概率论与数理统计习题册【范本模板】

第六章 样本及抽样分布

一、选择题

1. 设X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本,则X1,X2,,Xn必然满足（ ）

A。独立但分布不同； B.分布相同但不相互独立； C独立同分布; D。不能确定

2．下列关于“统计量”的描述中,不正确的是（ ）.

A．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数

C。 统计量表达式中不含有参数 D。 估计量是统计量

3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ ).

A。 若F~F(n1,n2),则

1~F(n2,n1) F B．若T~t(n),则T2~F(1,n) C．若X~N(0,1),则X2~x2(1)

(X

D．在正态总体下

i1ni)2~x2(n1)

2

4． 设Xi,Si2表示来自总体N(i,i2)的容量为ni的样本均值和样本方差(i1,2)，且

两总体相互独立,则下列不正确的是（ ）。

22(X1X2)(12)2S~N(0,1) A. 212~F(n11,n21) B.

221S212n1

C。

n2X11S1/n1~t(n1) D。

2(n21)S222~x2(n21)

5。 设X1,X2,

1n。 ,Xn是来自总体的样本，则(XiX)2是( ）n1i1 A.样本矩 B。 二阶原点矩 C。 二阶中心矩 D.统计量 6X1,X2,( ).

,Xn是来自正态总体N(0,1)的样本,X,S2分别为样本均值与样本方差，则

A。 X~N(0,1) B. nX~N(0,1) C.

Xi2~x2(n) D.

i1nX~t(n1) S1

997. 给定一组样本观测值X1,X2,的观测值为 ( ).

,X9且得Xi45,Xi2285,则样本方差S2

i1i16520 D. 328设X服从t(n)分布, P{|X|}a，则P{X}为( ）.

A。 7.5 B。60 C.

A.

12a B。 2a C.

12a D。 112a

9设x1,x2,,xn是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，若

Ya(X12X2)2b(X3X4X5)2c(X6X7X8X9)2服从x2分布,则

a,b,c的值分别为（ ）.

A.

111111111111,, B。 ,, C. ,, D. ,, 81216201216333234

210设随机变量X和Y相互独立,且都服从正态分布N(0,3)，设X1,X2,,X9和

Y1,Y2,,Y9分别是来自两总体的简单随机样本，则统计量U（ )。

Xi19i19i服从分布是

2iYA. t(9) B。 t(8) C。 N(0,81) D. N(0,9)

二、填空题

1．在数理统计中， 称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 .

3．设随机变量X1,X2,,Xn相互独立且服从相同的分布,EX,DX2，令

1nXXi，则EXni14.(X1,X2,,X10);DX.

X~N(0,0.32)的一个样本，则

是来自总体

102PXi1.44 . i1

2

5．已知样本X1,X2,,X16取自正态分布总体N(2,1),X为样本均值，已知P{X}0.5,则 。

210．6设总体X~N(,2)，X是样本均值,Sn是样本方差，n为样本容量，则常用的随机

变量

(n1)Sn22服从 分布。

第七章 参数估计

一、选择题

1n1。 设总体X~N(,),X1,,Xn为抽取样本，则(XiX)2是( ）.

ni12(A)的无偏估计 (B)2的无偏估计 (C)的矩估计 (D) 2的矩估计

2 设X在[0，a]上服从均匀分布，a0是未知参数,对于容量为n的样本X1,,Xn，a的最大似然估计为( ）

1n（A）max{X1,X2,,Xn} （B）Xi

ni11n（C）max{X1,X2,,Xn}min{X1,X2,,Xn} （D)1Xi；

ni13 设总体分布为N(,)，,为未知参数，则的最大似然估计量为( ).

2221n1n2（A）(XiX) （B）(XiX)2 ni1n1i11n1n22（C）(Xi) （D) (X)ini1n1i14 设总体分布为N(,)，已知，则的最大似然估计量为（ ）。 （A）S （B）

222n12S n1n1n2（C）(Xi) （D）(Xi)2 ni1n1i15 X1,X2,X3设为来自总体X的样本，下列关于E(X)的无偏估计中，最有效的为（ ）.

3

11(X1X2) （B)(X1X2X3) 231221(C）(X1X2X3) （D)X1X2X3)

4333（A)

6 设X1,X2,,Xn(n2)是正态分布N(,)的一个样本,若统计量K为的无偏估计，则K的值应该为（ ） （A）

22(Xi1n1i1Xi)21111 （B） （C） (D） 2n2n12n2n17. 设为总体X的未知参数,1,2是统计量，1,2为的置信度为1a(0a1)的置信区间，则下式中不能恒成的是（ ）。

A. P{12}1a B。 P{2}P{1}a C。 P{2}1a

2

D。 P{2}P{1}a 28 设X~N(,2)且未知，若样本容量为n，且分位数均指定为“上侧分位数”时,则

的95％的置信区间为( ）

A. (XnSn2u0.025)

B. (XSnSn2

t0.05(n1))

