丰都县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

丰都县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．

2． 设函数f（x）=，f（﹣2）+f（log210）=（ A．11

B．8

C．5

D．2

3． 已知复数z满足：zi=1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（ ） A．﹣i B．i C．1

D．﹣1

4． 圆x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（ A． B．21 C．

221 D．221 5． 两个随机变量x，y的取值表为

x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若x，y具有线性相关关系，且^

y＝bx＋2.6，则下列四个结论错误的是（ A．x与y是正相关

B．当y的估计值为8.3时，x＝6 C．随机误差e的均值为0

D．样本点（3，4.8）的残差为0.65

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）

） ）精选高中模拟试卷

6． 设函数F（x）=是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）对于x

∈R恒成立，则（ ） A．f（2）＞e2f（0），f C．f（2）＞e2f（0），f A．p∧q B．￢p∧q A．8πcm2

B．f（2）＜e2f（0），f D．f（2）＜e2f（0），f

D．￢p∧￢q

7． 已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（ ）

C．p∧￢q

8． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（ ）

B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2

9． 下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ）

A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜

10．某种细菌在培养过程中，每20分钟一次（一个为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） A．512个

B．256个

C．128个

D．个

11．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）

D1 C1 A1 B1 P D C A B

A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 12．设a∈R，且（a﹣i）•2i（i为虚数单位）为正实数，则a等于（ ） A．1

B．0

C．﹣1 D．0或﹣1

二、填空题

13．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为 ． 14．已知集合

，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是 ．

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14．用“＜”或“＞”号填空：30.8 30.7．

15．如图，函数f（x）的图象为折线 AC B，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是 ．

16．设所有方程可以写成（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1（α∈[0，2π]）的直线l组成的集合记为L，则下列说法正确的是 ； ①直线l的倾斜角为α；

②存在定点A，使得对任意l∈L都有点A到直线l的距离为定值； ③存在定圆C，使得对任意l∈L都有直线l与圆C相交； ④任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2；

⑤任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1⊥l2．

217．已知a[2,2]，不等式x(a4)x42a0恒成立，则的取值范围为__________.

18．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为

，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为 ．

三、解答题

19．（本小题满分12分） 已知函数f(x)eaxbx.

（1）当a0,b0时，讨论函数f(x)在区间(0,)上零点的个数； （2）证明：当ba1，x[,1]时，f(x)1.

20．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值．

x212第 3 页，共 16 页

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（Ⅰ）求c的取值范围；

2

（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d+2d恒成立，求d的取值范围．

21．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）．

（Ⅰ）若x轴是曲线f（x）=lnx﹣kx+1一条切线，求k的值； （Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．

22．（本小题满分10分）直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C1的参数方

x＝cos t程为（t为参数），圆C2的普通方程为x2＋y2＋23x＝0.

y＝1＋sin t

（1）求C1，C2的极坐标方程；

（2）若l与C1交于点A，l与C2交于点B，当|AB|＝2时，求△ABC2的面积．

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23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|x2||x1|，g(x)x. （1）解不等式f(x)g(x)；

（2）对任意的实数，不等式f(x)2x2g(x)m(mR)恒成立，求实数m的最小值.111]

24．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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丰都县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】 B

【解析】解：三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体， 它们的底面直径均为2，故底面半径为1， 圆柱的高为1，半圆锥的高为2，

2

故圆柱的体积为：π×1×1=π，

半圆锥的体积为：故该几何体的体积V=π+故选：B

2． 【答案】B 【解析】解：∵f（x）=∴f（﹣2）=1+log24=1+2=3，

=5，

∴f（﹣2）+f（log210）=3+5=8． 故选：B．

=

×=，

，

，

【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

3． 【答案】D

【解析】解：由zi=1+i，得∴z的虚部为﹣1． 故选：D．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

4． 【答案】B 【解析】

试题分析：化简为标准形式x1y11，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半

22，

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径，d11222，半径为1，所以距离的最大值是21，故选B.

