一、选择题
1. 抛物线 𝑦=(𝑥+3)2−6 的顶点坐标为 ( )
2. 抛物线 𝑦=𝑥2−2𝑥+2 的顶点坐标为 ( )
3. 已知抛物线 𝐶:𝑦=(𝑥−1)2−1，顶点为 𝐷，将 𝐶 沿水平方向向右（或向左）平移 𝑚 个单位，
21
A．(3,−6) B．(−6,3) C．(−3,−6) D．(−6,−3)
A． (1,1) B． (−1,1) C． (1,3) D． (−1,3)
得到抛物线 𝐶1，顶点为 𝐷1，𝐶 与 𝐶1 相交于点 𝑄，若 ∠𝐷𝑄𝐷1=60∘，则 𝑚 等于 ( )
A． ±4√3
B． ±2√3
C． −2 或 2√3
D． −4 或 4√3
4. 二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的图象如图所示，其对称轴为 𝑥=1，与 𝑥 轴负半轴的交点为 (−1,0)，则下列结论正确的是 ( )
5. 在平面直角坐标系中，二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的图象如图所示， ① 𝑎𝑏𝑐<0； ② 𝑏−2𝑎=0； ③ 𝑎+𝑏+𝑐<0； ④ 4𝑎+𝑐<2𝑏；
⑤ 𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐≥𝑎−𝑏+𝑐．
1
A． 𝑎𝑏𝑐>0
B．一元二次方程 𝑎𝑥2+(𝑏−2)𝑥+𝑐=0 无实根 C． 2𝑎−𝑏=0
D． 𝑏2−4𝑎𝑐=(6𝑎+𝑏)2
下列给出的结论，其中正确的结论有 ( )
6. 矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对称轴为坐标轴，点 𝐴 的坐标为 (2,1)．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点 𝐴 重合，此时抛物线的函数表达式为 𝑦=𝑥2，再次平移透明纸，使这个点与点 𝐶 重合，则该抛物线的函数表达式变为 ( )
7. 二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0）中的 𝑥 与 𝑦 的部分对应值如下表：𝑥𝑦
⋯−3−2−101234⋯
给出以下结论：（1）二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
⋯1250−3−4−305⋯
12
A． 4 个 B． 3 个 C． 2 个 D． 1 个
A．𝑦=𝑥2+8𝑥+14 B．𝑦=𝑥2−8𝑥+14 C．𝑦=𝑥2+4𝑥+3 D．𝑦=𝑥2−4𝑥+3
有最小值，最小值为 −3；（2）当 −<𝑥<2 时，𝑦<0；（3）已知点 𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2) 在函数的图象上，则当 −1<𝑥1<0，3<𝑥2<4 时，𝑦1>𝑦2．上述结论中正确的结论个数为 ( )
8. 二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的部分图象如图，图象过点 (−1,0)，对称轴为直线 𝑥=2，下列结论： ① 𝑎𝑏𝑐＞0； ② 4𝑎+𝑏=0； ③ 9𝑎+𝑐>3𝑏；