C. (Xt0.025(n)) D. (X2t0.025(n1))

9 设X~N(,),,均未知,当样本容量为n时，的95％的置信区间为（ ）

(n1)S2(n1)S2(n1)S2(n1)S2A. (2,2) B。 (2,2)

x0.975(n1)x0.025(n1)x0.025(n1)x0.975(n1)S(n1)S2(n1)S2t0.025(n1)) C. (2,2) D. (Xt0.025(n1)t0.975(n1)n二、填空题

1. 点估计常用的两种方法是: 和 。

2. 若X是离散型随机变量,分布律是P{Xx}P(x;)，（是待估计参数），则似然函数是 ，X是连续型随机变量，概率密度是f(x;)，则似然函数是 . 3。 设总体X的概率分布列为：

X 0 1 2 3

4

P p2 2 p（1—p） p2 1—2p

其中p （0p1/2） 是未知参数. 利用总体X的如下样本值: 1, 3， 0， 2, 3, 3， 1, 3

则p的矩估计值为__ ___，极大似然估计值为 。 4. 设总体X的一个样本如下：

1.70,1。75，1。70，1。65，1。75 则该样本的数学期望E(X)和方差D(X)的矩估计值分别_ ___.

(1)x0x15. 设总体X的密度函数为：f(x) ，设X1,,Xn是X的样本，

其他0则的矩估计量为 ，最大似然估计量为 .

1n6。 假设总体X~N(,)，且XXi，X1,X2,,Xn为总体X的一个样本，

ni12则X是 的无偏估计.

2

7 设总体X~N(,)，X1,X2,,Xn为总体X的一个样本，则常数k= , 使

kXiX为 的无偏估计量。

i1n8 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时,样本均方差为

S40.设电子管寿命分布未知,以置信度为0.95,则整批电子管平均寿命的置信区间为

（给定Z0.051.645,Z0.0251.96） . 9设总体X~N(,),

2,2为未知参数，则的置信度为1－的置信区间为

. 10 某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布,且直径的方差为

20.04,从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，给定0.05则滚珠的平均直径的区间估计为 。(Z0.051.645,Z0.0251.96) 11。 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为:

14。6 15。1 14.9 14。8 15。2 15.1

已知原来直径服从N(,0.06)，则该天生产的滚珠直径的置信区间为 ，（0.05,Z0.051.645,Z0.0251.96)。

12. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布,现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得S0.2,

5

2则的置信区间为 （0.1，。 (11)19.68，2(11)4.57）

212

第八章 假设检验

一、选择题

1。 关于检验的拒绝域W,置信水平，及所谓的“小概率事件\下列叙述错误的是( )。 A。 的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述 B．事件{(X1,X2,,Xn)W|H0为真}即为一个小概率事件

C．设W是样本空间的某个子集,指的是事件{(X1,X2,D．确定恰当的W是任何检验的本质问题

2。 设总体X~N(,),未知,通过样本X1,X2,,Xn检验假设H0:0,要采用

检验估计量( )。

A。

22,Xn)|H0为真}

X0/n B.

X0S/n2 C。

XS/n

D.

X/n

3. 样本X1,X2,,Xn来自总体N(,12)，检验H0:100，采用统计量（ ）。 A。

X12/n B。

22X10012/n C.

X100S/n1 D。

XS/n

4设总体X~N(,),未知,通过样本X1,X2,,Xn检验假设H0:0，此问题 拒绝域形式为 . A。{X100S/10C} B。 {X100S/n2C} C。 {X100S/10C} D. {XC}

5．设X1,X2,,Xn为来自总体N(,3)的样本，对于H0:100检验的拒绝域可以形 如（ ）.

A．{XC} B。 {X100C} C. {2X100S/n2C} D. {X100C}

6、 样本来自正态总体N(,)，未知,要检验H0: A.

则采用统计量为( )。 100，

(n1)S22(n1)S2XnS2n D. B. C。

100100100 6

7、设总体分布为N(,2),若已知,则要检验H0:2100,应采用统计量( ）.

A.

XS/n

B。

(n1)S2(X C.

i1n2i) D.

(Xi1n2iX)

2100100二、填空题

1. 为了校正试用的普通天平， 把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上

进

行称量,得如下结果:

99。3， 98。7， 100。5， 101,2, 98.3

99。7 99。5 102.1 100.5, 99。2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异，H0为 .

2．设样本X1,X2,,X25来自总体N(,9),未知。对于检验H0:0，H1:0， 取拒绝域形如X0k,若取a0.05，则k值为 .

