抽象函数专题

1.定义：没有给出具体解析式的函数叫做抽象函数，抽象函数问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解。

2.抽象函数的单调性：

例1.已知定义在R上的函数f(x)对任意x、yR有f(xy)f(x)f(y)，且当

x0时f(x)0

（1）试判断函数f(x)在R上的单调性；

（2）若f(1)1，f(x)f(2x)2，求x的取值范围。

例2.已知定义在R上的函数yf(x)，f(0)0，当x0时f(x)1，且对任意x、

yR有f(xy)f(x)f(y)

（1）证明f(0)1； （2）证明对任意xR，恒有f(x)0； （3）判断f(x)在R上的单调性；

（4）若f(x1)f(xx2)1，求x的取值范围。

例3.若定义域为(0,)的函数f(x)有f(xy)f(x)f(y)，且当x1时f(x)0 （1）求f(1)；

（2）判断f(x)在定义域上的单调性；

（3）若f(2)1，求满足不等式f(x)f(x3)2的x的取值范围。

例4.已知定义在(0,)上的函数yf(x)，f(1)0，当x1时f(x)1，且对任意x、yR有f(xy)f(x)f(y)

（1）求f(1)；

（2）证明对任意x(0,)，恒有f(x)0； （3）判断f(x)在R上的单调性；

（4）若f(x1)f(x1)1，求x的取值范围。

2例5.已知函数f(x)的定义域为(0,)，当x(0,)时，恒有f[f(x)]2x，且过

f(x)图像上任意两点的直线斜率都大于1，求证：

（1）f(x)为增函数； （2）f(x)x； （3）证明：（1）对任意x1、x2满足0x1x2，恒有

4f(x)3 3x2f(x2)f(x1)1，则

x2x1f(x2)f(x1)x2x10，故f(x)为增函数。

（2）由于

f[f(x)]f(x)2xf(x)x[f(x)x]x11，即

f(x)xf(x)xf(x)xf(x)xx2，又由x0知f(x)x0，故f(x)x。

f(x)x（3）由（2）知

f(x)x1f(x)3x，即，故 2，所以

x2x2f(x)xf(x)44f(x)3f[f(x)]2x3，总之。 ，所以x33x2f(x)f(x)2

2.抽象函数的奇偶性：

例1.已知函数f(x)，当x、yR时，恒有f(xy)f(x)f(y). （1）求证：f(x)是奇函数； （2）若f(3)1，求f(2013).

例2.函数yf(x)(xR,x0)对任意的非零实数x,y恒有f(xy)f(x)f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性

例3.已知f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，对一切实数x、y都成立，且f(0)0，求证f(x)为偶函数

例4.已知定义在[-2，2]上的偶函数，f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围。 3.抽象函数的对称性：

（1）若函数f(x)图像关于直线xa对称，则f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)

（2）若f(ax)f(bx)，则函数f(x)图像关于直线xab对称。 2（3）若函数f(x)图像关于点(a,0)对称，则f(ax)f(ax)f(x)f(2ax) （4）若函数f(x)图像关于点(a,b)对称，则

f(ax)2bf(ax)f(x)2bf(2ax)

例1.函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，且f(x)0有且只有7个根，则这些实数根的和为

例2.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于_______对称

例3.已知函数f(x)是定义在R上的增函数，设F(x)f(x)f(ax) （1）用函数单调性的定义证明：F(x)是R上的增函数； （2）证明:函数yF(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.

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