④当 𝑥>−1 时，𝑦 的值随 𝑥 值的增大而增大． 其中正确的结论有 ( ) A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
2
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
9. 如图所示，边长为 2 的等边 △𝐴𝐵𝐶 是三棱镜的一个横截面．一束光线 𝑀𝐸 沿着与 𝐴𝐵 边垂直的方向射入到 𝐵𝐶 边上的点 𝐷 处（点 𝐷 与 𝐵，𝐶 不重合），反射光线沿 𝐷𝐹 的方向射出去，𝐷𝐾 与 𝐵𝐶 垂直，且入射光线和反射光线使 ∠𝑀𝐷𝐾=∠𝐹𝐷𝐾．设 𝐵𝐸 的长为 𝑥，△𝐷𝐹𝐶 的面积为 𝑦，则下列图象中能大致表示 𝑦 与 𝑥 的函数关系的是 ( )
A． B．
C． D．
10. 如图，在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵=8 cm，𝐵𝐶=4 cm，点 𝐸 是 𝐶𝐷 上的中点，点 𝑃，𝑄 均以
1 cm/s 的速度在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 边上匀速运动，其中动点 𝑃 从点 𝐴 出发沿 𝐴→𝐷→𝐶 方向运动，动点 𝑄 从点 𝐴 出发沿 𝐴→𝐵→𝐶 方向运动，二者均到达点 𝐶 时停止运动．设点 𝑄 的运动时间为 𝑥，△𝑃𝑄𝐸 的面积为 𝑦，则下列能大致反映 𝑦 与 𝑥 函数关系的图象是 ( )
3
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11. 如图，已知抛物线 𝑦=𝑥2，把该抛物线沿 𝑦 轴方向平移，若平移后的抛物线经过点 𝐴(2,2)，那
么平移后的抛物线的表达式是 ．
4
12. 已知关于 𝑥 的二次函数的 𝑦=𝑎𝑥2−𝑏𝑥−2 的图象如图所示，则关于 𝑥 的方程 𝑎𝑥2−𝑏𝑥=0
的根为 ．
13. 如图，抛物线 𝑚:𝑦=𝑎𝑥2+𝑏(𝑎<0,𝑏>0) 与 𝑥 轴交于点 𝐴，𝐵 (点 𝐴 在点 𝐵 的左侧），与 𝑦
轴交于点 𝐶．将抛物线 𝑚 绕点 𝐵 旋转 180∘，得到新的抛物线 𝑛，它的顶点为 𝐶1，与 𝑥 轴的另一个交点为 𝐴1．若四边形 𝐴𝐶1𝐴1𝐶 为矩形，则 𝑎，𝑏 应满足的关系式为 ．
14. 如果将抛物线 𝑦=3𝑥2+5 向右平移 4 个单位后，那么所得新抛物线的顶点坐标是 ．
15. 已知 𝑦=𝑥2+(1−𝑎)𝑥+2 是关于 𝑥 的二次函数，当 𝑥 的取值范围是 0≤𝑥≤4 时，𝑦 仅在
𝑥=4 时取得最大值，则实数 𝑎 的取值范围是 ．
16. 下列关于函数 𝑦=𝑥2−4𝑥+6 的四个命题：
①当 𝑥=2 时，𝑦 有最大值 2；
②若函数图象过点 (𝑎,𝑚0) 和 (𝑏,𝑚0+1)，其中 𝑎>0，𝑏>2，则 𝑎<𝑏； ③ 𝑚 为任意实数，𝑥=2−𝑚 时的函数值大于 𝑥=2+𝑚 时的函数值；
④若 𝑚>2，且 𝑚 是整数，当 𝑚≤𝑥≤𝑚+1 时，𝑦 的整数值有 (2𝑚−2) 个． 上述四个命题中，其中真命题是 ．（填写所有真命题的序号）
