【精校】2020年河南省安阳市高考一模数学文

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内，复数A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

12i所对应的点位于( )12i

12i＝34i＝34i，

解析：∵12i12i12i12i555∴复数

212i34所对应的点的坐标为(，)，位于第二象限. 12i55答案：B

x

2.设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3﹣1，x∈R}，则A∩B=( ) A.(﹣1，+∞) B.[﹣2，+∞) C.[﹣1，2] D.(﹣1，2]

解析：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，

x

B={y|y=3﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}， ∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=(﹣1，2]. 答案：D

fx1fx2＞0；②3.已知函数f(x)满足：①对任意x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有

x1x2对定义域内任意x，都有f(x)=f(﹣x)，则符合上述条件的函数是( )

2

A.f(x)=x+|x|+1 B.fx＝x

C.f(x)=ln|x+1| D.f(x)=cosx

解析：由题意得：f(x)是偶函数，在(0，+∞)递增，

2

对于A，f(﹣x)=f(x)，是偶函数，且x＞0时，f(x)=x+x+1，f′(x)=2x+1＞0， 故f(x)在(0，+∞)递增，符合题意； 对于B，函数f(x)是奇函数，不合题意；

对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称， 故函数f(x)不是偶函数，不合题意；

对于D，函数f(x)在(0，+∞)无单调性，不合题意； 答案：A 4.若

1x1cos＝3，则cosα﹣2sinα=( )

sin2 5A.﹣1 B.1 C.2 51cos＝322

解析：若，则1+cosα=3sinα，又sinα+cosα=1，

sin342∴sinα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2sinα=.

555D.﹣1或答案：C

5.已知等比数列{an}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=( ) A.12 B.10 C.122 D.62 解析：∵a1=1，a3+a5=6，

24

∴a3+a5=q+q=6，

42

得q+q﹣6=0，

22

即(q﹣2)(q+3)=0，

2

则q=2，

4623

则a5+a7=q+q=2+2=4+8=12， 答案：A

6.执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=( )

A.3 B.4 C.5 D.6

1=0.5，n=2， 211第二次运行n=2，s=0.5，满足条件s＜0.8，s==0.75，n=3，

241第三次运行n=3，s=0.75，满足条件s＜0.8，s=0.75+=0.75+0.125=0.875，n=4，

8解析：第一次运行n=1，s=0，满足条件s＜0.8，s=此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出，n=4. 答案：B

7.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )

A.4+2π B.432 C.4+π D.42 解析：由几何体的三视图得：

该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体， 其中长方体的长为4，宽为1，高为1，

半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，

∴该几何体的体积：

V4111121422.

答案：D

8.在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于a2的概率是( ) A.113126

B.136

C.

13 D.14 解析：满足条件的正三角形ABC如下图所示：

边长AB=a，

其中正三角形ABC的面积S三角形1a2sin

233a2； 4满足到正三角形ABC的顶点A、B、C 的距离至少有一个小于1的平面区域， 如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为∴S阴影=1a22a的半圆， 2a的概率是： 222a， 8∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于

a2P1﹣813.

63a24答案：B

9.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=( ) A.49 B.91 C.98 D.182

解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3+7=2a5， ∴a1+2d+7=2(a1+4d)，化为：a1+6d=7=a7.

13a1a13则S13= S13=13a7=13×7=91.

2答案：B

10.已知函数fx＝sinx，要得到g(x)=cosx的图象，只需将函数y=f(x)的图象

3( ) A.向右平移B.向右平移

5个单位 6个单位 3C.向左平移个单位

35D.向左平移

6个单位

解析：将函数y=f(x)=sin(x﹣

5)的图象向左平移个单位，

63可得y=sin(x+答案：D

5)=cosx的图象. 6332xx11.已知函数fx＝与g(x)=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是32( ) A.B.C.D.