7

第六章 样本及抽样分布答案

一、选择题

1。 （ C )

2。（C) 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数

3.（D)

对于答案D，由于

Xi~N(0,1),i1,2,,n，且相互独立，根据2分布的定义有

(Xi1ni)224.(C) 注： 5。(D)

6C） 注：X~N(0,),

~x2(n)

X11~t(n11)才是正确的。

S1/n11nXSn~t(n1)才是正确的

PX1212PX1211

2PX12251292i512(5)1 27。（A） S2Xi19iX291Xi19X2912859257.5

88.(A) 9.（B) 解:由题意可知

X12X2~N(0,20)，X3X4X5~N(0,12)，

X6X7X8X9~N(0,16),且相互独立，因此

X12X220即a10（A）

2XX4X53122XX7X8X96162~23，

111,b,c 201216 8

解：

Xi19i~N(0,9)Xi9~N0,1，Yi29~29

2i1i199 由t分布的定义有Xi199i9～t9 81Yi12i二、填空题

1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量 2.代表性和独立性 3。,4. 0.1 5.2

6。2(n1)

2n

第七章 参数估计

一、选择题

1.答案： D.

nn112ˆ(X)AX，Eˆ(X)AX， [解] 因为E(X)E(X)，E2i1i ni1ni122221n22ˆˆˆE(X)E(X)(XiX)2。 所以，ni122.答案： A。

［解]因为似然函数L(a)11,当amaxXi时，L(a)最大， nnia(maxXi)i所以，a的最大似然估计为max{X1,X2,,Xn}. 3 答案 A 。

［解］似然函数L(,)2i1n12， exp(x)i22212lnL0,lnL0A2. 由，得2 9

4. 答案 C.

［解］在上面第5题中用取代X即可.

5答案 B.

6.答案 C. 7答案 D. 8.答案 D。 9。答案 B。

二、填空题：

1. 矩估计和最大似然估计； 2。

p(x;)ii，

f(x;)ii；

。 3

1, 0.2828； 4[解] (1) p的矩估计值XXi18i16/82，令E(X)34pX，

ˆ(3X)/41/4。 得p的矩估计为 p (2）似然函数为

L(p)P(Xxi)P(X0)[P(X1)]2P(X2)[P(X3)]4

i184p(1p)2(12p)4

lnL(p)ln46lnp2ln(1p)4ln(12p)

令 [lnL(p)]6280， 12p214p30 p1p12pp(713)/12. 由 0p1/2，故p(713)/12舍去 ˆ(713)/120.2828. 所以p的极大似然估计值为 p4、 1.71，0。00138；

2Xiiˆ(X)X,Eˆ(X) ［解］ 由矩估计有：E2n，又因为D(X)E(X)[E(X)]，

22 10

所以Eˆ(X)X1.71.751.71.651.7551.71

D(X)1nn且ˆ(XiX)20.00138。

i1nX1ˆnlnXi5、ˆ2i11X， n；

lnXii1［解］ （1）的矩估计为：

1E(X)x(1)xdx12102x102 :X1nn样本的一阶原点矩为xi

i1所以有：

1ˆ2X2X11X (2)的最大似然估计为：

nnL(X1,,Xn；)(1)Xi(1)n(1Xi)ii1nlnLnln(1)lnXi

i1dlnLndn1lnXi0 i1nnlnXˆi得：i1n.

lnXii16、

；

［解]E(X)1nnE(Xni).

i1n7、

2n(n1)；

［解]注意到X1,X2,,Xn的相互独立性,

11

X1iXnX1X2(n1)XiXn E(X,D(Xn12iX)0iX)n

所以，X(0,n1iX~Nn2)， z22n12E(|XiX|)|z1n|edz

2n1n2z2n12n20z1dz2n12n1e2n nnn因为：Ek2n1|XiX|kE|XiX|kni12n i1所以，k2n(n1).

8、。 [992.16,1007。84］;

［解] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有：

X1000,S40,0.05,Z0.0251.96

的95％的置信区间是：

[XSnZS0.025,XnZ0.025][992.16,1007.84]。 9、 (XSnt(n1),XSt(n1)); 2n2 ［解]这是2为未知的情形，所以

XS/n~t(n1)。

10、 ［14。869,15.131］；

［解] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：[xnZ2,xnZ2]由题意得：x1520.040.05n9,代入计算可得：

[150.20.291.96,1591.96], 化间得：[14.869,15.131]。

12

11、 [14.754,15。146]；

[解］ 这是方差已知，均值的区间估计，所以有:

置信区间为:[XnZX,Z] 2n2由题得:X16(14.615.114.914.815.215.1)14.95 0.05Z0.0251.96n6 代入即得：[14.950.0661.96,14.950.0661.96] 所以为：[14.754,15.146] 12、. [0。15，0。31]； ［解] 由21)S21(n222得： 22(n1)S22,2(n1)S22

212(n1)S2(n1)S2所以的置信区间为:［2(11)，2］ ， 1(11)22将n12，S0.2代入得 [0.15,0.31]。

第八章 假设检验

一、选择题

1.C、2.B、3.B、4.C、5。B、6.B、7。C、8。B 二、填空题

1.100 2。 1。176

13