17. 在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，函数 𝑦=𝑥2−4𝑥+4 的图象 𝐺 与直线 𝑦=𝑥 交于点 𝐴 ，𝐵
（其中点 𝐴 横坐标小于点 𝐵 横坐标）．记图象 𝐺 在点 𝐴，𝐵 之间的部分与线段 𝐴𝐵 围成的区
5
域（不含边界）为 𝑊．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，则区域 𝑊 内的整点有 个．
三、解答题
18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛 与 𝑥 轴正半轴交于 𝐴，𝐵 两点（点 𝐴 在
点 𝐵 左侧），与 𝑦 轴交于点 𝐶．
(1) 利用直尺和圆规，作出抛物线 𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛 的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写
作法）；
(2) 若 △𝑂𝐵𝐶 是等腰直角三角形，且其腰长为 3，求抛物线的解析式；
(3) 在（2）的条件下，点 𝑃 为抛物线对称轴上的一点，则 𝑃𝐴+𝑃𝐶 的最小值为 ．
19. 某玩具厂投产一种新型电子玩具，每件制作成本为 20 元，试销过程中发现，每月销售量 𝑦（万
件）与销售单价 𝑥（元）之间的关系可以近似的看作一次函数 𝑦=−2𝑥+100，设每月的利润为 𝑤（万元）．（利润 = 售价 − 制作成本）
(1) 写出 𝑤（万元）与 𝑥（元）之间的函数表达式；
(2) 商家想每月获得 250 万元的利润，应将销售单价定为多少元？
(3) 如果厂家每月的制作成本不超过 400 万元，那么厂家销售这种新型电子玩具，每月获得的最
大利润为多少万元？
20. 如图，直线 𝑙:𝑦=−𝑚 与 𝑦 轴交于点 𝐴，直线 𝑎:𝑦=𝑥+𝑚 与 𝑦 轴交于点 𝐵，抛物线 𝑦=
𝑥2+𝑚𝑥 的顶点为 𝐶，且与 𝑥 轴左交点为 𝐷（其中 𝑚>0）．
(1) 当 𝐴𝐵=12 时，在抛物线的对称轴上求一点 𝑃 使得 △𝐵𝑂𝑃 的周长最小； (2) 当点 𝐶 在直线 𝑙 上方时，求点 𝐶 到直线 𝑙 距离的最大值；
(3) 若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当 𝑚=2020 时，求出在抛物线和直线 𝑎
所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．
6
21. 在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中（如图），已知抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的图象经过点 𝐵(4,0)，
𝐷(5,3)，设它与 𝑥 轴的另一个交点为 𝐴（点 𝐴 在点 𝐵 的左侧），且 △𝐴𝐵𝐷 的面积是 3．
(1) 求该抛物线的表达式； (2) 求 ∠𝐴𝐷𝐵 的正切值；
(3) 若抛物线与 𝑦 轴交于点 𝐶，直线 𝐶𝐷 交 𝑥 轴于点 𝐸，点 𝑃 在射线 𝐴𝐷 上，当 △𝐴𝑃𝐸 与
△𝐴𝐵𝐷 相似时，求点 𝑃 的坐标．