3232xxxx解析：函数fx＝与g(x)=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a=6x3232有3个不同的实根，

32xx即函数y=a，g(x)=6x的图象有3个不同的交点. 32g′(x)=x+x﹣6=(x+3)(x﹣2)

x∈(﹣∞，﹣3)，(2，+∞)时，g(x)递增，x∈(﹣3，2)递减， 函数g(x)图如下，结合图象，只需g(2)＜a＜g(﹣3)即可， 即2

22＜a＜27.

32

答案：B

212.已知F1，F2分别是椭圆x2y2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，且

abuuuruuuruuuruuuruuuurPF1OF1OP＝0(O为坐标原点)，若PF1=2PF2，则椭圆的离心率为( )

2A.63 2B.63 C.65 2D.65 解析：如图，取PF1的中点A，连接OA，

uuuruuuruuuruuur1uuuurOAF2P， ∴2OAOF1OP，2

uuuruuuruuuur∴OF1OPF2P， uuuruuuur∴PF1F2P=0， uuuruuuur∴PF1F2P，

uuuruuuruuur∵PF1OF1OP＝0，

uuuruuuur∵PF1=2PF2，

不妨设|PF2|=m，则|PF1|=2m， ∵|PF2|+|PF1|=2a=m+2m， ∴m2a221a，

12∵|F1F2|=2c，

22222

∴4c=m+2m=3m=3×4a(3﹣22)，

22∴c296263， a∴e=63， 答案：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

2

13.命题“∀x∈R，都有x+|x|≥0”的否定是________. 解析：由全称命题的否定为特称命题，可得

2

命题“∀x∈R，都有x+|x|≥0”的否定是 “∃x0∈R，使得x02x0＜0”.

2答案：∃x0∈R，使得x0x0＜0

14.长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 解析：∵长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，

222∴球半径R12314，

22∴该球的表面积为S4R241414.

2答案：14π

2y0rrrr15.已知向量a=(2，3)，b=(x，y)，且变量x，y满足yx，则z=ab的最大值为

xy30________.

y0解析：由约束条件yx作出可行域如图，

xy30

联立ry＝x33，解得A(，)，

22xy3＝0rrr∵a=(2，3)，b=(x，y)，

2xz2z，由图可知，当直线y=x过A时，

333315直线在y轴上的截距最大，z有最小值为.

215答案：

2∴z= ab=2x+3y，化为y

22

16.在平面直角坐标系xOy中，点A(0，﹣3)，若圆C：(x﹣a)+(y﹣a+2)=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是________. 解析：设点M(x，y)，由|MA|=2|MO|， 得到：x2y3＝2x2y2，

2

2

2整理得：x+y﹣2y﹣3=0，

∴点M在圆心为D(0，1)，半径为2的圆上. 又点M在圆C上，∴圆C与圆D有公共点， ∴1≤|CD|≤3， ∴1a2a33，

2解得0≤a≤3.

即实数a的取值范围是[0，3]. 答案：[0，3]

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分. 17.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c. (Ⅰ)求证：B=2A；

(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围.

解析：(Ⅰ)根据题意，由正弦定理可以将a+2acosB=c变形为

sinA+2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，进而将其变形可得A=B﹣A，即可得结论；

(Ⅱ)根据题意，由(Ⅰ)的结论分析可得

＜B＜32由a+2acosB=2得a＝2，有

12cosBcosB的范围分析可得答案.

答案：(Ⅰ)证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，

由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB， 即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin(B﹣A). 因为A，B∈(0，π)，

所以B﹣A∈(﹣π，π)，且A+(B﹣A)=B∈(0，π)，所以A+(B﹣A)≠π， 所以A=B﹣A，B=2A. (Ⅱ)由(Ⅰ)知A＝22由△ABC为锐角三角形得0＜B＜，

20＜3B＜22得

BC＝AB＝3B，.

220＜B＜＜B＜32，则0＜cosB＜

1， 2由a+2acosB=2得a＝又由0＜cosB＜则a＝2，

12cosB1， 221，2. 12cosB

18.某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率

n0.5，10nx＜10n1，n为偶数10fx＝.

na，10nx＜10n1，n为奇数20(Ⅰ)求a的值.

