCGDE:EC1:2

AEDEAD1 EGECCG2即CG2AD

BFCG在ABG中，EF//AB 且

AE1 EG2 BF1即BF1BG

BG33BGBCCGBC2AD BF1(BC2AD)

3例3. 已知四边形ABCD中，AD∥BC,AB=DC，AC与BD相交于点O，∠BOC= 120 ，AD=7，

BD=10，求四边形ABCD的面积

分析：根据已知AD∥BC,AB=DC，你能判断这个四边形是个怎样的四边形吗？

（1） 当AB与DC不平行时，四边形ABCD是等腰梯形 （2） 当AB//DC时，四边形ABCD是平行四边形

解：（1）当AB与DC不平行时，四边形ABCD是等腰梯形

BADO1 E2 C四边形ABCD是等腰梯形 等腰梯形是轴对称图形

AB=DC,AC=BD, EC=BE-AD ABCDCB AD=7 ∠BOC= 120  EC=53-7

11230 S(ADBC)DE253 2在RtBDE中，BD=10

ADE=5，

由勾股定理得BE=53

(2) 当AB//DC时，四边形ABCD是平行四边形

FBCOD四边形ABCD是平行四边形且BD=10 设OF=x，则AF=3x BO=DO=5， 在RtAFD中,由勾股定理得

过A作AFBD,垂足为F ADAFFD且AD=7

2223∠BOC= 120  72(3x)2(x5)2解得x 233  AF=∠AOF= 602在RtAFO中tan∠AOF =AF3, S21BDAF153 FO2作业布置：

数学学科教学基本要求P114.A.6.7

P115.A.9,B.3.4