22. 已知二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑐，当 𝑥=1 时，𝑦=2；当 𝑥=−2 时，𝑦=14，求此函数解析式．
23. 在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 过原点和点 𝐴(−2,0)．
(1) 求抛物线的对称轴；
(2) 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点 𝐵(0,)．记抛物线与直线 𝐴𝐵 围成的封闭区域
2
（不含边界）为 𝑊．
①当 𝑎=1 时，求出区域 𝑊 内的整点个数；
②若区域 𝑊 内恰有 3 个整点，结合函数图象，直接写出 𝑎 的取值范围．
24. 已知函数 𝑦=−(𝑥−1)(𝑥−3)．
(1) 指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；
(2) 选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图象．
𝑥𝑦
⋯ ⋯
⋯ ⋯
3
25. 抛物线 𝑦=4𝑥2−2𝑎𝑥+𝑏 与 𝑥 轴相交于 𝐴(𝑥1,0)，𝐵(𝑥2,0)(0<𝑥1<𝑥2) 两点，与 𝑦 轴相交
于点 𝐶．
7
(1) 设 𝐴𝐵=2，tan∠𝐴𝐵𝐶=4，求抛物线的解析式；
(2) 在（1）中，若 𝐷 为直线 𝐵𝐶 下方抛物线上一动点，当 △𝐵𝐶𝐷 的面积最大时，求点 𝐷 的
坐标；
(3) 是否存在整数 𝑎，𝑏 使 1<𝑥1<2 和 1<𝑥2<2 同时成立，请证明你的结论．
8
答案
一、选择题 1. 【答案】C
2. 【答案】A
3. 【答案】A
【解析】抛物线 𝐶:𝑦=(𝑥−1)2−1 沿水平方向向右（或向左）平移 𝑚 个单位得到 𝑦=
2
12
1
(𝑥−𝑚−1)2−1，
∴𝐷(1−1)，𝐷1(𝑚+1,−1)， ∴𝑄 点的横坐标为：
12
𝑚+22
，
𝑚+2𝑚22
代入 𝑦=(𝑥−1)2−1 求得 𝑄(,
8
−1)，
若 ∠𝐷𝑄𝐷1=60∘，则 △𝐷𝑄𝐷1 是等边三角形， ∴𝑄𝐷=𝐷𝐷1=∣𝑚∣， 由勾股定理得 (
𝑚+22
2
𝑚28
2
−1)+(−1+1)=𝑚2，
解得 𝑚=±4√3．
4. 【答案】D
5. 【答案】A
【解析】 ∵ 开口向上， ∴𝑎>0， ∵−2𝑎<0， ∴𝑏>0， 由图可知，𝑐<0， ∴𝑎𝑏𝑐<0， ∴ ①正确；
9
𝑏
∵ 对称轴：𝑥=−1=− ∴𝑏=2𝑎， ∴𝑏−2𝑎=0， ∴ ②正确；
𝑏2𝑎
，
∵ 当 𝑥=1 时函数值大于 0， ∴ ③错误；
∵ 当 𝑥=−2 时函数值小于 0， ∴4𝑎−2𝑏+𝑐<0， ∴4𝑎+𝑐<2𝑏， ∴ ④正确；
∵ 顶点坐标横坐标为 −1 且开口向上， ∴ 在顶点处取最小值， ∴𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐≥𝑎−𝑏+𝑐， ∴ ⑤正确．
综上，正确的结论有①②④⑤．
6. 【答案】A
7. 【答案】B
【解析】（1）函数的对称轴为：𝑥=1，最小值为 −4，故错误，不符合题意； （2）从表格可以看出，当 −<𝑥<2 时，𝑦<0，符合题意；
