21.2.1 配方法

21.2 解一元二次方程

21.2.1 配方法

一、教学目标

1．使学生进一步了解一元二次方程的根的概念．

2．使学生掌握直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．

3．掌握通过配方法可化成x2＝p(p≥0)或(x＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法． 二、教学重难点

重点：运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程；领会降次——化归的数学思想． 难点：通过根据平方根的意形如x2＝p(p≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程．

教学过程（教学案）

一、情境引入

1.复习回顾一元二次方程的概念，完全平方式的特点，如何开平方. 2.师生合作探究问题1：

（1）教师引导分析正方体的外表面就是求正方体的表面积． （2）师生合作探究解题过程.

（3）探究验证5和－5是否是方程①的根的方法.

二、互动新授

2

1.探究求形如x＝p的一元二次方程根的方法

（1）根据问题1的解答过程学生自主探究总结方法 （2）教师总结开平方法．

2.探究形如(x＋n)2＝p的方程的解法 （1）探究2x2－18＝0的解法

2

①教师启发学生把2x2－18＝0转化为x＝p的形式. ②学生自主解答.

2

（2）对照解方程x＝p的过程探究方程(x＋3)2＝5的解法.

①教师启发学生把x＋3看成一个整体． ②学生自主解答.

③教师总结方法：实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． ④练习解方程(x＋3)2－5＝0和2(x＋3)2－10＝0. (3)总结形如(x＋n)2＝p的方程的解法 (4)探究配方法

①探究方程x2＋6x＋9＝5的解法

教师启发学生把等号左边的式子因式分解，把方程转化为x＋n)2＝p的形式． ②探究方程x2＋6x＋4＝0的解法

Ⅰ.教师启发学生把方程转化为(x＋n)2＝p的形式，共同解答.

Ⅱ.教师用框图出示解方程x2＋6x＋4＝0的过程可 Ⅲ.验证，－3±5是方程x2＋6x＋4＝0的两个根． （3）总结方法. 3.精讲例1

4.课堂练习 三、课堂小结

四、板书设计

21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法 1.直接开方法解形如x2＝p的方程 2.直接开方法解形如(x＋n)2＝p的方程 3.配方法解形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程 五、教学反思

本课的教学目标是让学生理解并掌握一元二次方程的解法之一——配方法，掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤，感受用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会化归的思想方法．因为配方法不仅是解一元二次方程的方法之一，而且它还可以作为其他数学问题的一种研究思想，其发挥的作用和意义十分重大．本课教学过程是从特殊到一般的递进探究的过程．由于学生的个体差异明显，所以学生往往出现以下错误：①二次项系数没有化为1就盲目配方；②不能给方程“两边”同时配方，在利用添项来使等式左边配成一个完全平方式时，等式的右边忘了加；③配方之后，右边是0，结果方程根书写成“x＝…”的形式(应为x1＝x2＝…)；④在开平方这一步骤中，学生要么只有正没有负的，要么右边忘了开方；⑤所给方程的未知字母有时不是x，而是y，z，a，m等，但个别同学在写方程根时字母都变成了x.对于以上错误，教师要重点强调配方法的一般步骤，说明必须依据等式的基本性质给方程两边同时加一个常数．另外，要加强训练，使学生熟练掌握该方法．

导学案

一、学法点津

本课要让学生理解并掌握一元二次方程的解法之一——配方法，而学生由于初学配方法，往往丢三落四，不能给方程“两边”同时配方，且在利用添项来使等式左边配成一个完全平方式时，等式的右边总是忘了加．为了突破这个难点，学生必须熟练掌握配方法的一般步骤，严格依据等式的基本性质给方程两边同时加一个常数．另外，要加强训练，从而达到熟练掌握的目的． 二、学点归纳总结

1.知识要点总结

（1）直接开平方法求形如x2＝p的方程：

①当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根x1＝－p，x2＝p； ②当p＝0时，方程两个相等的实数根x1＝x2＝0；

③当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根．

（2）求形如(x＋n)2＝p的方程的解，实质上是把一元二次方程(x＋n)2＝p“降次”，转化为两个一元一次方程，就可以解了．

①当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1＝－n－p，x2＝－n＋p； ②当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－n； ③当p＜0时，方程无实数根． （3）用配方法解一元二次方程的步骤：

①化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； ②最高项系数化为1；

③把常数项移到等号的右边；

④对等号左边配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方； ⑤直接开平方，整理，写出根．

2.规律方法总结

解一元二次方程的思想是降次．配方法的目的就是为了降次．配方法主要就是在方程两边都加上一次项系数一半的平方(注意：二次项系数不为1的要先化为1)，将方程的二次项和一次项配成完全平方式，得到一个完全平方式等于一个常数，从而求出方程的根．

课时作业设计

一、选择题

1.解下列关于x的一元二次方程中，其中有两个不相等的实数根的方程是( )． A．x2＋4＝0 B．4x2－4x＋1＝0 C．x2＋x＋3＝0 D．x2＋2x－1＝0

2

2.用配方法解方程x2－x＋1＝0正确的解法是( )．

3

128122A.x－3＝，x＝±

933128 B.x－3＝－，原方程无解

9

2252－525C.x－3＝，x1＝＋，x2＝

93332251D.x－3＝1，x1＝，x2＝－

33二、解答题

3．解下列方程： 1

(1)y2－y＋＝1； (2)x2－2x－3＝0；

4

(3)x2－3x－1＝0； (4)x2－2x－2＝0.

4．要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少？ 【参】

1.D 2.B

31

3.（1）y1＝，y2＝－ 22

（2）x1＝3，x2＝－1

3＋133－13

（3）x1＝，x2＝ 22

（4）x1＝1＋3，x2＝1－3 4.长为8m，宽为2m.