(Ⅱ)若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率(将频率视为概率).

10n50解析：(Ⅰ)由题知，解得n可取5，6，7，8，9，从而

10n110060.580.55a7a9a＝10102020201，由此能出a.

(Ⅱ)滞销日与畅销日的频率之比为2：3，则抽取的5天中，滞销日有2天，记为a，b，畅销日有3天，记为C，D，E，再从这5天中抽出2天，利用列举法能求出这2天中恰有1天是畅销日的概率.

10n50答案：(Ⅰ)由题知，解得5≤n≤9，n可取5，6，7，8，9，

10n1100n0.5，10nx＜10n1，n为偶数10代入fx＝中，

na，10nx＜10n1，n为奇数20得60.580.55a7a9a＝1，

1010202020解得a=0.15.

(Ⅱ)滞销日与畅销日的频率之比为(0.1+0.1+0.2)：(0.3+0.3)=2：3，

则抽取的5天中，滞销日有2天，记为a，b，畅销日有3天，记为C，D，E，

再从这5天中抽出2天，基本事件有ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE，CD，CE，DE，共10个， 2天中恰有1天为畅销日的事件有aC，aD，aE，bC，bD，bE，共6个， 则这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=

6=3.

105

19.如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点. (Ⅰ)证明：CE∥平面PAB； (Ⅱ)求三棱锥E﹣PBC的体积.

解析：(Ⅰ)取PA的中点F，连接BF，EF，EF为中位线，从而四边形BCEF为平行四边形，得CE∥BF，由此能证明CE∥平面PAB.

(Ⅱ)由E为PD的中点，知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍，则

.由此能证明三棱锥E﹣PBC的体积.

答案：(Ⅰ)取PA的中点F，连接BF，EF.

在△PAD中，EF为中位线， 则EF//1AD，又BC//1AD，故BC//EF，

22则四边形BCEF为平行四边形，得CE∥BF，

又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB， 故CE∥平面PAB.

(Ⅱ)由E为PD的中点，知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍， 则VEPBC＝VDPBC＝VPBCD.

由题意知，四边形ABCD为等腰梯形，且AB=BC=CD=2，AD=4，其高为则SVBCD＝23＝3. 12123，

12取AD的中点O，在等腰直角△PAD中，有PO＝AD＝2，PO⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，故PO⊥平面ABCD， 则点P到平面ABCD的距离即为PO=2.

12VPBCD＝1SVBCDPO＝23，

33故三棱锥E﹣PBC的体积VEPBC＝1VPBCD＝3. 23

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P(x，y)到l1，l2的距离之积为1. (Ⅰ)求点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值.

解析：(Ⅰ)根据点到直线的距离关系建立方程即可求出点的轨迹方程. (Ⅱ)根据直线和双曲线的位置关系，结合三角形的面积公式进行求解即可. 答案：(Ⅰ)由题意得xy2xy2＝1，|(x+y)(x﹣y)|=2.

2

2

因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得(x+y)(x﹣y)=x﹣y=2，

2y2x即点P的轨迹C的方程为＝1. 22AB＝22，得(Ⅱ)设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，OD＝2，SVOAB＝1ABOD＝2.

22

2

2

2

2

当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则Dm，0，

k把直线l的方程与C：x﹣y=2联立得(k﹣1)x﹣2kmx+m+2=0，

2222

由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4km﹣4(k﹣1)(m+2)=0，

22

得m=2(k﹣1)＞0，得k＞1或k＜﹣1. 设A(x1，y2)，B(x2，y2)，由y＝kxmmm得y1＝，同理，得y2＝.

1k1ky＝x211mmmm＝＝2. 所以SVOAB＝ODy1y222k1k1k1k2综上，△OAB的面积恒为定值2.