21
（3）−1<𝑥1<0，3<𝑥2<4 时，𝑥2 离对称轴远，故错误，不符合题意； 故选择：B．
8. 【答案】A
【解析】①由图象可得 𝑐>0， ∵𝑥=−2𝑎=2， ∴𝑎𝑏<0，
∴𝑎𝑏𝑐<0，故①错误；
② ∵ 抛物线的对称轴为直线 𝑥=−2𝑎=2， ∴𝑏=−4𝑎，即 4𝑎+𝑏=0，故本结论正确； ③ ∵ 当 𝑥=−3 时，𝑦<0，
∴9𝑎−3𝑏+𝑐<0，即 9𝑎+𝑐<3𝑏，故本结论错误； ④ ∵ 对称轴为直线 𝑥=2，
∴ 当 −1<𝑥<2 时，𝑦 的值随 𝑥 值的增大而增大， 当 𝑥>2 时，𝑦 随 𝑥 的增大而减小，故本结论错误．
10
𝑏
𝑏
9. 【答案】A
【解析】由题可知，等边三角形 𝐴𝐵𝐶 的边长为 2． ∵𝑀𝐸⊥𝐴𝐵，∠𝐵=60∘，
∴△𝐵𝐸𝐷 是直角三角形，∠𝐵𝐸𝐷=90∘，∠𝐵=60∘，∠𝐵𝐷𝐸=30∘， ∵𝐵𝐸=𝑥，
∴𝐵𝐷=2𝑥，𝐶𝐷=2−2𝑥． 又 ∵𝐷𝐾⊥𝐵𝐶，∠𝑀𝐷𝐾=∠𝐹𝐷𝐾， ∴∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐹=30∘． ∵∠𝐶=60∘， ∴∠𝐷𝐹𝐶=90∘， ∴△𝐷𝐹𝐶 是直角三角形， ∴𝐶𝐹=2𝐶𝐷= ∴cos∠𝐶𝐷𝐹= ∴𝐷𝐹=
1√3𝐷𝐶21
2−2𝑥2
=1−𝑥，
√3， 2
𝐷𝐹𝐷𝐶
=cos30∘=
√3(2−2
1
=2𝑥)=√3−√3𝑥，
∴𝑦=2×𝐷𝐹×𝐶𝐹=2(√3−√3𝑥)(1−𝑥)， 即 𝑦=
√32𝑥2
−√3𝑥+
√3， 2
√3)． 2
则 𝑦 与 𝑥 的函数关系图象是开口向上的二次函数，且过点 (0,
10. 【答案】D
二、填空题
11. 【答案】 𝑦=𝑥2−2
12. 【答案】 𝑥1=0，𝑥2=2
【解析】观察图象可知：(−1,0)，(3,0) 在 𝑦=𝑎𝑥2−𝑏𝑥−2 的图象上， 把 (−1,0)，(3,0) 代入 𝑦=𝑎𝑥2−𝑏𝑥−2 得： 𝑎=3,𝑎+𝑏−2=0,
{ 解得 {4 9𝑎−3𝑏−2=0,𝑏=,
32
则方程 𝑎𝑥2−𝑏𝑥=0，即 3𝑥2−3𝑥=0， 3𝑥(𝑥−2)=0，
11
2
24
∴𝑥1=0，𝑥2=2．
13. 【答案】 𝑎𝑏=−3
【解析】令 𝑥=0，得 𝑦=𝑏． ∴𝐶(0,𝑏)．
令 𝑦=0，得 𝑎𝑥2+𝑏=0， ∴𝑥=±√−𝑎．
∴𝐴(−√−𝑎,0)，𝐵(√−𝑎,0)．
∴𝐴𝐵=2√−𝑎，𝐵𝐶=√𝑂𝐶2+𝑂𝐵2=√𝑏2−𝑎． 要使四边形 𝐴𝐶1𝐴1𝐶 是矩形，必须满足 𝐴𝐵=𝐵𝐶， ∴2√−=√𝑏2−．
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
∴4×(−𝑎)=𝑏2−𝑎． ∴𝑎𝑏=−3．
∴𝑎，𝑏 应满足关系式 𝑎𝑏=−3．
14. 【答案】(4,5)
15. 【答案】 𝑎<5
【解析】 ∵0≤𝑥≤4 时，𝑦 在 𝑥=4 时取得最大值， ∴−
1−𝑎2×1
0+42
𝑏𝑏
<，
解得 𝑎<5．
16. 【答案】②④
【解析】 ∵𝑦=𝑥2−4𝑥+6=(𝑥−2)2+2， ∴ 当 𝑥=2 时，𝑦 有最小值 2，故①错误； 当 𝑥=2+𝑚 时，𝑦=(2+𝑚)2−4(2+𝑚)+6，
当 𝑥=2−𝑚 时，𝑦=(𝑚−2)2−4(𝑚−2)+6，