考点：直线与圆的位置关系 1 5． 【答案】

^^

【解析】选D.由数据表知A是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入y＝bx＋2.6得b＝0.95，即y＝0.95x＋

^

2.6，当y＝8.3时，则有8.3＝0.95x＋2.6，∴x＝6，∴B正确．根据性质，随机误差e的均值为0，∴C正确．样

^

本点（3，4.8）的残差e＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D错误，故选D. 6． 【答案】B 【解析】解：∵F（x）=∴函数的导数F′（x）=∵f′（x）＜f（x）， ∴F′（x）＜0，

即函数F（x）是减函数，

2

则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜ef（0），f，

，

=

，

故选：B

7． 【答案】B

11xx

【解析】解：因为x=﹣1时，2﹣＞3﹣，所以命题p：∀x∈R，2＜3为假命题，则￢p为真命题．

3232

令f（x）=x+x﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x+x﹣1在（0，1）上存在零点，32

即命题q：∃x∈R，x=1﹣x为真命题．

则￢p∧q为真命题． 故选B．

8． 【答案】B

【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2R=

2

，S=4πR=12π

=2R，

故选B

9． 【答案】D

【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，

可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，

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名师出高徒也具有相关关系， 吸烟有害健康也具有相关关系， 故选D．

=6次，

【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．

10．【答案】D 【解析】解：经过2个小时，总共了故选：D．

6

则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到2=个．

【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．

11．【答案】D.

第Ⅱ卷（共110分）

12．【答案】B

【解析】解：∵（a﹣i）•2i=2ai+2为正实数， ∴2a=0， 解得a=0． 故选：B．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．

二、填空题

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13．【答案】 6 ．

32222

【解析】解：f（x）=x﹣2cx+cx，f′（x）=3x﹣4cx+c， f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4， 令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，

故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减， ∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6． 故答案为6

【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．

14．【答案】 ＞

x

【解析】解：∵y=3是增函数， 又0.8＞0.7，

0.80.7

∴3＞3．

故答案为：＞

【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用，是基础题．

15．【答案】 （﹣1，1] ．

【解析】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，如图所示：

由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，． 故答案为：（﹣1，1]

16．【答案】 ②③④

【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误； 对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），

22

可以认为是圆（x﹣1）+（y﹣2）=1的切线系，故②正确；

对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，

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22

如圆C：（x﹣1）+（y﹣2）=100，故③正确；

对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确； 对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误． 故答案为：②③④．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．

17．【答案】(,0)【解析】

试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在a[-2，2]时恒成立,只要满足在a[-2，2]时直线在轴上方即可，设关于的函数yf(x)x(a4)x42a(x2)ax4x4对任意的a[-2当a-2，2]，

22(4,)

时，yf(a)f(2)x(24)x440，即f(2)x6x80，解得x2或x4；当a222时，yf(2)x(24)x440，即f(2)x2x0，解得x0或x2，∴的取值范围是

22{x|x0或x4}；故答案为：(,0)(4,)．

考点：换主元法解决不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在a[-2，2]时恒成立,只要满足在a[-2，2]时直线在轴上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.

18．【答案】 4或 ．

【解析】解：设AB=2x，则AE=x，BC=∴AC=

，

×

，

，

22

由余弦定理可得x=9+3x+9﹣2×3×

∴x=1或或AB=2

，

，球O的直径为，球O的直径为．

=4，

=

．

，BC=

∴AB=2，BC=2故答案为：4或

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三、解答题

e2e2e219．【答案】（1）当a(0,)时，有个公共点，当a时，有个公共点，当a(,)时，有个公共

444点；（2）证明见解析. 【解析】

exex试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得a2,构造函数h(x)2,利用h(x)'求出

xxe2单调性可知h(x)在(0,)的最小值h(2),根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数

4h(x)exx2x1,利用导数可判断h(x)的单调性和极值情况,可证明f(x)1.1

试题解析：

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当a(0,e)时，有0个公共点； 42

e2当a，有1个公共点；

4e2当a(,)有2个公共点.