222xe21.已知函数fx＝，g(x)=3elnx，其中e为自然对数的底数. ex(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性.

(Ⅱ)试判断曲线y=f(x)与y=g(x)是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在，求出

公切线l的方程；若不存在，请说明理由.

解析：(Ⅰ)求出原函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，利用导函数在各区间段内的符号可得函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)假设曲线y=f(x)与y=g(x)存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x0＞0，

fx0＝gx0可得，求出使方程组成立的x值，进一步得到曲线y=f(x)与y=g(x)的公fx＝gx00共点的坐标，则曲线y=g(x)与y=g(x)的公切线l的方程可求.

22232xee3， 答案：(Ⅰ)由fx＝，得fx＝4xe2＝4xexexex2令f′(x)=0，得x＝e. 34当x＝e且x≠0时，f′(x)＜0；当x＞e时，f′(x)＞0.

3344∴f(x)在(﹣∞，0)上单调递减，在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增；

3344(Ⅱ)假设曲线y=f(x)与y=g(x)存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x0＞0，

2e22x0＝3elnx01x0fx＝gx003234x3exe＝0. 则，即，其中(2)式即0024x0e＝3e2fx0＝gx02ex0x0记h(x)=4x﹣3ex﹣e，x∈(0，+∞)，则h'(x)=3(2x+e)(2x﹣e)，

3

2

3

e上单调递减，在e，得h(x)在0，上单调递增，

3

又h(0)=﹣e，he＝2e3，h(e)=0，

222故方程h(x0)=0在(0，+∞)上有唯一实数根x0=e，经验证也满足(1)式. 于是，f(x0)=g(x0)=3e，f′(x0)=g'(x0)=3，

曲线y=g(x)与y=g(x)的公切线l的方程为y﹣3e=3(x﹣e)， 即y=3x.

(二)选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

x＝11t2，(t为参数)，若以直角坐标系xOy的原点O为极点，22.设直线l的参数方程为y＝t1x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

2

ρsinθ=4cosθ.

(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线； (Ⅱ)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|. 解析：(Ⅰ)直接把极坐标方程转化为直角坐标方程. (Ⅱ)首先把参数方程转化为直角坐标方程，进一步利用直线和圆锥曲线的位置关系，建立方程组利用弦长公式求出结果.

2

答案：(Ⅰ)由于ρsinθ=4cosθ，

222

所以ρsinθ=4ρcosθ，即y=4x，

因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线.

x＝11t2，化为普通方程为y=2x﹣1， (Ⅱ)y＝t1代入y=4x，

2

并整理得4x﹣8x+1=0， 所以AB＝1k=1222

2x2x1，

2x2x1144x1x2，

=5224＝15.

[选修4-5：不等式选讲]

23.已知函数f(x)=|x+1|+a|2x﹣1|. (Ⅰ)当a＝111时，若fx(m，n＞0)对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值； 2mn11133由此

时，fx＝x12x1＝x1x，fxmin＝，22222(Ⅱ)若f(x)≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围. 解析：(Ⅰ)当a＝能求出m+n的最小值.

(Ⅱ)f(x)≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，从而a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，由此能求出实数a的取值范围.

1113时，fx＝x12x1＝x1x， 22223113mn3∴fxmin＝，∴.∴，

2mn2mn2233mn∴mnmn，当且仅当m=n时等号成立， 2228∵m，n＞0，解得mn，当且仅当m=n时等号成立，

38故m+n的最小值为.

3答案：(Ⅰ)当a＝(Ⅱ)∵f(x)≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]， 当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x， ∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立， 当1x＜时，a(1﹣2x)≥1﹣2x，∴a≥1； 当

121x2时，a(2x﹣1)≥1﹣2x，∴a≥﹣1.

2综上：a≥1.

故实数a的取值范围是[1，+∞).