∵(2+𝑚)2−4(2+𝑚)+6−[(𝑚−2)2−4(𝑚−2)+6]=0，
∴𝑚 为任意实数，𝑥=2+𝑚 时的函数值等于 𝑥=2−𝑚 时的函数值，故③错误； ∵ 抛物线 𝑦=𝑥2−4𝑥+6 的对称轴为 𝑥=2>0，
∴ 当 𝑥>2 时，𝑦 随 𝑥 的增大而增大，𝑥<2 时，𝑦 随 𝑥 的增大而减小， ∵𝑎>0，𝑏>2， ∴𝑎<𝑏；故②正确；
∵ 抛物线 𝑦=𝑥2−4𝑥+6 的对称轴为 𝑥=2，𝑎=1>0，
12
∴ 当 𝑥>2 时，𝑦 随 𝑥 的增大而增大， 当 𝑥=𝑚+1 时，𝑦=(𝑚+1)2−4(𝑚+1)+6， 当 𝑥=𝑚 时，𝑦=𝑚2−4𝑚+6，
(𝑚+1)2−4(𝑚+1)+6−[𝑚2−4𝑚+6]=2𝑚−3， ∵𝑚 是整数， ∴2𝑚−2 是整数，
∴𝑦 的整数值有 (2𝑚−2) 个；故④正确．
17. 【答案】 (1,1) ； (4,4) ； 2
【解析】根据题意函数 𝑦=𝑥2−4𝑥+4 与直线 𝑦=𝑥 有交点， 则有 𝑥=𝑥2−4𝑥+4， 解得 𝑥1=1，𝑥2=4，
将 𝑥1=1，𝑥2=4 代入函数得两交点坐标分别为 (1,1)，(4,4)， ∵ 点 𝐴 横坐标小于点 𝐵 横坐标，
∴ 点 𝐴 的坐标为 (1,1)，点 𝐵 的坐标为 (4,4)， 将抛物线变形为顶点式：𝑦=(𝑥−2)2， 即抛物线的顶点为 (2,0)， 将抛物线在直交系内描点如下： 则区域 𝑊 内的整点数为有 2 个．
三、解答题 18. 【答案】
(1) 如图，直线 𝑙 为所作．
(2) ∵△𝑂𝐵𝐶 是等腰直角三角形，且其腰长为 3，即 𝑂𝐵=𝑂𝐶=3， ∴𝐶(0,3)，𝐵(3,0)，
把 𝐶(0,3)，𝐵(3,0) 分别代入 𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛， 𝑛=3,𝑚=−4,得：{ 解得：{
9+3𝑚+𝑛=0,𝑛=3, ∴ 抛物线解析式为 𝑦=𝑥2−4𝑥+3． (3) 3√2
13
【解析】
(3) 连接 𝐵𝐶 交直线 𝑙 于 𝑃，如图，则 𝑃𝐴=𝑃𝐵． ∵𝑃𝐶+𝑃𝐴=𝑃𝐶+𝑃𝐵=𝐵𝐶，
∴ 此时 𝑃𝐶+𝑃𝐴 的值最小，而 𝐵𝐶=√2𝑂𝐵=3√2， ∴𝑃𝐴+𝑃𝐶 的最小值为 3√2．
19. 【答案】
(1) 𝑤=(−2𝑥+100)(𝑥−20)=−2𝑥2+140𝑥−2000． (2) 由题意得，−2𝑥2+140𝑥−2000=250， 解得：𝑥1=25，𝑥2=45．
答：销售单价定为 25 元或 45 元时，厂商每月能获得 400 万元的利润．
(3) 由题意：20(−2𝑥+100)≤400， 解得 𝑥≥40，
∵ 利润函数的对称轴 𝑥=35，开口向下， ∴𝑥=40 时利润最大，最大利润为 400 万．
20. 【答案】
(1) 由已知可得 𝐴(0,−𝑚)，𝐵(0,𝑚)， ∵𝑦=𝑥2+𝑚𝑥 的顶点为 𝐶， ∴𝐶(−
𝑚2
𝑚24
,−)，
∵𝑦=𝑥2+𝑚𝑥 与 𝑥 轴交点为 (0,0)，(−𝑚,0)， ∴𝐷(−𝑚,0)． ∵𝐴𝐵=12， ∴𝑚=6，
∴𝐷(−6,0)，𝐵(0,6)，
∵ 抛物线的对称轴为 𝑥=−，
2𝑚
∴𝐷 与 𝑂 关于 𝑥=−，
2
𝑚
连接 𝐵𝐷 与对称轴的交点即为 𝑃； ∵𝐷𝑃=𝑂𝑃，