4x2'x（2）证明：设h(x)exx1，则h(x)e2x1，

令m(x)h(x)e2x1，则m(x)e2，

'x'x11'22'当x(ln2,1)时，m(x)0，m(x)在(ln2,1)上是增函数，

因为x(,1]，所以，当x[,ln2)时，m(x)0；m(x)在[,ln2)上是减函数，

12第 12 页，共 16 页

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考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点.

【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 20．【答案】

32

【解析】解（Ⅰ）∵f（x）=x﹣x+cx+d，

22

∴f′（x）=x﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x﹣x+c=0有两个实数解，

从而△=1﹣4c＞0， ∴c＜．

（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值， ∴f′（2）=4﹣2+c=0， ∴c=﹣2．

32

∴f（x）=x﹣x﹣2x+d，

2

∵f′（x）=x﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），

∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减． ∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值∵x＜0时，f（x）＜

恒成立，

，

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∴＜，即（d+7）（d﹣1）＞0，

∴d＜﹣7或d＞1，

即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．

【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．

21．【答案】

【解析】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣k=0， ∴x=，

由ln﹣1+1=0，可得k=1；

（2）当k≤0时，f′（x）=﹣k＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；

当k＞0时，若x∈（0，）时，有f′（x）＞0，若x∈（，+∞）时，有f′（x）＜0， 则f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数． k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数， 而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0， ∵f（x）的最大值为f（），要使f（x）≤0恒成立， 则f（）≤0即可，即﹣lnk≤0，得k≥1．

【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．

22．【答案】

x＝cos t

【解析】解：（1）由C1：（t为参数）得

y＝1＋sin t

x2＋（y－1）2＝1， 即x2＋y2－2y＝0，

∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C1的极坐标方程， 由圆C2：x2＋y2＋23x＝0得

ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C2的极坐标方程． （2）由题意得A，B的极坐标分别为 A（2sin α，α），B（－23cos α，α）．

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∴|AB|＝|2sin α＋23cos α| π

＝4|sin（α＋）|，α∈[0，π），

3π1

由|AB|＝2得|sin（α＋）|＝，

32π5π

∴α＝或α＝.

26

ππ5π当α＝时，B点极坐标（0，）与ρ≠0矛盾，∴α＝，

2265π此时l的方程为y＝x·tan（x＜0），

6

即3x＋3y＝0，由圆C2：x2＋y2＋23x＝0知圆心C2的直角坐标为（－3，0）， |3×（－3）|3

∴C2到l的距离d＝＝，

2

（3）2＋321

∴△ABC2的面积为S＝|AB|·d

2

133＝×2×＝. 222

3

即△ABC2的面积为. 2

23．【答案】（1）{x|3x1或x3}；（2）. 【

解

析

】

试

题解析：（1）由题意不等式f(x)g(x)可化为|x2|x|x1|， 当x1时，(x2)x(x1)，解得x3，即3x1； 当1x2时，(x2)xx1，解得x1，即1x1； 当x2时，x2xx1，解得x3，即x3 （4分） 综上所述，不等式f(x)g(x)的解集为{x|3x1或x3}. （5分）

（2）由不等式f(x)2x2g(x)m可得|x2||x1|m，

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分离参数m，得m|x2||x1|，∴m(|x2||x1|)max

∵|x2||x1||x2(x1)|3，∴m3，故实数m的最小值是. （10分） 考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．1 24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）． 设点P的坐标为（x，y）

22

化简得x+3y=4（x≠±1）．

22

故动点P轨迹方程为x+3y=4（x≠±1）

（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0） 则

因为sin∠APB=sin∠MPN， 所以所以

=

．

．

22

即（3﹣x0）=|x0﹣1|，解得22

因为x0+3y0=4，所以

故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为

【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．

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