考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生

谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要

掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。因为一份试卷的题型有选择题、填空题和解答题，题目的难易程度不等，再加上时间的，更需要考生运用考试技巧去合理安排时间进行考试，这样才能获得一个优异的成绩。

在每次考试结束之后，我们总会发现这样有趣的情形：有的学生能超常发挥，考个好成绩，而有的学生却出现粗心大意的状况，令人惋惜。有的学生会说这是“运气”的原因，其实更深次的角度来说，这是说明考试准备不足，如知识掌握不扎实或是考试技巧不熟练等，这些正是考前需要调整的重点。

读书学习终究离不开考试，像中考和高考更是重中之重，影响着很多人的一生，下面就推荐一些与考试有关的方法技巧，希望能帮助大家提高考试成绩。

一是学会合理定位考试成绩

你能在一份卷子当中考几分，很大程度上取决于你对知识定理的掌握和熟练程度。像最后一道选择题和填空题，以及最后两道大题，如果你没有很大把握一次性完成，就要先学会暂时“放一放”，把那些简单题和中等题先解决，再回过头去解决剩下的难题。

因此，在考试来临之前，每位考生必须对自身有一个清晰的了解，面对考试内容，自己处于什么样的知识水平，进而应采取什么样的考试方式，这样才能帮助自己顺利完成考试，获得理想的成绩。

像压轴题的最后一个小题总是比较难，目的是提高考试的区分度，但是一般只有4分左右，很多考生都可以把前面两小题都做对，特别是第一小题。

二是认真审题，理清题意

每次考试结束后，很多考生都会发现很多明明自己会做的题目都解错了，非常可惜。做错的原因让人既气愤又无奈，如算错、看错、抄错等，其中审题不仔细是大部分的通病。

要想把题目做对，首先就要学会把题目看懂看明白，认真审题这是最基本的学习素养。像数学考试，就一定要看清楚，如“两圆相切”，就包括外切和内切，缺一不可；ABC是等腰三角形，就要搞清楚哪两条是腰；二次函数与坐标轴存在交点，就要分清楚x轴和y轴；或是在考试过程中遇到熟悉的题目，绝不可掉以轻心，因为熟悉并不代表一模一样。

三是要活用草稿纸

有时候真的很奇怪，有些学生一场考试下来，几乎可以不用草稿纸，但最终成绩也并不一定见得有多好。不过，我们查看这些学生试卷的时候，上面密密麻麻写了一堆，原来都把试卷当草稿纸，只不过没几个人能看得懂。

考试时间是有限，要想在有限的时间内取得优异的成绩，就必须提高解题速度，这没错，但很多人的解题速度是靠牺牲解题步骤、审清题意等必要环节之上。就像草稿纸，很多学生认为这是在浪费时间，要么不用，要么在打草稿时太潦草，匆忙抄到试卷上时又看错了，这样的毛病难以在考试时发现。

在解题过程后果，我们应该在试卷上列出详细的步骤，不要跳步，需要用到草稿纸的地方一定要用草稿纸。只有认真踏实地完成每步运算，假以时日，就能提高解题速度。

大家一定要记住一点：只要你把每个会做的题目做对，分数自然就会高。

四是学会沉着应对考试

无论是谁，面对考试都会有不同程度的紧张情绪，这很正常，没什么好大惊小怪，偏偏有的学生会把这些情绪放大，出现焦躁不安，甚至是失眠的负面情况，非常可惜。

就像在考试过程中，遇到难题这也很正常，此时的你更应不慌不躁，冷静应对在考试，有些题目难免一时会想不出解题思路，千万记住不要钻牛角尖，可以暂时先放一放，不妨先换一个题目做做，等一会儿往往就会豁然开朗了。

考试，特别像中考和高考这样大型的重要考试，一定要相信一点，那就是所有试题包含的知识定理、能力要求都在考纲范围内，不要有过多的思想负担。

考试遇到难题，容易让人心烦意乱，我们不要急于一时，别总想一口气吃掉整个题目，可以先做一个小题，后面的思路就慢慢理顺了。