∴△𝐵𝑂𝑃 的周长 =𝐵𝑂+𝐵𝑃+𝑃𝑂=𝐵𝑂+𝐵𝑃+𝑃𝐷=𝐵𝑂+𝐵𝐷； ∵𝐵𝐷=6√2，𝑂𝐵=6，
∴△𝐵𝑂𝑃 的周长的最小值为 6+6√2，𝑃(−3,−3)．
(2) ∵ 点 𝐶 在直线 𝑙 上方， ∴ 点 𝐶 到直线 𝑙 距离为 −
𝑚24
𝑚24
1
−(−𝑚)=−
+𝑚=−4(𝑚−2)2+1，
14
当 𝑚=2 时，点 𝐶 到直线 𝑙 距离最大，最大值为 1．
(3) 当 𝑚=1 时，𝑦=𝑥+1 与 𝑦=𝑥2+𝑥 所围成的封闭图形的边界上的“整点”有 4 个； 当 𝑚=2 时，𝑦=𝑥+2 与 𝑦=𝑥2+2𝑥 所围成的封闭图形的边界上的“整点”有 6 个； 当 𝑚=3 时，𝑦=𝑥+3 与 𝑦=𝑥2+3𝑥 所围成的封闭图形的边界上的“整点”有 8 个； 当 𝑚=4 时，𝑦=𝑥+4 与 𝑦=𝑥2+4𝑥 所围成的封闭图形的边界上的“整点”有 10 个； ⋯⋯
当 𝑚=2020 时，𝑦=𝑥+2020 与 𝑦=𝑥2+2020𝑥 所围成的封闭图形的边界上的“整点”有 4042 个．
21. 【答案】
(1) 设 𝐴(𝑚,0)，则 𝐴𝐵=4−𝑚，
由 △𝐴𝐵𝐷 的面积是 3 知 2(4−𝑚)×3=3， 解得 𝑚=2， ∴𝐴(2,0)，
设抛物线解析式为 𝑦=𝑎(𝑥−2)(𝑥−4)， 将 𝐷(5,3) 代入得：3𝑎=3，解得 𝑎=1， ∴𝑦=(𝑥−2)(𝑥−4)=𝑥2−6𝑥+8． (2) 如图 1，过点 𝐷 作 𝐷𝐹⊥𝑥轴 于点 𝐹， ∵𝐴(2,0)，𝐵(4,0)，𝐷(5,3)， ∴𝐷𝐹=3，𝐴𝐹=3， 则 𝐴𝐷=3√2，∠𝐷𝐴𝐹=45∘，
过点 𝐵 作 𝐵𝐸⊥𝐴𝐷 于 𝐸，则 𝐴𝐸=𝐵𝐸=√2， ∴𝐷𝐸=2√2， ∴tan∠𝐴𝐷𝐵=
𝐵𝐸𝐷𝐸
√22√2121
==．
(3) 如图 2，由 𝐴(2,0)，𝐷(5,3) 得直线 𝐴𝐷 解析式为 𝑦=𝑥−2， 由 𝐵(4,0)，𝐷(5,3) 可得直线 𝐵𝐷 解析式为 𝑦=3𝑥−12， 由 𝐶(0,8)，𝐷(5,3) 可得直线 𝐶𝐷 解析式为 𝑦=−𝑥+8， 当 𝑦=0 时，−𝑥+8=0，解得 𝑥=8， ∴𝐸(8,0)，
①若 △𝐴𝐷𝐵∽△𝐴𝑃𝐸，则 ∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝑃𝐸， ∴𝐵𝐷∥𝑃𝐸，
设 𝑃𝐸 所在直线解析式为 𝑦=3𝑥+𝑚， 将点 𝐸(8,0) 代入得 24+𝑚=0， 解得 𝑚=−24，
∴ 直线 𝑃𝐸 解析式为 𝑦=3𝑥+24， 𝑦=3𝑥+24,𝑥=11,由 { 得 {
𝑦=9,𝑦=𝑥−2
15
∴ 此时点 𝑃(11,9)；
②若 △𝐴𝐷𝐵∽△𝐴𝐸𝑃，则 ∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝑃， ∴tan∠𝐴𝐷𝐵=tan∠𝐴𝐸𝑃=，
21
设 𝑃(𝑛,𝑛−2)，过点 𝑃 作 𝑃𝐺⊥𝐴𝐸 于点 𝐺， 则 𝑂𝐺=𝑛，𝑃𝐺=𝑛−2， ∴𝐺𝐸=8−𝑛，
由 tan∠𝐴𝐸𝑃=𝐺𝐸=8−𝑛=2 求得 𝑛=4， ∴𝑃(4,2)；
综上，𝑃(11,9)或(4,2)．
22. 【答案】 𝑦=4𝑥2−2．
23. 【答案】
(1) ∵ 抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 过原点 (0,0) 和点 𝐴(−2,0)， ∴ 抛物线的对称轴为 𝑥=−1．
(2) ∵ 抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 过原点 (0,0) 和点 𝐴(−2,0)， ∴𝑐=0，𝑏=2𝑎．
∴ 抛物线解析式可化为 𝑦=𝑎𝑥2+2𝑎𝑥． ① 𝑎=1 时，抛物线解析式为 𝑦=𝑥2+2𝑥， ∴ 抛物线的顶点为 (−1,−1)． 由图象知，区域 𝑊 的整点个数为 2．
②当 𝑎>0，结合图象：𝑊 内已有 2 个固定整点 (−1,0)，(0,1)，剩下一个整点只可为 (−1,−1) 或 (1,2)．
（Ⅰ）当整点为 (−1,−1) 时，𝑥=−1，𝑦<−1，𝑦 也必须大于 −2，（除点 (−1,−2) 外）， ∴𝑥=−1 时，−2≤𝑦<−1，则 1<𝑎≤2；
（Ⅰ）当整点为 (1,2) 时，𝑥=1，𝑦<2，𝑦 也必须大于 1（除点 (1,1) 外）， ∴𝑥=1 时，1≤𝑦≤2，则 ≤𝑎<，
3
3
1
2
𝑃𝐺
𝑛−2
1
当 𝑎<0 时，
∵ 抛物线过 (−2,0)，(0,0)， ∴ 整点的横坐标只可能为 −1，
有三个整点，即 (−1,1)，(−1,2)，(−1,3)，但不过 (−1,4)， ∴𝑥=−1 时，4≥𝑦>3， ∴−4≤𝑎<−3．
综上所述，3≤𝑎<3 或 1<𝑎≤2 或 −4≤𝑎<−3．
24. 【答案】
(1) 开口向下；顶点 (2,1)；
16
1
2
当 𝑥≤2，𝑦 随 𝑥 的增大而增大， 当 𝑥≥2，𝑦 随 𝑥 的增大而减小．
(2) 略．
25. 【答案】
(1) ∵tan∠𝐴𝐵𝐶=4，
∴ 可以假设 𝐵(𝑚,0)(𝑚>0)，则 𝐴(𝑚−2,0)，𝐶(0,4𝑚)， ∴ 抛物线的解析式为 𝑦=4(𝑥−𝑚)(𝑥−𝑚+2)．
把 𝐶(0,4𝑚) 代入，解得 𝑚=3（另一解不合意，已舍去）， ∴ 抛物线的解析式为 𝑦=4(𝑥−3)(𝑥−1)， ∴𝑦=4𝑥2−16𝑥+12．
(2) 如图，设 𝐷(𝑛,4𝑛2−16𝑛+12)． 作 𝐷𝐻∥𝑂𝐶 交 𝐵𝐶 于点 𝐻． ∵𝐵(3,0)，𝐶(0,12)，
∴ 直线 𝐵𝐶 的解析式为 𝑦=−4𝑥+12， ∴𝐻(𝑛,−4𝑛+12)， ∴𝑆△𝐷𝐵𝐶
=𝑆△𝐷𝐻𝐶+𝑆△𝐷𝐻𝐵
=2×(−4𝑛+12−4𝑛2+16𝑛−12)×3
=−6(𝑛−2)+
∵−6<0，
∴ 当 𝑛=2 时，△𝐵𝐶𝐷 的面积最大，此时 𝐷(2,−3)． (3) 不存在．理由如下：
4−2𝑎+𝑏>0, 16−4𝑎+𝑏>0,
−2𝑎假设存在，由题意可知， 1<−<2, 8 2
{4𝑎−16𝑏>0.解不等式组 1<− ∵𝑎 是整数， ∴𝑎=5,6或7．
当 𝑎=5 时，代入原不等式组，解得 6<𝑏<
254
−2𝑎8
3
3
32
272
1
.
<2，得 4<𝑎<8．
，与 𝑏 为整数矛盾；
当 𝑎=6 时，代入原不等式组，解得 8<𝑏<9，与 𝑏 为整数矛盾； 当 𝑎=7 时，代入原不等式组，解得 12<𝑏<
494
，与 𝑏 为整数矛盾．
综上所述，不存在整数 𝑎，𝑏 使得 1<𝑥1<2 和 1<𝑥2<2 同时成立．
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